Si determinino le matrici di tutte le proiettivit`a di P3(R) che hanno P , r e π come elementi uniti

(1)

prova scritta del 3 luglio 2008 – Compito A

ESERCIZIO 1. Si consideri la proiettivit`a, f : P³(R) → P³(R), di matrice

A =







−3 0 0 0

−1 −3 0 1

1 2 −3 −1

0 0 0 −3







nel riferimento canonico {e0, . . . , e3}.

(a) [3 punti] Si determinino punti, rette e piani uniti rispetto ad f .

(b) [3 punti] Si determinino i sottospazi proiettivi su cui f induce un’omologia (speciale o non-speciale) e si determinino in ogni caso asse e centro dell’omologia.

(c) [3 punti] In P³(R) si considerino gli elementi P , r e π, di equazioni cartesiane

π : X0= 0, r : X0= 0

X₁= 0, P :







X0= 0 X1= 0 X2= 0 .

Si determinino le matrici di tutte le proiettivit`a di P³(R) che hanno P , r e π come elementi uniti. Si caratterizzino quelle che li hanno come unici elementi uniti.

Svolgimento. (a) Il polinomio caratteristico di A `e det(x1 − A) = (x + 3)⁴ e si ha

A + 31 =







0 0 0 0

−1 0 0 1

1 2 0 −1

0 0 0 0





, (A + 31)²=







0 0 0 0

−2 0 0 2

0 0 0 0





 (A − 21)³= 0.

Il polinomio minimo `e quindi (x + 3)³. Scelta la base v₀= e₀+ e₃, v₁= 2e₂, v₂= e₁− e₂, v₃= e₃, la matrice di una soprastante di f , rispetto a tale base, `e

J =







−3 0 0 0

0 −3 1 0

0 0 −3 1

0 0 0 −3







da cui si vede che vi `e una retta di punti uniti, r = σ hv0, v1i ed un fascio di piani uniti, di asse la retta s = σ hv1, v2i. Sul piano σ = σ hv0, v1, v2i, resta indotta un’omologia (necessariamente) speciale, di asse r e centro nel punto P1 = σ hv1i. Quindi sono unite tutte le rette del piano σ, passanti per P1, ovvero r_(a,b)= σ hv1, av0+ bv2i^(∗)

(b) Non vi sono piani, diversi da σ, su cui resti indotta un’omologia. Su tutte le rette unite resta indotta un’omologia speciale di centro ed asse nel punto P1= σ hv1i.

(c) Le proiettivit`a cercate hanno matrici del tipo







a₀₀ 0 0 0

a₁₀ a₁₁ 0 0 a₂₀ a₂₁ a₂₂ 0 a30 a31 a32 a33







(∗) Le rette r ed s descritte sopra sono, rispettivamente, le rette r_(1,0)ed r_(0,1)di questo fascio.

1

(2)

con a00a11a22a336= 0 e determinate a meno di un fattore di proporzionalit`a (sono quindi i punti di un P⁹(R) che stanno nel complementare dell’unione di 4 iperpiani). Tra queste, quelle che hanno P , r e π come unici elementi uniti, soddisfano alle ulteriori condizioni: a₀₀= a₁₁= a₂₂= a₃₃ed a₁₀a₂₁a₃₂6= 0 (perch´e?). ESERCIZIO 2. Su una retta proiettiva (reale), si consideri il riferimento {P_∞, P0, P1} e, per ogni numero razionale, x, si indichi con Px il punto di coordinata affine x nel riferimento dato, ovvero l’unico punto tale che (P_∞, P0, P1, Px) = x.

(a) [3 punti] Si mostri che, per ogni numero naturale, n, si ha

(P∞, Pn, Pn−1, Pn+1) = −1, e (P0, P1/n, P1/(n−1), P1/(n+1)) = −1;

ove si `e usata la convenzione 1/0 = ∞, per n = 1. Si concluda che ogni punto P_x, al variare di x in Q,

`e costruibile con la sola riga a partire dai punti del riferimento.

(b) [3 punti] Siano date nel piano affine due rette parallele, r ed s, ed una coppia di punti distinti, P0e P1, su r. Si descriva un procedimento che utilizzi solo la riga per dividere in tre parti uguali il segmento P0P1.

(c) [3 punti] Perch´e non si pu`o usare il procedimento duale sui fasci di rette per dividere un angolo in tre parti uguali?

