Precision Cosmology

Precision Cosmology

Alessandro Melchiorri

University of Rome, “Sapienza”

alessandro.melchiorri@roma1.infn.it

Albert Einstein (1917) applied general relativity for the first time to cosmology introducing the cosmological term.

This may be considered as the birth of modern cosmology...

A brief history of Dark Energy

The 4th of February 1917 Albert Einstein wrote to

Paul Ehrenfest:

“Ich habe wieder etwas verbrochen in der Gravitationstheorie, was mich ein wenig in Gehfahr bringt, in ein Tollhaus interniert zu werden”.

”I have again perpetrated something related to the theory of gravitation that might endanger me of being committed to a madhouse.”

In his attempt Einstein assumed that space is globally closed, because he then believed that this was the only way to satisfy Mach’s principle, in the sense that the metric field should be determined completely by the energy-momentum tensor. In addition, Einstein assumed that the universe was static.



  GT

G  8

These assumptions were, however, not compatible with Einstein’s original field equations (the model was unstable and the universe would recollapse). For this reason Einstein added the famous

term which is compatible with the principles of General Relativity:





  GT g

G  8  

But around 1922 Friedmann and, independently, Lemaitre (1927) proposed a different solution with an expanding universe and therefore no need for a cosmological constant term. Einstein, at the beginning,

rejected the idea of an expanding universe.

In particular Einstein commented the idea as:

“…. while mathematically correct it’s of no physical significance”

While, according to Lemaitre, he was telling him:

“Vos calculs sont corrects, mais votre physique est abominable”

Friedmann’s Universe

 



 



  

 

 ^{2 2 2} ₂ ^{2 2}

2

1 r d

kr t dr

a dt

ds

0 1 0 1

a(t1) a(t2)

Distance

Speed

This is exactly what was measured by Wirtz, Hubble and Humason …

After 1930 the expanding universe model of Friedmann-Lemaitre started to be accepted by the majority of the people.

Albert Einstein rejected the cosmological costant as superfluous and no longer justified:

“ If there is no quasi-static world, then away with the cosmological term” (wrote to Weil)

He then published his new view in

Einstein A. (1931). Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. 235-237

With time the citation to this article changed to:

Einstein A. (1931). Sitzsber. Preuss. Akad. Wiss.

Einstein A. Sitzsber. Preuss. Akad. Wiss. (1931) Einstein A. Sb. Preuss. Akad. Wiss. (1931)

Einstein A. and Preuss S.B. (1931) Akad. Wiss 235

“...Einstein’s biggest blunder....”

Friedmann Metric

] )[

(

2 2

2

2

c dt a t dx dy dz

ds     























2 2

2

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0 1

a a

g_ a























2 2

2

/ 1 0

0 0

0 /

1 0

0

0 0

/ 1 0

0 0

0 1

a a

g^ a



g  g

Einstein Equations









R g R  GT

G 8

2

1 





Einstein’s Tensor

Ricci Tensor Ricci Scalar Energy-momentum Tensor

Metric









 

 







 

 

     

R

 

 







 



 



 



x g x

g x

g g

2

Where the Christoffel’s symbols are defined as:

Friedmann equation I

 

 







 



 



 





2 1

x g x

g x

g







 

These terms are constants, so the derivative must be zero

00 1

0  g  

g ^

0 0

2 1

x g



 



0

2 1

0 0 00

00





 

 x

g

i j ij

ij

a a

x

g  ^ 



 



2

1

Friedmann equation II

i j i

j i

j

a

a ^ 









 0

 _

It is possible to show also that:











 , 0 ,0 00 0 0

00

00

         

R

Let’s compute:

And all the remaining terms:

=0 =0

j i i

j i

R

  

 



Friedmann equation III

j i i

j i

R

  

 



a a a

a a

a a

a a

a a

a

R

t  

   

3 3

3

2 2

2

00

  



 



 

 





 



 



 



 



 



 



 

 

 







 

   

 ^{a a a} 

R

 

2 

 

We can show that:

 





 



 



 



 











2

00

1

6

a a a

R a R a

R g

R

 

 

..and the Ricci scalar is then:









R g R  GT

G 8

2

1 





Friedmann equation IV

We consider a fluid at rest in the comoving frame, so the four-velocity is

) 0 , 0 , 0 , 1

 ( U

 



 









 









) ( 0

0 0

0 )

( 0

0

0 0

) ( 0

0 0

0

t P t

P t

P t

T





The energy momentum tensor is:

Friedmann equation IV

00 00

00

00

8

2

1 g R GT R

G    

a R a 

00

  3

 





 



 



 



 



2

6 a

a a

R a  



 G a

a a

a a

a a

a 6 3 8

2 3 1

2 2

 



 



 

 





 



 



 



 



    

  3

2

8

G a

a  



 



 

Friedmann Equation !!!

From Einstein equations we derive 2 independent equations:

  3

2

8

G a

a  



 



 

 ^P 

G a

a 3

3

4 



 



 



 ^  

Deriving the first and combining with the second and assuming an “equation of state”:

 w P 

We get the conservation equation:

a w da d   3 ( 1  )





Geodetic Equation









 





d dx d

dx d

x

d

  

dt E d dx

d dx d

d d

E  dx   

 ( ,P) ⁰ ₀

P   

 ⃗ 

If we consider the four-velocity:

The geodetic equation for =0 is then:

j i i

j j

i

ij

a a

dt

E dE   

P P     P P

For a massless particle we have:

a a E

a E

g ⁱ_j ^{i j i}_j ^{i j}

2 2

2 P P 0 P P

P

P^{ }      



 0

 E a a dt

dE 

E a 1



So we have:

With solution:

THE ENERGY OF A MASSLESS PARTICLE DECREASES AS THE INVERSE OF THE

SCALE FACTOR IN AN EXPANDING UNIVERSE !

