Tre resistenze in serie

(1)

Tre resistenze in serie

Un circuito è formato da tre resistenze collegate in serie a una batteria da 24,0 V. La corrente nel circuito è di 0,0320 A.

Sapendo che R

₁

= 250,0 Ω e R

₂

= 150,0 Ω, calcola a)il valore di R

₃

b)la differenza di potenziale ai capi di ciascuna resistenza

Descrizione del problema La figura riporta lo schema del circuito con le tre resistenze e

quello del circuito con la resistenza equivalente

Nel primo circuito ogni resistenza è

attraversata dalla stessa corrente I

(2)

Strategia

Possiamo ottenere la resistenza equivalente del circuito utilizzando la legge di Ohm R

_eq

= ε ^/I

Poiché le resistenze sono in serie, sappiamo che

R

_eq

= R

₁

+ R

₂

+ R

₃

, quindi possiamo ricavare l’unica incognita R

₃

Per calcolare la differenza di potenziale ai capi di

ciascuna resistenza utilizziamo ancora la legge di

Ohm, V = IR

(3)

Soluzione

a)Utilizziamo la legge di Ohm per calcolare la resistenza equivalente del circuito

Imponiamo l’uguaglianza tra R_eqe la somma delle resistenze e ricaviamo R₃

R_eq = R₁ + R₂ + R₃ → R₃ = R_eq ‒ R₁ ‒ R₂ =

= 750,0 Ω ‒ 250,0 Ω ‒ 150,0 Ω = 350,0 Ω

b)Utilizziamo la legge di Ohm per calcolare la differenza di potenziale ai capi di R₁

V₁ = IR₁ = (0,0320 A) (250,0 Ω) = 8,00 V

Ripetiamo il calcolo per la d.d.p. ai capi di R₂ ed R₃ V₂ = IR₂ = (0,0320 A) (150,0 Ω) = 4,80 V

V₃ = IR₃ = (0,0320 A) (350,0 Ω) = 11,2 V

(4)

Osservazioni

´ All’aumentare della resistenza aumenta la differenza di potenziale

´ La somma delle singole d.d.p. è 24,0 V, come ci aspettavamo

(5)

Resistenze in serie e in parallelo

Un esempio di resistenze in serie è la resistenza interna di una batteria

(6)

Resistenze in parallelo

Le resistenze sono in parallelo quando sono

collegate alla stessa differenza di potenziale

(7)

Resistenza equivalente di resistenze in parallelo

(8)

Tre resistenze in parallelo

Un circuito è formato da tre resistenze, R₁ = 250,0 Ω,

R₂ = 150,0 Ω e R₃ = 350,0 Ω, collegate in parallelo con una batteria da 24,0 V

Calcola

a)la corrente totale fornita dalla batteria

b)la corrente che passa attraverso ciascuna resistenza

(9)

Tre resistenze in parallelo

Descrizione del problema

In figura sono mostrati il collegamento in parallelo delle tre resistenze con la batteria e il circuito con la resistenza equivalente. Osserviamo che alle estremità di ogni resistenza c’è la stessa differenza di potenziale

Strategia

a)Possiamo determinare la corrente totale utilizzando la relazione I =

ε

^/R^eq^{, dove 1/R}^eq ^{= 1/R}¹ ^{+ 1/R}² ^{+ 1/R}³

b)Per ogni resistenza la corrente si ricava dalla legge di Ohm, I =

ε

^/R

(10)

Tre resistenze in parallelo

Soluzione

a)Calcoliamo la resistenza equivalente del circuito, utilizzando la relazione

da cui R_eq = (0,01352 Ω^‒1)^‒1= 73,96 Ω

Utilizziamo la legge di Ohm per calcolare la corrente totale

(11)

Tre resistenze in parallelo

´ Determiniamo I1 dalla legge di Ohm I1 = ε/R1, con ε = 24,0 V

´ Ripetiamo il calcolo precedente per le correnti I2 e I3

(12)

Resistenze in serie e in parallelo

Potenza dissipata nei circuiti

Confrontiamo la potenza dissipata nei Problem solving 6 e 7

(13)

Semplificazione di circuiti con un solo generatore

(14)

Una combinazione speciale

Nel circuito rappresentato in figura la fem della batteria è 12,0 V e tutte le resistenze hanno lo stesso valore R = 200 Ω Determina

a)la corrente erogata al circuito dalla batteria

b)la corrente che attraversa le due resistenze del ramo inferiore

Descrizione del problema

Il circuito ha tre resistenze collegate a una batteria

Le due resistenze del ramo inferiore sono in serie l’una con

l’altra e in parallelo con quella del ramo superiore

(15)

Strategia

a)La corrente I è data dalla legge di Ohm, I = ε/R

_eq

, dove R

_eq

è la resistenza equivalente delle tre resistenze

Per determinare R

_eq

osserviamo anzitutto che le due resistenze del ramo inferiore sono in serie e che la loro resistenza totale è pari a 2R

La resistenza del ramo superiore, R, è in parallelo con 2R,

quindi la R

_eq

richiesta corrisponde alla resistenza equivalente di quest’ultima combinazione

b)Poiché la tensione applicata al ramo resistivo inferiore è pari alla fem ε, la corrente che lo attraversa è

