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Fasci di rette Si dice fascio improprio di rette generato dalla retta r: ax+by+c=0, di parametri direttori

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Academic year: 2021

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(1)

Fasci di rette

Si dice fascio improprio di rette generato dalla retta r: ax+by+c=0, di parametri direttori [(b,-a)], l’insieme di tutte le rette parallele ad r. Tale insieme sarà quindi costituito da rette caratterizzate da equazioni del tipo:

ax+by+k=0, k∈R.

Si dice fascio proprio di rette di centro C=(xC,yC) l’insieme di tutte le rette passanti per C. Sapendo che una retta di equazione ax+by+c=0 conterrà il punto C se e solo se axC+byC+c=0, allora tale insieme sarà costituito, per esempio, da rette caratterizzate da equazioni del tipo:

ax+by-( axC+byC)=0, a,b∈R con (a,b)≠(0,0).

Teorema. Se r: a1x+b1y+c1=0 e s: a2x+b2y+c2=0 sono rette distinte incidenti nel punto C, allora il fascio proprio di centro C è rappresentato dalle equazioni:

(2)

Esercizio 1

a) Determinare un’equazione del fascio proprio di rette individuato da r: 2x+y=0 ed s: x+2y+3=0 e determinare le coordinate del centro P del fascio.

b) Determinare tutte le equazioni delle rette con parametri direttori[(-2,1)].

Svolgimento

a) αααα(2x+y)+ββββ( x+2y+3)=0 αααα,ββββ∈R, (α,β)≠(0,0).

Il centro del fascio è il punto P di coordinate:

=

=

= +

=

= + +

= +

1 x

2 y

0

3 4x x

2x y

0

3 2y x

0 y 2x

P=(1,-2).

Attenzione: scrivendo, per esempio,

k(2x+y)+(x+2y+3)=0 k∈R

si rappresentano tutte le rette passanti per P eccetto r . b) Le rette appartengono tutte al fascio improprio di equazione:

(3)

Esercizio 2

Siano r: y+1=0 e s: 2x-y-3=0 due rette.Si determinino:

a) il fascio di rette generato da r e da s;

b) la retta passante per r∩s e per P=(1,-3);

c) il fascio improprio generato da r;

d) il fascio generato da due rette passanti per P.

Svolgimento

a) Il fascio generato dalle rette r e s ha equazione:

FF

FF1111:::: αααα(y+1)+ββββ(2x-y-3)=0 αααα, ββββ∈R, (α,β)≠(0,0).

b) la retta appartiene a FFFF11 11 e passa per P:

α α α

α(yP+1)+ββββ(2xP-yP-3)=0 cioè αααα(-3+1)+ββββ(2+3-3)=0 α

α α

α=…,

sostituendo nel fascio FFFF11 11 si ottiene:

….=0 equivalente a …=0.

c) FFFF2222:::: y+k=0 k∈R.

d) x-1=0 e y+3=0 sono rette distinte passanti per P,

(4)

Oppure: ax+by-( a.1+b(-3))=0, a,b∈R…

Esercizio 3

Interpretare in A2(R) la discussione del sistema

= +

= +

=

4 2

) 3 (

2 )

3 (

2 )

2 (

k y x

k

ky x k

k y

k

.

La matrice completa del sistema:

4 2 2 2 3 3

2 0

k k k

k k

k

non ha mai rango tre (determinante nullo sempre).

Per k=2 : . Per k=3 : . Per k≠≠≠≠3∧ k≠≠≠≠2: .

(5)

Punto medio

Dati A=(xA,yA) e B=(xB,yB), il punto medio del segmento AB è di coordinate (è il traslato di A rispetto al vettore ½ AB ): M =xA +2 xB , yA 2+yB

Esempio

Dati A=(4,-3) e B=(-1,0), il punto medio del segmento AB è di coordinate: M =421,-32+0 = −2

, 3 2 M 3

Simmetria centrale (rispetto ad un punto)

Un punto P′ è simmetrico di un punto P rispetto a C (centro di simmetria) se e solo se C è il punto medio di P P′.

B

O e1

e2

xA xB

yA

yB

A M

xM

yM

(6)

Esercizio 4

Determinare il punto simmetrico di A=(-2,3) rispetto a C=(1,1).

Il punto A′ cercato ha coordinate (xA′, yA′,) che soddisfano la formula:

=

=

+ =

+ =

+ +

= y 1

4 x

2 1 y 3

2 1 x 2 - 2

y ,y

2 x C x

A' A' A'

A' A'

A A'

A A′=(4,-1).

Esercizio 5

Determinare un’equazione della retta t′ simmetrica di t: x-y+3=0 rispetto a C=(-2,0).

P

C

P′

A B

D

A′

B′

D′

(7)

Un punto P generico della retta t ha coordinate (xP,xP+3) con xP∈R.

