Dipartimento di Matematica e Fisica E. De Giorgi. Laurea in Ingegneria dell informazione. Prova scritta di Analisi Matematica II

Lecce, 30 giugno 2020

1. Trovare (se esistono) il massimo e il minimo della funzione f (x, y) = y³+ x²y − 2x − 4y

nell’insieme E = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 4}.

2. Risolvere il Problema di Cauchy







y⁰⁰+ y⁰+ 2y⁰y = 0 y(0) = 1

y⁰(0) = −2 3. Calcolare l’integrale:

Z

E

(1 + x²+ y²) dxdy, dove

E =(x, y); x²+ (y − 1)² ≤ 1, . 4. Classificare le singolarit`a della funzione

f (z) = z² e^iz− 1.

5. Risolvere mediante la trasformata di Laplace il seguente Problema di Cauchy

 Y⁰⁰(t) + Y (t) = F (t) t > 0, Y (0) = 0, Y⁰(0) = 0 ,

dove F `e la funzione che vale

F (t) = 1 per 1 ≤ t < 2 0 altrove

Lecce, 16 giugno 2020

1. Trovare (se esistono) massimo e minimo della funzione f (x, y) = x²y nell’insieme

E = {(x, y); −1 ≤ x − y ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2} . 2. Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y⁰ = 1 ty + 1

ty², t > 0.

3. Calcolare l’integrale:

Z

E

|y|x² dxdy, dove

E =(x, y); x²+ y² ≤ 4, x²+ y²− 2x ≥ 0, x ≥ 0 . 4. Calcolare il valor principale del seguente integrale:

Z +∞

−∞

x + 1 (x²+ 4)xdx

5. Risolvere mediante la trasformata di Laplace il seguente Problema di Cauchy

 Y⁰⁰(t) + 4Y⁰(t) + 3Y (t) = F (t) t > 0, Y (0) = 0, Y⁰(0) = 1 ,

dove F `e la funzione che vale

F (t) =  t per 0 ≤ t < 1 1 per 1 ≤ t < +∞

Lecce, 18 febbraio 2020

1. Trovare i punti dell’insieme

E =(x, y, z) ∈ R³ : x²+ y²+ 3z²+ xy = 1 aventi distanza minima e massima dall’origine.

2. Risolvere il seguente problema di Cauchy

 xy⁰⁰+ (x − 1)y⁰² = y⁰ y(2) = −2, y⁰(2) = 4 . 3. Calcolare il seguente integrale doppio

Z

E

xy

y²− 4x² dxdy dove E =n

(x, y) ∈ R² : −x/√

3 < y < −√

3x, x²+y² < 1, 4y > −1/xo . 4. Dato il campo vettoriale

F (x, y) =

 −2y

(x − y)², 2x (x − y)²

 ,

dire se `e conservativo e, in caso affermativo, determinarne le primitive.

5. Calcolare la trasformata di Laplace della funzione f (t) = e^3t

Z t 0

sin 2τ τ dτ

Lecce, 28 gennaio 2020

1. Trovare (se esistono) massimo e minimo assoluti della funzione f (x, y) = 3x²+ 2xy + y²

nell’insieme E = {(x, y) : 2x²+ y² ≤ 6}.

2. Risolvere il seguente problema

 y⁰⁰− 2y⁰+ y = 2e^t y(0) = 0, y⁰(1) = 1 . 3. Calcolare il seguente integrale triplo

Z

E

1

(2 − x + y + z)²dxdydz,

dove E = {(x, y, z) ∈ R³ : x ≥ 0, y ≤ 0, z ≤ 0, x − y − z ≤ 1}.

4. Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = x sin x

x²− 2x + 2. 5. Data la funzione

f (z) = z z²+ 2z + 2,

svilupparla in serie di Laurent intorno a z0 = −1 − i e determinare il relativo raggio di convergenza.

Lecce, 14 gennaio 2020

1. Trovare (se esistono) massimo e minimo assoluti della funzione f (x, y, z) = xy(1 + z)²

nell’insieme E = {(x, y, z) : x² + y² ≤ z, 0 ≤ z ≤ 1}.

2. Trovare la soluzione generale dell’equazione differenziale y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y = sin x.

3. Calcolare il seguente integrale doppio:

Z

E

xy

x + y dxdy, dove E = {x, y) ∈ R² : y ≥ x², x ≥ 0, y ≤ 1, }.