I

_inf

= ε/R

_eq,inf

= ε/2R

(16)

Soluzione

a)Calcoliamo la resistenza equivalente delle due resistenze nel ramo inferiore

R_eq,inf= R + R = 2R

Calcoliamo la resistenza equivalente di R in parallelo con 2R

Calcoliamo la corrente I erogata dalla batteria

b)Utilizziamo

ε

^{e R}^eq,infper calcolare la corrente che scorre nelle resistenze del ramo inferiore

(17)

Osservazioni

La resistenza equivalente delle tre resistenze da 200 Ω è minore di 200 Ω (infatti è di soli 133 Ω)

Notiamo anche che attraverso le due resistenze del ramo

inferiore scorrono 30,0 mA e che quindi nel ramo superiore

scorre una corrente doppia, cioè 60,0 mA

(18)

Applicazione delle leggi di Kirchhoff ai circuiti complessi

1. Per ciascuna maglia del circuito scegliamo un punto di partenza

2. Immaginiamo di “tagliare” il circuito e di

“raddrizzarlo” e indichiamo il verso scelto per la

corrente

(19)

3/4. Consideriamo il tratto AB dove è presente il generatore e il tratto BC dove è presente la resistenza

5. La convenzione sui segni permette di percorrere in un verso a piacere la maglia. Costruiamo ora il grafico del potenziale nei due casi

(20)

Circuito con un solo generatore

(21)

Circuito con due generatori

(22)

(23)

Circuiti con condensatori

Condensatori in parallelo

simbolo del condensatore

Capacità equivalente di condensatori in parallelo C_eq = C₁ + C₂ + C₃ + … = ΣC

(24)

Energia in parallelo

Due condensatori, uno di capacità 12,0 μF e l’altro di

capacità incognita C, sono collegati in parallelo con una batteria la cui fem è 9,00 V. L’energia totale

immagazzinata nei due condensatori è 0,0115 J. Qual è il valore della capacità C?

Nello schema è rappresentato il circuito formato da una batteria da 9,00 V e da due condensatori in parallelo e il circuito con la capacità equivalente. L’energia

immagazzinata nei due condensatori, 0,0115 J, è uguale a quella immagazzinata nella capacità equivalente dello stesso circuito

9

(25)

Circuiti con condensatori

Condensatori in serie

Capacità equivalente di condensatori in serie

(26)

Circuiti RC

Carica di un condensatore

Carica sul condensatore in un circuito RC q(t) = C

ε

^{(1 ‒ e}^‒t/τ⁾

τ = costante di tempo del circuito

(27)

Corrente in un circuito RC

(28)

(29)

La carica di un condensatore

Un circuito è formato da una resistenza di 126 Ω, una resistenza di 275 Ω, un condensatore di 182 μF, un interruttore e una batteria da 3,00 V, tutti collegati in serie

Inizialmente il condensatore è scarico e l’interruttore è aperto

Al tempo t = 0 l’interruttore viene chiuso

a)Quale carica avrà il condensatore dopo molto tempo dalla chiusura dell’interruttore?

b)In quale istante la carica sul condensatore avrà raggiunto l’80%

del valore calcolato nel punto a)?

(30)

La carica di un condensatore

La figura mostra il circuito descritto nel testo del problema con l’interruttore aperto

Una volta chiuso l’interruttore al tempo t = 0, la corrente scorrerà nel circuito e la carica inizierà ad accumularsi sulle armature del condensatore

(31)

Strategia

a)Molto tempo dopo la chiusura

dell’interruttore, la corrente non scorre più e il condensatore è completamente carico. A

questo punto la differenza di potenziale ai capi del condensatore è uguale alla fem della

batteria e la carica sul condensatore è Q = Cε b)Per determinare l’istante in cui la carica sarà l’80% della carica massima Q = Cε, poniamo q(t) = Cε(1 ‒ e

^‒t/τ

) = 0,800 Cε

e ricaviamo t

(32)

La carica di un condensatore

Soluzione

a)Calcoliamo la carica nel condensatore, Q = C

ε

, per il circuito Q = C

ε

= (182 μF) (3,00 V) = 546 mC

b)Poniamo q(t) = 0,800 C

ε

nell’equazione q(t) = C

ε

^{(1 ‒ e}^‒t/τ⁾

0,800 C

ε

^{= C}

ε

^{(1 ‒ e}^‒t/τ⁾

Semplifichiamo il termine C

ε

e ricaviamo t in funzione della costante τ 0,800 = 1 ‒ e^‒t/τ→ e^‒t/τ= 1 ‒ 0,800 = 0,200 t = ‒τ ln 0,200

Calcoliamo τ e utilizziamo il risultato per determinare τ τ = RC = (126 Ω + 275 Ω) (182 μF) = 73,0 ms

t = ‒(73,0 ms) (ln 0,200) = ‒(73,0 ms) (‒ 1,61) = 118 ms

(33)

Scarica di un condensatore

Circuiti RC

(34)

Tre resistenze in serie