Il suo simmetrico P′ ha coordinate (x,y) che devono soddisfare le formule del punto medio:

+

=

=

+ = +

+ =

+ +

= y ( 3)

4 x

2 0

y 3) (x

2 2 x 2

y , y

2 x

C x P

P

P P

P

xP

x x

equazione parametrica della retta t′, sostituendo il parametro xP si ottiene t′: y=x+1.

Esercizi da svolgere:

1) Determinare natura, generatrici ed eventualmente il centro del fascio F: x(α+2β)+y(α-β)+α=0 α, β∈R, (α,β)≠(0,0)

2) Determinare un’equazione della retta r′ simmetrica di r:

3x-2y+1=0 rispetto a C=(1,-1).

(8)

Spazio affine AAAA3(RRRR)

Dato uno spazio affine e un riferimento affine [O,B], il legame tra le coordinate e le componenti è

(

xP,yP,zP

)

OP xPe1 yPe2 zPe3

P = = + +

(

xP,yP,zP

)

,Q

(

xQ,yQ,zQ

)

PQ (xQ xP)e1 (yQ yP)e2 (zQ zP)e3

P= = = + +

Durante le lezioni di teoria sono state dimostrate:

Equazioni della retta

Forma parametrica forma cartesiana

= +

+ +

= + +

+

+

=

+

=

+

=

0 , 0

2 2

2 2

1 1

1 1

d z c y b x a

d z c y b x R a

n z

z

m y

y

l x

x

P P P

λ λ

λ λ

con la condizione che:

Q O

e2

e3

yP yQ

zP

zQ

P

e1

xP

xQ

x

z

y

(9)

[(l,m,n)] è la classe dei parametri direttori della retta.









= R

b a

b a c a

c a c

b c n b

m

l ρ ρ

2 2

1 1 2 2

1 1 2

2 1

1 , ,

)]

, , [(

o si risolve il sistema lineare omogeneo associato:

= +

+

= +

+

0 0

2 2

2

1 1

1

n c m b l a

n c m b l a

Equazioni del piano

Forma parametrica forma cartesiana

0 ,

,

2 1

2 1

2 1

= + + +

+ +

=

+ +

=

+ +

=

d cz by ax R

n n

z z

m m

y y

l l

x x

P P

P

µ λ µ

λ

µ λ

µ λ

con la condizione che:

2

2 1 2 1 2

1 =



n n m

m l

r l

Condizioni di parallelismo 1) retta-retta [(l1,m1,n1)] =[(l2,m2,n2)]

(10)

Esercizio 1

Sia [O,B] un riferimento affine nello spazio affine AA

AA3(RR). Si determini (nel caso esistano) le equazioni RR dei seguenti:

a) la retta r passante per P=(-1,-3,-1) e con spazio direttore W={(α,3α,0)  α∈R};

b) il piano passante per i punti P, Q=(2,0,-1) e R=(1,1,3);

c) il piano π passante per Q e contenente r;

d) il piano τ passante per R e parallelo a π;

e) il piano ω contenente la retta r e parallelo al piano δ: -x+2y+3z-10=0.

Svolgimento

a) la classe dei parametri direttori è dunque [(1,3,0)]

e la retta può essere scritta il forma parametrica mediante le equazioni:

(11)

R z

y x

r

+

=

+

=

+

=

λ λ

λ λ

0 1

3 3

1 1

:

dalle quali si ottiene una rappresentazione cartesiana:

= +

+

= +

0 1

3 )

1 (

3 z

y x

cioè

= +

=

0 1

0 : 3

z y

r x .

Per ottenere direttamente la forma cartesiana si può ragionare sul vettore che congiunge P con un qualsiasi punto di tale retta (x,y,z): tale vettore ha componenti (x+1,y+3,z+1) e deve essere linearmente dipendente da (1,3,0). Allora:

0 1 1 3

3 1

1  =



x + y + z + r

Usando il teorema degli orlati: 3 ≠ 0 imponiamo che i due minori di ordine 2 che orlano 3 abbiano determinante nullo:

(12)

0 ) 1 (

3 0 0

3

1 3

0 3 3

3 3 0

1

3 1

= +

+ =

+

=

+

+ =

+

z z y

y y x

x

equazioni già trovate.

b) Con un ragionamento simile a quello fatto nel piano affine per determinare la retta passante per due punti si ottiene che il piano per tre punti ha eq.:

0 1 z y

x

1 z y

x

1 z y

x

1 z y

x det 0

z z y y

x x

z z y y

x x

z - z y

- y x

- x det

R R

R

Q Q

Q

p P P

p R p

R p

R

p Q P

Q p

Q

P P

P

=





=

Dunque:

4 4

2

0 3

3

1 z 3 y 1 x 1 3 3 1 1 1

1 1 - 3 0 1 2

1 z 3 y 1 x z

z y y x x

z z y y x x

z - z y

- y x

- x det

p R p R p R

p Q P Q p Q

P P

P + + +

= + +

+

+ +

+

+ +

+

=

da cui 2x-2y+z-3=0.

c) Il piano π, dovendo contenere r, conterrà necessariamente due punti distinti di r di cui uno è

(13)

A= (0,0,-1). Utilizzando la formula precedente, il piano π passa per tre punti: A, P e Q. π: z+1=0.

d) Per determinare il piano parallelo a π consideriamo il fascio improprio di piani paralleli a π di equazione z+k=0 con k∈R. Imponendo che il punto R appartenga al piano: zR+k=0 cioè k=-3.