4. Calcolare con il metodo dei residui l’integrale Z +∞

−∞

1

1 + x²+ x⁴dx

5. Risolvere mediante la trasformata di Laplace il seguente Problema di Cauchy

 Y⁰⁰(t) + 2Y⁰(t) + Y (t) = e^−2t t > 0, Y (0) = 1, Y⁰(0) = 0 .

Lecce, 12 marzo 2019

1. Trovare (se esistono) i punti dell’insieme

E = {(x, y, z) ∈ R³ : x²+ 2y² ≤ 3, z − y = 1}

aventi distanza massima e minima dall’origine.

2. Calcolare il seguente integrale triplo:

Z

E

z log z dxdydz,

dove E = {(x, y, z) ∈ R³ : 0 ≤ z, x²+ y² + z² ≤ 2, x²+ y² ≤ 2z²}.

3. Risolvere il seguente problema di Cauchy:







y⁰ = y² 2x + 1 y(0) = 1,

e indicare l’insieme in cui `e definita la soluzione.

4. Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = 2x

9x²+ 4

e dedurre la trasformata di Fourier di g(x) = xf⁰(3x).

5. Risolvere mediante la trasformata di Laplace il seguente problema di Cauchy

 Y⁰⁰(t) + 2Y⁰(t) + Y (t) = F (t) t > 0, Y (0) = 0, Y⁰(0) = 0

dove F `e la funzione che vale

F (t) = e^t per 1 < t < 2 0 altrimenti.

Lecce, 23 ottobre 2018

1. Determinare (se esistono) gli estremi della funzione f (x, y) = x² − y² nell’insieme

E =



(x, y) ∈ R² : (x − 1)²+ y²

4 ≤ 1, y ≤ 0

 .

2. Sia E l’intersezione dei cerchi di centri (-1,0) e (1,0) e raggio√

2. Calcolare Z

E

x

p2 − y² dxdy.

3. Risolvere il seguente problema di Cauchy:

 y⁰⁰− y = sin x y(0) = 0, y⁰(0) = 1.

4. Scrivere lo sviluppo di Laurent in z = 0 della funzione f (z) = 1

z(z − α + 1), α ∈ R,

classificare la singolarit`a in z = 0 e calcolare il residuo al variare di α.

5. Calcolare la trasformata di Laplace della seguente funzione:

F (t) =







1 per 0 < t < 1 2 − t per 1 < t < 2 0 altrimenti.

Lecce, 3 settembre 2018

1. Trovare (se esistono) i punti di massima e minima distanza dall’origine dell’insieme

E = {(x, y, z) ∈ R³ : x²− xy + y²− z² = 1, x²+ y² = 1}.

2. Calcolare l’integrale:

Z

E

(1 + x²+ y²) dxdy, dove

E =n

(x, y) ∈ R² : x²+ (y − 1)² ≤ 1, x²+ y²− 2y ≤ 0o . 3. Trovare la soluzione generale dell’equazione differenziale

y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y = sin x

4. Classificare le singolarit`a e calcolare i residui della funzione f (z) = z²+ (1 + i)z + i

(z + 1)²(z²+ z + 1).

5. Risolvere mediante la trasformata di Laplace il seguente Problema di Cauchy

 Y⁰⁰(t) + 2Y⁰(t) + Y (t) = F (t) t > 0, Y (0) = 0, Y⁰(0) = 0

dove F `e la funzione che vale

F (t) = e^−t per 1 < t < 2 0 altrimenti.

Lecce, 9 luglio 2018

1. Trovare (se esistono) gli estremi assoluti della funzione f (x, y) = (x − 1)²+ (y − 1)² nell’insieme E = {(x, y) ∈ R² : x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 4 − 2x}.

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

Z

E

y²e^xydxdy, dove E = {(x, y); 1 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ xy ≤ 3}.

3. Trovare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale u⁰+ 2u tan x = u²sin 2x.

4. Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = e^−ix

x²+ 3x + 28

5. Dire se esiste, ed in tal caso calcolare usando il metodo dei residui, il seguente integrale:

Z +∞

−∞

cos(3x) (x²+ 1)²dx.

Lecce, 22 giugno 2018

1. Trovare (se esistono) gli estremi assoluti della funzione f (x, y) = 4xy nell’insieme

E =



(x, y); y ≥ −1

2, x²+ y² ≤ 1

 . 2. Calcolare l’integrale

Z

E

xy dxdy,

dove E = n

(x, y); x ≥ 0, y ≥ 0, x²+ y²− 2y ≥ 0, x² 9 + y²

4 ≤ 1o . 3. Determinare l’integrale generale dell’equazione

y⁰⁰y³ + 1 = 0.