L’evoluzione dell’universo, ovvero l’andamento del fattore di scala e’ legato alla densita’ di energia presente nell’universo tramite l’equazione di Einstein:

  3 8

2 2

2

2

G

a H k

a k a

a     



 



 

Dove H e’ detto parametro di Hubble e la composizione dell’universo e’ in genere descritta da uno o piu’ fluidi perfetti con equazione di stato:



 w P

E da leggi di conservazione si ha:

  _

_

a  a

1

 ^ _  

 

















Costante 8

/

/ 1

/ 1 .

. 1

0 3 / 1

3 4

G

a a Cosm

Cost

Materia Radiazione w

w w





Radiazione

Materia Costante Cosmologica

Log(a(t)) Log(Densita’)

In questo semplice modello possiamo attenderci 3 “ere” nella storia dell’universo dominate energeticamente da Radiazione, Materia e, infine, Costante Cosmologica.

In generale io posso pensare che la densita’ di energia totale sia data da una somma di queste componenti con singole ampiezze da determinare sperimentalmente:





   



Facciamo qualche esempio molto semplice con curvatura nulla (k=0).

  3

2

8

2

G

a

H a  



 



  

3

3 4

 















a a

 

 



  





t t

a

t t

a

t t

a

exp 3 )

( ) (

) (

3 / 2

2 /

Radiazione 1

Materia (Polvere)

Costante Cosmologica

Nel caso di universo a curvatura nulla la densita’ totale deve quindi essere:

G H

Tot



 8

3



Definiamo come densita’ critica la densita’ totale che dovrebbe avere l’universo oggi per essere piatto:

G H

c



 8 3



e introducendo i parametri di densita’ attuali:





/





c R

M

a k a

a H

a H



2 4

3 2

0

)

(        



 







L’equazione di Einstein si puo’ scrivere come:

) 1 ) (

(a t_oggi 

Associando alla curvatura una densita’ di energia:

a

k

k

 



Possiamo scrivere l’equazione di Einstein al presente come:

k R

M

     





1

Introducendo quindi il parametro di densita’ totale:

k R

M

Tot

        



1

Abbiamo che la curvatura e’ legata alla densita’ totale:

Chiuso Piatto Aperto 0

0 0 0

0 0 1

1 1











































k k k

k k k

Tot Tot Tot

Nel caso di assenza di costante cosmologica si ha una connessione diretta tra il ‘destino’ dell’Universo e la sua geometria:

Ma se e’

presente una costante cosmologica allora non c’e’ piu’

una relazione diretta: un

universo chiuso ma dominato da Lambda espande per sempre !

Abbiamo un semplice modello cosmologico (omogeneo ed isotropo) che descrive l’espansione.

Adesso vediamo quali osservabili possiamo determinare e come

possiamo verificare il modello, determinarne i parametri e, al limite, falsificarlo.

In particolare, supponiamo che l’unica componente di energia nell’universo sia quella di materia e che il nostro universo

sia piatto. Si trova una relazione interessante tra il parametro di Hubble misurato oggi e l’eta’ dell’universo:

3 2 1

3 2

0

0







 H t

t a

H a 

Se quindi misuriamo la costante di Hubble e diamo una

stima dell’eta’ dell’universo possiamo verificare se il modello e’ corretto o se invece non possiamo caratterizzare l’energia attuale solo con materia.

Una stima dell’eta’ dell’universo puo’ essere ottenuta attraverso 2 metodi differenti:

Eta’ degli ammassi globulari

Gli ammassi globulari sono tra gli oggetti piu’ antichi della nostra galassia ed una stima della loro eta’ permette un limite inferiore all’eta’ dell’universo.

L’eta’ dell’ammasso globulare puo’ essere stimata attraverso modelli di evoluzione stellare e considerazioni dinamiche.

Eta’ di clusters con bassa presenza di metalli sono stimate tra i 15 e i 17 miliardi di anni.

Datazione con elementi radioattivi

Due isotopi dell’Uranio, il 235 e il 238 possiedono tempi di vita dell’ordine dei 4.5 miliardi di anni. L’ U-238 decade in piombo

Pb-206. Assumendo di conoscere quanto U-238 ci fosse in origine possiamo determinare un limite inferiore all’eta’ dell’universo

attraverso misure di U-238 e Pb-206.

Questi metodi pongono un limite inferiore sui 13 miliardi di anni.

Ma allora mettendo insieme le due misure si ottiene:

3 1 2

0

0

t  

H

L’ Universo attuale quindi, se piatto, non sembra essere dominato dalla sola materia. Una possibile soluzione e’ quella di introdurre una costante cosmologica o un universo aperto.

Considerando tutti i parametri fin qui trovati, si ha che l’eta’

dell’universo e’ legata a loro tramite il seguente integrale:

a da a

a

a t H

r k















 

1

0 2 4

0 0

Gyrs 1 8

.

9

Misure attuali

0 0

H

t