Svolgimento. (a) Sia n > 1 e si osservi che si ha

(P∞, Pn, Pn−1, Pn+1) = (∞, n, n − 1, n + 1) = −1

(P₀, P_1/n, P_1/(n−1), P_1/(n+1)) = (0, 1/n, 1/(n − 1), 1/(n + 1)) = −1.

ove l’uguaglianza nella seconda riga si poteva dedurre da quella della prima, ricordando che la trasformazione x 7→ _x¹ si estende ad una proiettivit`a della retta. Si verifica facilmente che le uguaglianze restano vere anche nel caso in cui n = 1.

Poiché il quarto armonico dopo tre punti dati è costruibile con la sola riga, usando ricorsivamente quella costruzione e le relazioni stabilite sopra, è possibile costruire ogni punto del tipo Pm/n con m ≥ 0 < n. Ad esempio, si può costruire dapprima Pme poi determinare Pm/n costruendo il punto di coordinata affine 1/n nel riferimento {P∞, P0, Pm}. Infine, per costruire Px

con 0 > x ∈ Q, `e sufficiente osservare che (P∞, P₀, P_x, P_−x) = (∞, 0, x, −x) = −1 per ogni x ∈ Q.

(b) Avere le due rette parallele equivale ad avere in evidenza il punto improprio (P_∞) della retta r e quindi si possono usare i procedimenti descritti in precedenza per determinare i punti di coordinate affini 1/3 e 2/3 nel riferimento {P_∞, P0, P1} su r. Un esempio di applicazione dei procedimenti del punto precedente si pu`o vedere nel disegno qui a fianco, ove si sono usate le relazioni (0, 1, ∞, 1/2) = −1, (0, 1/2, 1, 1/3) = −1 e (1/3, 1, ∞, 2/3) = −1.

r s

0 ¹2 1

1 3

2 3

(c) Non è possibile perché la misura dell’angolo non è una coordinata affine in un fascio di rette del piano

(che relazioni ci sono?).

ESERCIZIO 3. In P²(R), si consideri il fascio di coniche di equazioni

C(λ,µ): 2λX0X1+ 4λX0X2+ µX₁²+ 2µX1X2− 2λX₂²= 0 al variare dei parametri omogenei (λ, µ).

(3)

(a) [3 punti] Si determinino i punti base, le coniche degeneri del fascio ed eventuali rette tangenti a tutte le coniche del fascio. Al variare di (λ, µ), si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X₂− 2X1= 0.

(b) [3 punti] Al variare di (λ, µ), si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X₀ = 0. Ponendo su questo piano l’usuale metrica euclidea, si determinino asse, vertice ed equazione canonica per le eventuali parabole, non degeneri, appartenenti al fascio.

(c) [3 punti] Si scriva l’equazione di una curva, se esiste, contenente i centri di tutte le coniche a centro del fascio. Che relazioni ha tale curva con i punti base del fascio?

Svolgimento. (a) La generica conica del fascio ha matrice

A_(λ,µ)=





0 λ 2λ

λ µ µ

2λ µ −2λ



 e det A = 2λ³.

Dunque vi `e una sola conica degenere nel fascio, ovvero C(0,1) : X1(X1 + 2X2) = 0. Tutte le coniche passano per l’origine e sono tangenti alla retta r : X1 + 2X2 = 0 in quel punto. Le coniche C(1,0) : X0X1+ 2X0X2− X₂²= 0 eC(0,1)si intersecano nei punti base del fascio, che sono

P =

₁

0 0

(molteplicit`a 3), e Q =

₁

0 2

.

Nel piano affine che si ottiene mandando all’infinito la retta X2 − 2X1 = 0, il fascio ha un punto base all’infinito, P , e quindi le coniche non degeneri sono tutte iperboli ed uno degli asintoti coincide con la retta r.

(b) Nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X₀= 0, il tipo di conica

`

e determinato dal segno di det_µ _µ

µ −2λ

= −µ(2λ + µ). Quindi la situazione

`

e descritta nel diagramma a fianco, ove la zona ombreggiata rappresenta i valori (λ, µ) per cui si ottengono ellissi, mentre la zona bianca, rappresenta i valori per cui si ottengono iperboli. Le linee tratteggiate corrispondono alle due parabole del fascio. Una parabola non degenere `eC(1,0) : X0X1+ 2X0X2− X₂² = 0, ovvero x = (y − 1)²− 1 in coordinate affini. Dunque ha asse h : y = 1, vertice in

₁

−1 1

, equazione canonica 2Y = 2X².

