Capitolo 13 Interazione radiazione-materia: i fotoni

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Capitolo 13

Interazione radiazione-materia: i fotoni

13.1 Interazione dei fotoni con la materia

I fotoni interagiscono con la materia attraverso tre effetti : fotoelettrico (ph) compton (C) e produzione di coppie (pp). Per ognuno di questi effetti si definisce una sezione d’urto microscopica σph, σC, σpp.

13.2 L’Effetto fotoelettrico

E’ il processo di interazione di un quanto gamma con gli elettroni legati. In questo processo il fotone si annichila e la sua intera energia viene trasferita all’elettrone.

L’elettrone viene allora espulso dall’atomo con una energia cinetica: Te = Eγ - Bn, dove Eγ è l’energia del fotone e Bn rappresenta l’energia di legame dell’elettrone nella shell atomica n-esima. Ovviamente, per Eγ < BK, l’effetto fotoelettrico è possibile solo su elettroni delle shell L, M, .. e non della shell K. Si ha così una serie di salti nella curva che rappresenta la probabilità di interazione, corrispondenti all’energia di legame delle differenti orbite (figura 13.1).

Fig 13.1 sezione d’urto fotoelettrica in vari materiali

174

Queste energie sono date approssimativamente dalla legge di Moseley:

( )

2 n 2

n n

Rhc Z

E −σ

= , dove Rhc = 13.6 eV, Z è il numero atomico, n è il numero quantico principale e σn la costante di schermo (vale 3 per lo strato K, 5 per lo strato L). La vacanza creatasi nelle shell di partenza viene riempita da elettroni delle shell più esterne e quindi l’effetto fotoelettrico è sempre accompagnato dalla emissione di raggi X tipici dell’atomo bersaglio. La sezione d’urto fotoelettrica dipende fortemente da Z e dall’energia del fotone Eγ : il processo è tanto più probabile quanto maggiore è Z e quanto minore è Eγ. Si può scrivere: σ∝Zⁿ ⋅E^−m, dove n = 4 ÷ 4.5 e m = 3 ÷ 3.5

13.3 Diffusione Thomson e Compton

Nell’effetto fotoelettrico è essenziale che l’elettrone sia legato. Tuttavia, anche un elettrone libero nel campo elettromagnetico variabile associato al fotone è posto in oscillazione e irradia come un oscillatore. La radiazione appare sotto forma di raggi gamma diffusi. Si deve a J.J.Thomson una teoria classica di questo effetto:

consideriamo un’onda piana sinusoidale che si propaga in direzione z, con il vettore elettrico polarizzato lungo x e di intensità I0= c

4

2

π

>

<E . Un elettrone nel campo di un’onda sinusoidale subisce una forza data da: eE = eE0sin(ωt), ω essendo la frequenza dell’onda, e acquisterà una accelerazione a = sin

( )

t

m

eE⁰ ω . Si sa dalla teoria elettromagnetica che una carica elettrica e soggetta ad una accelerazione irraggia una potenza media data da: < >= ₃² < ² >

c e 3

W 2 a

Nel nostro caso quindi, sostituendo e sapendo che <sin²(ωt) > = ½ , la potenza media irraggiata risulta:

0 2 2 2 3

2 2 4

0 3 2

4 I

mc e 3 8 c

m e 3 2 2 E c m

e 3

W 2 

 

 π

>=

<

=

>=

< E²

questa potenza è sottratta al fascio primario e possiamo quindi dire:

02 2

2 2 0

T r

3 8 mc

e 3 8 I

W  = π

 

 π

> =

= <

σ = 0.665⋅10^-24 cm²

dove σT rappresenta la sezione d’urto Thomson. r0= ²₂

mce =2.82⋅10^-13 cm è chiamato raggio classico dell’elettrone. In questa approssimazione la sezione d’urto non dipende dalla energia del fotone incidente. La sezione d’urto differenziale (distribuzione angolare) dei fotoni diffusi risulta essere: ^dσ_d^T_Ω

( )

^{ϑ = r}₂⁰²

(

^1+cos2ϑ

)

175

Una trattazione più completa fornisce una sezione d’urto che dipende dall’energia e tende alla sezione d’urto Thomson Eγ →0 (vedi figura 13.2). La distribuzione angolare, come calcolato da Klein-Nishina, è data dalla seguente espressione:

( ) ( ) _{( )} ( ⁽ ) ^{( ( ) ) )}







ϑ

− α + ϑ +

ϑ

− + α

 ⋅







ϑ

− α

⋅ + ϑ +

Ω = ϑ σ

cos 1 1 cos 1

cos 1 1

cos 1 1 cos 1

2 1 r d

d

2

2 2 2

2 2

T 0

dove: ₂

ec m

E_γ

= α

Fig 13.2 sezione d’urto Compton (e Thomson)

Fig 13.3 distribuzione angolare nell’effetto Compton

176

In figura 13.3 è rappresentata la distribuzione angolare del fotone diffuso in un diagramma polare: i numeri accanto alle curve rappresentano l’energia del fotone incidente, e si vede che il fotone è diffuso ad angoli tanto più in avanti quanto maggiore è l’energia del fotone incidente.

