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Esercizio 1. Si considerino le rette r

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(1)

GEOMETRIA

PROVA SCRITTA DEL 4/02/2014 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI

Esercizio 1. Si considerino le rette r

1

ed r

2

, di equazioni parametriche

r

1

:

 

  x = t, y = 1 − t, z = 2 + 3t,

r

2

=

 

 

x = 1 − t, y = 2t, z = 3 − 4t, ed il piano α, di equazione cartesiana

α : x + y + 2z + 1 = 0.

(1) Si verifichi che le rette r

1

ed r

2

sono sghembe.

(2) Si verifichi che r

1

ed r

2

sono entrambe incidenti ad α.

(3) Si descriva in forma parametrica la retta perpendicolare ad α ed incidente ad entrambe r

1

ed r

2

.

Soluzione. Le due rette hanno velocit` a v

1

=

 1

−1 3

, v

2

=

−1 2

−4

 e passano per i punti P

1

= (0, 1, 2) e P

2

= (1, 0, 3), rispettivamente.

(1) La condizione necessaria e sufficiente affinch´ e le rette r

1

ed r

2

siano sghembe ` e che i tre vettori v

1

, v

2

, −−→

P

1

P

2

siano linearmente indipen- denti, cio` e che il determinante della matrice che li ha come colonne sia diverso da zero. Abbiamo

1 −1 1

−1 2 −1

3 −4 1

=

1 0 0

−1 1 0

3 −1 −2

= −2 6= 0 e questo prova che r

1

ed r

2

sono sghembe.

(2) Il fatto che le rette r

1

ed r

2

siano incidenti ad α ` e equivalente al fatto che le loro velocit` a non appartengano al sottospazio vettoriale associato ad α. A questo scopo occorre e basta che sia diverso da zero il prodotto scalare di v

1

e v

2

con la direzione n =

 1 1 2

 perpendicolare ad α. Abbiamo

n · v

1

= 1 − 1 + 6 = 6 6= 0, n · v

2

= −1 + 2 − 8 = −7 6= 0.

Quindi le due rette non sono parallele ad α, e dunque gli sono incidenti.

(3) La retta cercata ` e l’intersezione dei piani α

1

= r

1

+ Rn ed α

2

= r

2

+ Rn. Le direzioni normali n

1

ed n

2

ai due piani si possono prendere

1

(2)

uguali ai prodotti vettore n

1

= n × v

1

ed n

2

= n × v

2

:

n

1

=

 1 1 2

 ×

 1

−1 3

 =

 5

−1

−2

 , n

2

=

 1 1 2

 ×

−1 2

−4

 =

−8 2 3

 .

Poich´ e P

1

∈ α

1

, P

2

∈ α

2

, le equazioni cartesiane dei due piani sono ( α

1

: 5x − y − 2z = −5,

α

2

: −8x + 2y + 3z = 1.

La retta r cercata ha velocit` a parallela ad n. Poich´ e ` e l’intersezione α

1

∩ α

2

, per determinare le sue equazioni parametriche sar` a sufficiente trovare un punto P dell’intersezione α

1

∩ α

2

. Determiniamo il punto P di r di ascissa x = 0, risolvendo il sistema lineare

( y + 2z = 5,

2y + 3z = 1 =⇒

( y = −13 z = 9.

Le equazioni parametriche cercate sono allora

 

  x = t, y = t − 13, z = 2t + 9.

 Esercizio 2. Si discuta, al variare del parametro reale k, il tipo della quadrica affine Q

k

, di equazione

x

2

+ 2kxy + y

2

− z

2

+ 2kx + 2z + 1 = 0.

Soluzione. Le matrici completa ed incompleta associate alla quadrica affine Q

k

sono

B =

1 k 0 k

k 1 0 0

0 0 −1 1

k 0 1 1

, A =

1 k 0 k 1 0 0 0 −1

 .

Abbiamo

det A = k

2

− 1, det B = 3k

2

− 2.

(3)

Quindi la quadrica ` e non degenere se 3k

2

6= 2 ed a centro se k

2

6= 1.

Allora k

2

< 2

3 ⇒ det B < 0, det A < 0 ⇒ iperboloide a due falde, k

2

= 2

3 ⇒ det B = 0, det A < 0 ⇒ cono, 2

3 < k

2

< 1 ⇒ det B > 0, det A < 0 ⇒ iperboloide a una falda,

k

2

= 1 ⇒ det B > 0, segnatura di A = (+, −, 0) ⇒ paraboloide iperbolico, k

2

> 1 ⇒ det B > 0, segnatura di A = (+, −, −) ⇒ iperboloide a una falda.

 Esercizio 3. Sia A la matrice reale 5 × 5

A =

1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1

 .

(1) Si calcolino i suoi autovalori e le loro molteplicit` a algebriche e geometriche.

(2) Si scriva A in forma canonica di Jordan.

(3) Si dica se A ` e invertibile.

Soluzione. La matrice A ` e triangolare superiore ed ha polinomio carat- teristico p

A

= (λ − 1)

5

. Ha quindi l’unico autovalore reale 1 con molteplicit` a algebrica 5. ` E poi

B = A − I =

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0

, di rango 2.

Quindi la molteplicit` a geometrica di A ` e uguale a tre. Abbiamo

B

2

=

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0

, B

3

= 0.

(4)

Quindi A si decompone in tre blocchi di Jordan, uno 3 × 3 e due 1 × 1.

Una sua forma di Jordan ` e quindi

 1

1 1 1

1 1 1

 .

La matrice A ` e invertibile perch´ e ha determinante 1 6= 0. 

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