Allora τ : z-3=0.

e) Il piano richiesto appartiene al fascio improprio di piani paralleli al piano δ: -x+2y+3z-10=0 di equazione: -x+2y+3z+k=0 con k∈R. Tale piano conterrà necessariamente due punti distinti di r P=(-1,-3,-1) e A= (0,0,-1); imponendo il passaggio per P si ottiene: -(-1)+2(-3)+3(-1)+k=0, k=8.

A P

Q r

(14)

-x+2y+3z+8=0 non è soddisfatta dalle coordinate di A. Il piano ω …………...

Esercizio 2

Determinare le equazioni delle rette passanti per A=(1,0,2):

a) parallela a r di equazione:

= +

=

0 3

0 : 3

z y

r x ;

b) passante per B=(0,2,-1);

c) parallela alla retta per C=(2,1,3) e D=(-1,0,-1).

Svolgimento

a) i parametri direttori della retta r sono [(3,1,0)], dunque le equazioni parametriche si ottengono:

+

= +

= +

=

+

=

+

=

+

=

0 2

z

1 0

y

3 1

x z

z y y

x x

A A A

λ λ λ λ

λ λ λ

R n

m l

Per avere le equazioni cartesiane si può esplicitare λ dalla seconda equazione ottenendo il sistema:

(15)

=

=

0 2

1 3

z y x

Oppure dalla condizione:

0 1 2 1

0 3

1  =



x y z

r

b) I parametri direttori sono proporzionali alle componenti del vettore AB: (-1,2,-3).

La retta ha equazioni:

= +

=

=

+

=

+

=

+

=

λ λ λ λ

λ λ λ

3 2 z

2 0 y

1 x z

z y y

x x

A A A

R n

m l

.

L’equazione cartesiana è ottenuta o isolando λ e eliminandolo in due equazioni oppure dalla condizione:

3 1 2 2

0 1

1  =



y z

r x

=

=

+

0 1 3

0 2 2

z x

y x

c) I parametri direttori sono proporzionali alle componenti del vettore AB: (-3,-1,-4).

(16)

La retta ha equazioni

=

=

=

+

=

+

=

+

=

4 2

z

1 0

y

3 1

x z

z y y

x x

A A A

λ λ λ λ

λ λ λ

R n

m l

.

L’equazione cartesiana è ottenuta o isolando λ e eliminandolo in due equazioni oppure dalla condizione:

4 1 2 1

0 3

1  =



y z

r x

= +

=

0 2 3

4

0 1 3

z x

y x

(17)

Fascio improprio di piani ax+by+cz+k=0, k∈R

Fascio proprio di piani di asse r

2 rango

con 0

: 0

2 1 2 1 2 1 2

2 2

2

1 1

1

1  =



= +

+ +

= + +

+

c c b

b a

a d

z c y b x a

d z c y b x r a

Sono i piani di equazione: α,β∈R, (α,β)≠(0,0)

(

a1x+b1y+c1z+d1

) (

+β a2x+b2y+c2z+d2

)

= 0 α

Stella propria di piani

di centro P=(xp,yp,zp)∈ πi: aix+biy+ciz+di=0 i=1,2,3

α(a1x+b1y+c1z+d1)+β(a2x+b2y+c2z+d2)+γ(a3x+b3y+c3z+d3)=0

r

ax+by+cz=0

(18)

Esercizio 3

Sia Fk: kx+(k-1)y–(k-3)z+3=0 con k∈R, la rappresentazione di un fascio di piani,

a) se ne studi la natura;

b) si studi l’intersezione tra Fk e il piano di equazione z+1=0.

Svolgimento

a) le equazioni date rappresentano tutti i piani del fascio proprio di asse

=

=

+

0 3 3

: 0

z y

z y

r x ad eccezione del piano di equazione x+y-z=0.

b) per studiare l’intersezione dovremo studiare il sistema:

= +

= +

+ k R

z

z k

y k

kx

0 1

0 3 )

3 (

) 1 (

.

Poiché la matrice incompleta del sistema ha sempre rango 2 (rango massimo)

(19)

le soluzioni di tale sistema saranno ∞3-2. Geometricamente questo significa che i piani assegnati si intersecano per ogni k reale lungo una retta e le soluzioni del sistema (per k fissato) rappresentano ∞1 punti di tale retta.

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