4. Individuare gli zeri ed i punti singolari della funzione f (z) = z − 3

z²(z²+ 2z − 15) e calcolare i residui nei poli.

5. Calcolare la trasformata di Laplace della funzione:

F (t) = Z t

0

e^αu

u sin(γu) du,

dove α ∈ C e γ > 0, e specificarne l’ascissa di convergenza semplice e assoluta.

Lecce, 7 giugno 2018

1. Trovare (se esistono) gli estremi assoluti della funzione f (x, y, z) = z²+ xy

nel cono {(x, y, z) :px²+ y² ≤ z ≤ 1}.

2. Sia Γ la porzione del cilindro di equazione x²+ y² = 1

compresa tra i piani z = 0 e z = y. Si calcoli l’area della superficie Γ.

3. Risolvere il seguente problema di Cauchy







u⁰⁰= e^u+1u⁰, u(0) = 0, u⁰(0) = e.

4. Dire se il campo vettoriale F : R²\ {(0, 0)} → R² definito da:

F (x, y) =



1 − 2x

(x²+ y²)², 1 − 2y (x²+ y²)²



`e conservativo e in tal caso calcolare il potenziale.

5. Risolvere mediante la trasformata di Laplace il seguente Problema di Cauchy

 Y⁰⁰(t) + 4Y (t) = F (t) t > 0 Y (0) = 0, Y⁰(0) = 0 dove F = χ_[1,2].

Lecce, 21 febbraio 2018

1. Trovare (se esistono) gli estremi assoluti della funzione f (x, y, z) = x + y − 2z

nell’insieme E = {(x, y, z) ∈ R³ : x²+ y²+ z² = 6, x, y, z ≥ 0}.

2. Calcolare il seguente integrale Z

E

x

px²+ 4y² dxdy dove E = {(x, y) ∈ R² : x ≥ 1, ¹₄x²+ y² ≤ 1}.

3. Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale y⁰ = y

4 +t²− 2t 4e^2t y⁵

4. Sapendo che L(t^−1/2)(s) = pπ/s, determinare le L-trasformate delle fun- zioni F (t) = t√

t, G(t) = e^3t

Z t 0

sin(t − τ )

√τ dτ, H(t) = 0√ 0 ≤ t ≤ 3/5 5t − 3 t > 3/5 5. Calcolare lo sviluppo in serie di Laurent della funzione

f (z) = z − 1 (z + 1)(z + 2)

nei punti z = −1 e z = −2, precisando gli insiemi di convergenza delle serie ottenute.

Lecce, 29 gennaio 2018

1. Trovare (se esistono) gli estremi assoluti della funzione f (x, y, z) = z −x²y nell’insieme

E = {(x, y, z) ∈ R³ : z ≥ x²+ y², x²+ y²+ z² ≤ 2}.

2. Calcolare il seguente integrale Z

E

px²+ y²dxdy

dove E = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 2y, x²+ y² ≤ 2x}.

3. Determinare la soluzione generale dell’equazione differenziale y y⁰⁰+ (y⁰)²+ y⁰ = 0.

4. Siano γ la curva {x² + y² + z² = R²} ∩ {x + y + z = 0} ed F il campo vettoriale F (x, y, z) = (y, z, x). Calcolare l’integrale di linea

Z

γ

F · d`.

5. Calcolare l’integrale improprio Z +∞

−∞

1 + x² (1 + x + x²)²dx con il metodo dei residui.

Lecce, 12 gennaio 2018

1. Trovare (se esistono) i punti della curva

S = {(x, y, z) ∈ R³ : 2x − z + 1 = 0, 2x²+ y² = 8}

aventi distanza minima e massima dall’origine.

2. Calcolare il volume dell’insieme

E = {(x, y, z) ∈ R³ : x²+ y²+ z² ≤ (2z)^4/3}.

3. Determinare la soluzione del problema di Cauchy:

 y⁰ = ²_ty + 4t²y^1/2 y(1) = 0

4. Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f (x) = e^ix

x²+ 2x + 10

5. Risolvere mediante la trasformata di Laplace il seguente Problema di Cauchy

 Y⁰⁰(t) + 4Y⁰(t) + 3Y (t) = F (t) t > 0, Y (0) = 0, Y⁰(0) = 1

dove F `e la funzione che vale

F (t) = t per 0 ≤ t < 1 1 per 1 ≤ t < +∞.