2λ+µ=0

µ=0 λ

µ

L’altra parabola `eC(−1,2): −2X0X1−4X0X2+2X₁²+4X1X2+2X₂²= 0. Ha asse h : −3X0+4X1+4X2= 0, vertice in V =

₁₆

15

−3

, equazione canonica 2Y = 4√ 2X². (c) I centri sono i punti propri

x₀ x1

x₂

che sono soluzioni di uno (almeno) dei sistemi lineari

λX0+ µX1+ µX2= 0 2λX0+ µX1− 2λX2= 0,

al variare dei parametri omogenei (λ, µ). Dunque, per tali valori delle X_i, il sistema lineare omogeneo

λx0+ µ(x1+ x2) = 0 λ(2x₀− 2x₂) + µx₁= 0,

ha soluzioni non banali, per cui deve aversi x0x1 − (x1+ x2)(2x0 − 2x2) = 0 che `e l’equazione di una conica contenente i centri delle coniche del fascio. Anche questa conica `e tangente in P alla retta r, ma non

appartiene al fascio.

(4)

ESERCIZIO 4. In P³(R), si consideri la quadrica

Q : −X0²− 6X0X3+ X₁²+ 4X1X3− 2X₂²+ X₃²= 0.

(a) [3 punti] Si classifichi la quadrica in P³(R) e nello spazio affine che si ottiene togliendo il piano X⁰= 0.

Posta la consueta metrica euclidea, si determinino l’equazione canonica e gli assi diQ.

(b) [3 punti] Si determinino le equazioni di rette contenute nel supporto di Q. È vero che esiste un’affinità che trasforma Q in un ellissoide? È vero che esiste una proiettività di P³(R) che trasforma Q in un ellissoide?

(c) [3 punti] Si determinino, se esistono, i piani che tagliano cerchi suQ. Si determini il luogo formato dai centri dei cerchi tagliati suQ. Che relazione ha questo luogo con il punto (improprio) di intersezione delle due giaciture che tagliano cerchi suQ?

Svolgimento. (a) La quadrica ha matrice

A =







−1 0 0 −3

0 1 0 2

0 0 −2 0

−3 2 0 1





 e det A = 12, det A⁰ = 6.

Si tratta quindi di una quadrica non degenere, a punti iperbolici (dato che vi sono dei punti reali) e la sua restrizione al piano improprio è non definita e non degenere, quindi nello spazio affine è un iperboloide iperbolico. Il centro è il punto C =

1 2 0

−1

! .

Il polinomio caratteristico di A⁰`e det(A⁰− λ13) = (λ + 2)(λ + 1)(λ − 3) e quindi gli autovalori sono −2,

−1, 3, che determinano le direzioni degli assi, ovvero

P1=

0 0 1 0

!

, P2=

0 1 0

−1

!

, P3=

0 1 0 1

! .

Gli assi hanno quindi equazioni affini h1: (x − 2) + (z + 1) = 0

(x − 2) − (z + 1) = 0, h2: y = 0

(x − 2) + (z + 1) = 0, h3: y = 0

(x − 2) − (z + 1) = 0. Infine, l’equazione canonica `e X²+¹₂Y²−³₂Z²= 1 nel riferimento ortonormale che ha gli assi della quadrica come assi coordinati.

(b) Con il completamento dei quadrati l’equazione diQ si pu`o scrivere nella forma 6X₃²− (X0+ 3X3)²+ (X1+ 2X3)²− 2X₂²= 0.

Con il cambiamento di coordinate Y0= X0+ (3 +√

6)X3, Y1= −X0− (3 −√

6)X3, Y2= X1−√

2X2+ 2X3, Y3= X1+√

2X2+ 2X3, l’equazione prende la forma Y0Y1+ Y2Y3 = 0, da cui si deducono con procedimenti standard le equazioni delle due schiere di rette suQ.

Non possono esistere proiettività (reali) che trasforminoQ in un ellissoide perché la quadrica data ha punti iperbolici (sgn(2, 2)) e nessuna proiettività reale può trasformarla in una quadrica a punti ellittici.

Tanto meno possono esistere delle affinit`a.

(c) Le intersezioni traQ e l’assoluto sono le soluzioni del sistema

Q ∩ H :







X0= 0

X₁²+ X₂²+ X₃²= 0

X₁²+ 4X1X3− 2X₂²+ X₃²= 0 .

