• Non ci sono risultati.

7.1) Nello spazio vettoriale R

N/A
N/A
Info
Scarica
Protected

Academic year: 2021

Condividi "7.1) Nello spazio vettoriale R"

Copied!
1
0
0

Caricamento.... (Visualizza il testo completo ora)

Scarica adesso ( 1 pagine )

Testo completo

(1)

Universit` a degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Matematica.

Geometria 1 a.a. 2013-14 settima settimana

7.1) Nello spazio vettoriale R

3

su R siano fissati i vettori v

1

= (1, 2, 1), v

2

= (3, 6, 2), v

3

= (0, 1, 1), v

4

= (1, 1, 0), v

5

= (1, 1, 1).

(i) Applicando il metodo degli scarti successivi, estrai un insieme indipendente e discuti se esso ` e una base di R

3

.

(ii) Completa u

1

= (0, −1, 1) ad una base di R

3

.

(iii) Mostra che w

1

= (1, 1, 3), w

2

= (0, 2, 1), w

3

= (0, 0, 1) formano una base di R

3

. Rispetto a tale base, determina le componenti di w = (1, 2, 3), u = (2, 1, −1), w + u rispettivamente.

7.2) Nello spazio vettoriale reale V = R[x]

≤3

su R siano fissati i polinomi p

1

= 3 + x, p

2

= x

2

− x

3

, p

3

= x, p

4

= x

2

+ x

3

. Considera inoltre i polinomi q

1

= 1 + x + x

2

, q

2

= x

3

.

(i) Mostra che i polinomi p

1

, p

2

, p

3

, p

4

formano un riferimento R di V . (ii) Determina i vettori delle componenti di q

1

(risp. q

2

) nel riferimento R.

(iii) Completa q

1

, q

2

ad una base di V .

(iv) Determina il polinomio che ha componenti (2, −1, 5, 7) nel riferimento R.

7.3) In R

3

, considera il sottospazio W delle soluzioni del sistema lineare omogeneo in 3 variabili

 3x

1

− x

2

− 2x

3

= 0 x

1

+ x

3

= 0 Determina una base di R

3

che contiene una base di W .

7.4) Considera un K-spazio vettoriale V di dimensione n ed una sua base ordinata R =(v

1

, . . ., v

n

).

a) Mostra che t vettori w

1

, . . ., w

t

sono linearmente indipendenti se e solo se i loro vettori delle componenti in R sono linearmente indipendenti.

b) Mostra che < v

1

, v

2

>=< v

1

, v

2

+ av

1

> per ogni valore di a ∈ K.

7.5) Determina la dimensione e una base del sottospazio dello spazio di matrici 2 × 2 a coefficienti reali

 a b c d



tali che b + c = 0. Determina inoltre le componenti di

 1 3

−3 4



in tale base.

7.6) Considera le matrici

A

1

=

0 2 1 0

0 3 0 1

1 1 4 0

 ; A

2

=

0 2 1 2 1

1 4 1 1 0

1 1 2 0 0

 ; A

3

=

0 1 1 1 2 0 2 5 1

 ; A

4

=

2 3 1 0

1 0 1 0

1 3 0 0

0 5 0 1

Per ciascuna delle matrici elencate, determina il rango e una sottomatrice quadrata dello stesso

rango.

Riferimenti

Scarica adesso ( PDF - 1 pagine - 43.85 KB )

Documenti correlati

Universit` a degli Studi di Roma ”Tor Vergata”

Tutorato numero 2 (16 Ottobre 2013) Successioni di funzioni, serie di potenze, limiti in pi` u variabili Esercitatore: dott.Vincenzo Morinelli

Universit`a degli Studi di Roma Tor Vergata -

Sistemi a chiave pubblica Il metodo di Cesare `e un metodo a chiave privata, cio`e l’informazione grazie alla quale si pu`o sia criptare permette facilmente anche di decifrarlo:

Universit`a degli Studi di Roma Tor Vergata.

Per determinare una tale base R, determiniamo separatamente una base per ciascun autospazio: la base R sar` a l’unione delle basi degli autospazi. Cerchiamo quindi una

Universit`a degli Studi di Roma Tor Vergata.

5.1) Considera un insieme X, dotato della topologia cofinita. Esibisci un ricoprimento aperto di S che non ammette sottoricoprimento finito.. 5.3) Sia B una base per la topologia di

Universit`a degli Studi di Roma Tor Vergata.

7.1) Determina uno spazio topologico X e una famiglia numerabile di compatti la cui unione non sia compatta.. 7.2) Esibisci uno spazio metrico (X, d) ed un sottoinsieme S chiuso

Universit`a degli Studi di Roma Tor Vergata.

11.3) Determina il gruppo fondamentale dello spazio topolgico X ottenuto togliendo m punti distinti a R

Universit`a degli Studi di Roma Tor Vergata.

3.13) Determinare una retta che interseca la propria coniugata solo nel punto A(2, −7). Tale piano ` e unico? Determinare inoltre la giacitura del piano α e discutere se tale

Universit`a degli Studi di Roma Tor Vergata.

Universit` a degli Studi di Roma Tor Vergata.. Corso di Laurea