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Prova scritta di Fisica Matematica I per il corso di laurea in Matematica 23 Luglio 2015

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Prova scritta di Fisica Matematica I per il corso di laurea in Matematica

23 Luglio 2015

Un sistema meccanico `e costituito da due aste rigide, che hanno densit` a di massa omogenea al loro interno e si muovono in un piano verticale Oxy. Entrambe le aste sono di massa m e lungezza l. Esse sono vincolate in modo tale da avere un estremo (che d’ora in avanti denotiamo con B) in comune. Ciascun altro estremo delle due aste (siano essi, rispettivamente, A e C) `e obbligato a muoversi in modo tale che il triangolo isoscele di vertici A, B e C abbia sempre la base AC (la cui lunghezza pu` o variare) sull’asse orizzontale delle x. Il vertice A `e collegato all’origine mediante una molla ideale di costante elastica k

1

> 0 ; B `e invece collegato alla sua proiezione H sull’asse delle x, mediante un’altra molla ideale di costante elastica k

2

> 0 ; entrambe le molle sono di lunghezza a riposo nulla.

I vincoli sono realizzati in modo tale che, durante il loro moto, le aste si possano attraversare senza scontrarsi. Si supponga che i vincoli siano ideali e si risponda alle domande seguenti.

(1) Si scrivano la lagrangiana e le equazioni di Lagrange.

(2) Si deteminino le posizioni di equilibrio e se ne studi la stabilit`a.

(3) Si supponga ora che la prima molla sia assente (o, equivalentemente, si ponga k

1

= 0).

(3a) Si determinino gli integrali primi del sistema, dando giustificazione del fatto che essi sono effettivamente costanti del moto.

(3b) Limitatamente al caso in cui k

2

l = mg/50, si studi il moto che fa seguito a delle condizioni iniziali tali che al tempo t = 0 il triangolo ABC `e equilatero con il vertice B al di sotto dell’asse delle ascisse e velocit` a nulle delle aste. Sia T il minimo istante di tempo positivo in cui il sistema riassume la configurazione iniziale. Si dia una stima del periodo T determinando esplicitamente due valori reali positivi T

e T

+

tali che

T

≤ T ≤ T

+

con un errore relativo sulla stima che sia inferiore al 50%.

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