(5)

Il fascio di coniche determinato daQ ed H sul piano improprio contiene la conica

X0= 0

2(X1+ X3)²− X₂²= 0

che si spezza nel prodotto di due rette reali che danno quindi le giaciture dei piani che tagliano cerchi sulla quadrica. Si han quindi i due fasci di piani (paralleli) di equazioni affini τt : √

2x + y +√

2z = t e σs:√

2x − y +√

2z = s, al variare di s e t in R. I luoghi dei centri sono due rette per il centro di Q contenute nel piano polare del punto di intersezione tra le due giaciture (perch´e? Scrivere l’equazione delle due rette!).

(6)

prova scritta del 3 luglio 2008 – Compito B

ESERCIZIO 1. Si consideri la proiettivit`a, f : P³(R) → P³(R), di matrice

A =







3 0 0 0

−2 3 0 2

2 1 3 −2

0 0 0 3







nel riferimento canonico {e₀, . . . , e₃}.

(a) [3 punti] Si determinino punti, rette e piani uniti rispetto ad f .

(b) [3 punti] Si determinino i sottospazi proiettivi su cui f induce un’omologia (speciale o non-speciale) e si determinino in ogni caso asse e centro dell’omologia.

(c) [3 punti] In P³(R) si considerino gli elementi P , r e π, di equazioni cartesiane

π : X3= 0, r : X2= 0

X₃= 0, P :







X1= 0 X2= 0 X₃= 0 .

Si determinino le matrici di tutte le proiettivit`a di P³(R) che hanno P , r e π come elementi uniti. Si caratterizzino quelle che li hanno come unici elementi uniti.

ESERCIZIO 2. Su una retta proiettiva (reale), si consideri il riferimento {P∞, P0, P1} e, per ogni numero razionale, x, si indichi con Px il punto di coordinata affine x nel riferimento dato, ovvero l’unico punto tale che (P∞, P0, P1, Px) = x.

(a) [3 punti] Si mostri che, per ogni numero naturale, n, si ha

(P∞, Pn, Pn−1, Pn+1) = −1, e (P0, P1/n, P1/(n−1), P1/(n+1)) = −1;

ove si `e usata la convenzione 1/0 = ∞, per n = 1. Si concluda che ogni punto Px, al variare di x in Q,

`e costruibile con la sola riga a partire dai punti del riferimento.

(b) [3 punti] Siano date nel piano affine due rette parallele, r ed s, ed una coppia di punti distinti, P0e P1, su r. Si descriva un procedimento che utilizzi solo la riga per dividere in tre parti uguali il segmento P0P1.

(c) [3 punti] Perch´e non si pu`o usare il procedimento duale sui fasci di rette per dividere un angolo in tre parti uguali?

ESERCIZIO 3. In P²(R), si consideri il fascio di coniche di equazioni

C(λ,µ): 2λX0X1+ 2λX0X2+ 2µX₁²+ 2µX1X2− λX₂²= 0 al variare dei parametri omogenei (λ, µ).

(a) [3 punti] Si determinino i punti base, le coniche degeneri del fascio ed eventuali rette tangenti a tutte le coniche del fascio. Al variare di (λ, µ), si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X2− 2X0= 0.

(b) [3 punti] Al variare di (λ, µ), si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X0 = 0. Ponendo su questo piano l’usuale metrica euclidea, si determinino asse, vertice ed equazione canonica per le eventuali parabole, non degeneri, appartenenti al fascio.

(c) [3 punti] Si scriva l’equazione di una curva, se esiste, contenente i centri di tutte le coniche a centro del fascio. Che relazioni ha tale curva con i punti base del fascio?

(7)

Q : −2X0X₂− 6X0X₃+ 2X₁²+ 2X₁X₃− X₂²+ 2X₃²= 0.

(a) [3 punti] Si classifichi la quadrica in P³(R) e nello spazio affine che si ottiene togliendo il piano X0= 0.

Posta la consueta metrica euclidea, si determinino l’equazione canonica e gli assi diQ.

(b) [3 punti] Si determinino le equazioni di rette contenute nel supporto di Q. È vero che esiste un’affinità che trasforma Q in un ellissoide? È vero che esiste una proiettività di P³(R) che trasforma Q in un ellissoide?

(c) [3 punti] Si determinino, se esistono, i piani che tagliano cerchi suQ. Si determini il luogo formato dai centri dei cerchi tagliati suQ. Che relazione ha questo luogo con il punto (improprio) di intersezione delle due giaciture che tagliano cerchi suQ?