Determinazione dell'insieme di esistenza di una funzione

Part I

Determinazione dell'insieme di esistenza di una funzione

1 Teoria

Sia data la funzione reale a variabile reale y = f(x).

Si denisce insieme di esistenza di f(x), l'insieme D dei numeri reali x, in corrispondenza dei quali y assume anch'essa valori numerici reali.

In pratica, l'insieme di esisenza di una funzione è l'insieme dei numeri reali x che fanno sì che la f (x) corrisponda anch'essa ad un numero reale.

Ricordiamo che alcune operazioni, in matematica, non hanno senso (generano un messaggio di

errore se si utilizza la calcolatrice).

Ad esempio:

ˆ le frazioni con denominatore pari a zero ( 5

0 = errore );

ˆ la radice quadrata di numeri negativi ( p(−3) = errore);

ˆ il logaritmo di numeri non positivi ( log(−5) = errore);

ˆ ...

Quando si ha una funzione, si deve vericare se, per qualche valore della x, non si incontrino operazioni che non abbiano senso (come quelle di cui si è parlato sopra).

Ad esempio y = 10x

x − 5 equivale alla divisione per 0 quando x = 5.

Studiare l'insieme di esistenza di una funzione signica appunto cercare quei valori della x per i quali la funzione abbia senso. Questo si fa, generalmente, cercando i casi in cui l'operazione non abbia senso (si dice che si ricerca la condizione di esistenza della funzione, che indicheremo con C.E.).

L'insieme di esistenza della funzione y = 10x

x − 5 sarà l'insieme di tutti i numeri reali tranne

x = 5 ; si scrive x 6= 5, oppure D = {x ∈ R/x 6= 5}.

2 Casi tipici

I casi tipici sono:

1. funzione razionale intera (cioè un polinomio y = P (x)): l'insieme di esistenza è dato dall'insieme di tutti i numeri reali ( D = <);

ˆ esempio: y = 5x

+ 4x

− 5x + 2 ; in tal caso, l'insieme di esistenza è dato dall'insieme <

dei numeri reali (C.E.: ∀x ∈ <);

2. funzione razionale fratta y = N (x)

D(x) : l'insieme di esistenza è dato dall'insieme di tutti i numeri reali diversi da quelli che annullano il denominatore;

ˆ esempio: y = 10x

2x + 6 ; l'insieme di esistenza è dato dall'insieme < di tutti i numeri reali che soddisfano la disequazione 2x + 6 6= 0, cioè x 6= −3 (C.E.: x 6= −3);

3. funzione radice di indice dispari y =

pf(x) , m dispari: l'insieme di esistenza è dato dall'insieme di esistenza della funzione che si trova sotto radice; cioè, le radici di indice dispari sono indierenti rispetto alla determinazione dell'insieme di esistenza;

ˆ esempio: y = √

2x + 6 ; l'insieme di esistenza coincide con l'insieme di esistenza della fun- zione sotto radice; poiché quest'ultima è una funzione razionale intera, allora l'insieme di esistenza è dato dall'insieme < dei numeri reali (C.E.: ∀x ∈ <);

ˆ esempio: y = r x − 4

2x + 6 ; l'insieme di esistenza coincide con l'insieme di esistenza della funzione sotto radice; poiché quest'ultima è una funzione razionale fratta, allora l'insieme di esistenza è dato dall'insieme < di tutti i numeri reali, esclusi quelli che soddisfano l'equazione 2x + 6 = 0 , cioè escluso x = −3 (C.E.: x 6= −3);

4. funzione radice di indice pari y =

pf(x) , m pari: l'insieme di esistenza è dato dall'insieme di tutti i numeri reali che rendono non negativa (cioè ≥ 0) la funzione sotto radice;

ˆ esempio: y = √

2x + 6 ; l'insieme di esistenza è dato da quei numeri reali x che soddisfano la disequazione 2x + 6 ≥ 0, cioè x ≥ −3 (C.E.: x ≥ −3);

5. funzione logaritmica y = log

(f (x)) : l'insieme di esistenza è dato dall'insieme di tutti i numeri reali che rendono positivo l'argomento del logaritmo;

ˆ esempio: y = log(2x+6); l'insieme di esistenza è dato da quei numeri reali x che soddisfano

la disequazione 2x + 6 > 0, cioè x > −3 (C.E.: x > −3);