La dipendenza della sezione d’urto Compton da Z e da Eγ è del tipo: σC ∝ Z⋅Eγ-1.

Quanto all’energia del fotone diffuso, questa dipende dall’angolo di diffusione e si calcola considerando l’urto tra fotone ed elettrone completamente elastico.

Utilizzando il formalismo dei 4-vettori diffusione elastica di fotoni da parte di elettroni liberi (si trascura cioè l’energia di legame elettrone-atomo), si ha:

1 + 2 → 3 + 4 γ + e → γ’ + e’

pγ + pe = pγ’ + pe’

(pγ − pγ’)² = (pe’ - pe)²

(pγ − pγ’)²= Eγ2/c²- pγ2+ E’γ’2 /c² – p’γ’2 - 2EγEγ’ /c²+ 2 pγ pγ’cosθ = -2EγEγ’/c²(1-cosθ) in quanto per i fotoni p = E/c.

(pe’ - pe)² = E’e2/c² – p’e2 + Ee2/c² – pe2 - 2mc²E’= 2m²c⁴ - 2mc²E’

(essendo l’elettrone in quiete: pe = 0 e E = mc²)

Ed inoltre, dalla conservazione dell’energia: Eγ + mc² = Eγ’ + E’, ossia: E’ = Eγ - Eγ’ + mc² Sostituendo: -EγEγ’ /c²(1-cosθ) = m²c⁴ – mc²E’ = mc²(E’γ - Eγ)

Da cui:

(

− ϑ

)

+ γ

= γ

γ 1 cos

mc 1 E ' E E

2

che rappresenta l’energia del fotone diffuso in funzione dell’angolo di scattering ϑ.

ec2

m E_γ

= α

Fig 13.4 sezione d’urto Compton in funzione di energia ed angolo di diffusione

177

per ϑ = 0: Eγ’ max = Eγ e Eemin = 0 per ϑ = π:

γ γ

+

=

E c 2 m

c

E m ₂

e e 2 min

' e

γ γ

+

=

E 2

c 1 m

E E ₂

e emax

La probabilità di emissione ad un certo angolo ϑ rispetto alla direzione del fotone incidente è illustrata in figura 13.4, dove: ₂

ec m

E_γ

= α

13.4 Produzione di coppie

Per fotoni di relativamente alta energia esiste un’altra forma di interazione con la materia: il processo di creazione di coppie. In questo processo il fotone si annichila e materializza una coppia elettrone-positrone: naturalmente questo è un processo a soglia, in quanto l’energia del fotone deve essere almeno pari alla somma delle masse delle particelle create: Eγ > 2me = 1.02 MeV. Il processi di produzione di coppie non può avvenire nel vuoto, ma richiede la presenza di un nucleo o di un elettrone. Infatti, per la conservazione del 4-momento, un fotone non può cedere contemporaneamente energia ed impulso ad una coppia di particelle in quanto dovrebbe essere:

1 → 2 + 3 pγ = p1 + p2 (pγ)² = (p1 + p2)²

0 = m12c⁴ + m22c⁴ + 2E1E2/c² –2p1⋅p2 = m12c⁴ + m22c⁴ + 2E1E2/c⁴ +2|p1||p2|> 0 Infatti il 4-impulso di particelle dotate di massa è sempre una quantità positiva.

Fig 13.3 sezione d’urto di produzione di coppie in vari materiali

178

L’espressione della sezione d’urto di produzione di coppie è abbastanza complicata: qui diremo soltanto che essa ha un andamento del tipo: σpp ∝ Z²⋅ln(Eγ +cost). La figura 13.3 ne illutra l’andamento in funzione dell’energia dei fotoni e del numero atomico del materiale.

13.5 Coefficiente di attenuazione lineare e massico

Oltre alla sezione d’urto microscopica σph, σC, σpp, per scopi pratici si definisce una sezione d’urto macroscopica (coefficiente di attenuazione) µph, µC, µpp.

