ESERCIZI DI MATEMATICA 1. Cerca la definizione di piramide retta. Perché si chiede che il poligono di base sia circoscrivibile ad una circonferenza? 2. Nel cubo

ESERCIZI DI MATEMATICA

1. Cerca la definizione di piramide retta. Perché si chiede che il poligono di base sia circoscrivibile ad una circonferenza?

2. Nel cubo ABCDEFGH di spigolo s abbiamo costruito la piramide ABCDE.

(a) verifica che le facce laterali della piramide sono tutte triangoli rettangoli, e trova le misure dei lati;

(b) del triangolo rettangolo BCE trova l’altezza relativa all’ipotenusa;

(c) qual è il cammino più breve per andare dal punto B al punto D camminando sulla piramide?

(d) trova la misura dell’angolo diedro formato dalle facce BCE e CED;

(e) che cosa possiamo dire delle piramidi BCGFE e CDHGE? Le possiamo mettere “dorso contro dorso” e in questo modo riempire completamente il cubo? Qual è allora il volume di ciascuna delle tre piramidi?

3. Nel cubo ABCDEFGH di spigolo s considera il punto P sullo spigolo AB tale che AP =

¹₃

s, il punto Q sullo spigolo AD tale che AQ =

¹₃

s e il punto R sullo spigolo AE tale che AR =

¹₃

s. Descrivi il solido PQRA e trovane il volume. Immagina di togliere questo solido al cubo e di togliere un analogo solido per ogni vertice del cubo. Quello che ottieni è un ottaedro troncato. Quante sono le facce dell’ottaedro troncato? Di che tipo sono? Ci sono facce parallele? Gli spigoli dell’ottaedro troncato sono tutti uguali? Possiamo dire che si tratti di un poliedro regolare?

4. Considera un ottaedro regolare e imagina di dividere in tre parti uguali ogni spigolo. Congiungi i 5. E’ possibile tagliare un tetraedro regolare in modo da ottenere una sezione quadrata?

6. E’ data una piramide retta a base quadrata i cui spigoli e i lati della base misurano a. Indicata con x l’altezza del parallelepipedo inscritto nella piramide, si dimostri che il volume di questo è dato dalla relazione V (x) = x(a− √

2x)

²

.

7. Siano AB, AC, AD tre spigoli di un cubo. Sapendo che uno spigolo è lungo s, calcolare la distanza del vertice A dal piano dei puntiB,C, D.

8. In un piano α è assegnato il triangolo ABC, retto in B, i cui cateti AB e BC misurano rispettivamente 4 e 3. Si conduca per A la perpendicolare al piano α e sia V un punto di questa per cui VA = AB. Il candidato:

(a) dimostri geometricamente o algebricamente, che, come tutte le altre facce del tetraedro VABC, anche la faccia V BC è un triangolo rettangolo, il cui angolo retto è V BC;

(b) calcoli il volume e la superficie totale del tetraedro;

(c) detto M il punto medio di VA e P un punto dello stesso segmento a distanza x da V , esprima in funzione di x il volume del tetraedro MPQK, essendo Q ed R le rispettive intersezioni degli spigolo V B e VC con il piano β parallelo ad γ e passante

per P. (dall’Esame di Stato 1999)

9. Una piramide retta, di vertice V , ha per base il triangolo ABC, rettangolo in A, la cui area è 24a

²

, dove a è una lunghezza assegnata. Si sa inoltre che

^AB

BC

=

³₅

e che il piano della faccia VAB della piramide forma con il piano della base ABC un angolo γ tale che sin γ =

¹²₁₃

.

(a) calcolare l’altezza della piramide;

(b) controllato che essa è

²⁴₅

a , calcolare la distanza del vertice C dal piano della faccia VAB

(dall’Esame di Stato 2001) 10. I lati di un parallelepipedo rettangolo misurano 8, 9, e 12 cm. Si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l’ampiezza dell’angolo che la diagonale mandata da un vertice fa con ciascuno dei tre spigoli concorrenti al vertice. (dall’Esame di Stato 2009) 11. Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo e P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli. (dall’Esame di Stato 2010) 12. Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo e la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell’ipotenusa. (dall’Esame di Stato 2011)

13. E’ dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l’ampiezza dell’angolo formato da l e da h. (dall’Esame di Stato 2012)

14. Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l’altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume V del

tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito. (dall’Esame di Stato 2013)