σ e µ sono legati, per ognuno dei tre processi, dalla relazione: µ = Nσ, dove N rappresenta il numero di bersagli (atomi) per unità di volume. La sezione d’urto σ rappresenta un’area e si misura in cm² oppure in barn (1 barn = 10^-24cm²). Il coefficiente di attenuazione µ rappresenta la probabilità di interazione per unità di percorso, ha come dimensioni l’inverso di una lunghezza e si misura in cm^-1. Naturalmente la sezione d’urto totale è data dalla somma delle tre sezioni d’urto: σ = σph + σC + σpp e il coefficiente di attenuazione totale risulta essere: µ = µph + µC + µpp. Quando un fascio di fotoni penetra in un mezzo, a causa delle interazioni con il mezzo stesso l’intensità del fascio decresce esponenzialmente. Sia infatti dI il numero di fotoni che interagiscono nel tratto di materiale dx e che quindi vengono sottratti al fascio originario. Ovviamente: dI = -Iµdx, da cui integrando: I

( )

x =I0e^−µx, dove I(x) rappresenta il numero di fotoni ancora presenti alla profondità x, essendo I0 il numero di fotoni iniziale. Accanto al coefficiente di attenuazione lineare, come nel caso del potere frenante, si preferisce misurare gli spessori di materiale in g/cm², utilizzando lo spessore massico τ = ρ⋅x.

Per ognuno dei tre effetti (indicati genericamente con il pedice “i”)possiamo scrivere:

µi = N⋅σi = ⁰ _i A N ρ⋅σ da cui ricaviamo

ph ph 0

A N ⋅σ ρ =

µ ^{C 0} _C

A N ⋅σ ρ =

µ ^{pp 0} _pp

A N ⋅σ ρ =

µ

In particolare si può notare che il coefficiente di attenuazione massico per l’effetto Compton dipende molto poco dal materiale: infatti , poichè abbiamo visto che la sezione d’urto ha l’andamento del tipo: σC ∝ Z⋅Eγ-1, avremo:

γ γ

≈

∝ σ

⋅ ρ =

µ

E 2

N AE

Z N A

N _{0 0}

0 C

C e sparisce la dipendenza dal materiale.

Nel caso di composti o miscele, analogamente a quanto già visto nel caso del potere frenante, avremo:

∑



 



 ρ

= µ ρ µ

i i

i

p , dove rappresenta la frazione massa dell’elemento i- esimo. Se il composto è una molecola, si ha ovviamente:

A A

p_i =n^{i i} dove ni rappresenta il numero di atomi della specie i-esima contenuti nella molecola, Ai il loro peso atomico e A il peso molecolare.

179

13.6 Cammino libero medio

Rappresenta il percorso effettuato in media da un fotone prima di interagire. La probabilità di interagire tra x e x+dx è data da: µdx⋅e^-µx

Infatti e^-µx rappresenta la probabilità di non aver interagito fino alla profondità x, mentre µdx è la probabilità di interagire nel successivo tratto dx. Se chiamiamo λ il libero cammino medio, si ha quindi (per definizione di valor medio):

( )

^{⋅ = ⋅}

(

^µ⋅

)

⁼ _µ

⋅

=

λ

∫

^{∞x px dx}

∫

^{∞x e−µ dx 1}

0

x 0

tab 13.1 numero atomico Z efficace di alcuni composti organici

tab 13.2 composizione di alcuni materiali organici

180

13.7 Strato emivalente

Rappresenta lo spessore di materiale che dimezza l’intensità del fascio incidente. Se chiamiamo S1/2 tale spessore, si ha:

( )

1/2 N0 N0exp

⁽

S1/2

⁾

2 S 1

N = = µ⋅ e quindi:

2 2 ln

S_1/2 ln =λ⋅

= µ

Si definisce allo stresso modo lo strato decivalente: S_1/10 ln10 =λ⋅ln10

= µ

Nelle figure 13.4 e 13.5 è riportato il grafico del coefficiente di attenuazione massico in ossigeno e rame (fig. 13.4) e in piombo ed alluminio (fig. 13.5). Nelle stesse figure sono anche rappresentati i coefficienti massici parziali dei vari effetti fotoelettrico, Compton e produzione di coppie.

Fig. 13.4 coefficiente di attenuazione massico in ossigeno e rame

181

13.8 Coefficienti di assorbimento.

Spesso, specie in problemi di dosimetria e di radioprotezione, ha interesse valutare l’energia che i fotoni, nelle loro interazioni con il mezzo, depositano in esso. In tutti e tre i processi il fotone cede energia ad un elettrone, il quale a sua volta la depositerà nel mezzo attraverso i processi di ionizzazione e/o bremsstrahlung. Nell’effetto fotoelettrico e nella produzione di coppie il fotone si annichila, e sia l’elettrone che la coppia elettrone-positrone hanno un range limitato e cedono quindi localmente l’energia ricevuta dal fotone. Diverso è il caso in cui avvenga un effetto Compton, perche’ in questo caso parte dell’energia del fotone primario viene ceduta al fotone duffuso e quindi depositata non localmente. I coefficienti di assorbimento di energia, denominati µen, sono definiti attraverso i corrispondenti coefficienti di attenuazione

Fig. 13.5 coefficiente di attenuazione massico in alluminio e piombo

182

moltiplicati per la frazione di energia ceduta agli elettroni sotto forma di energia cinetica (e quindi dissipata localmente). Avremo quindi:

ph e e ph

ph ph

en E

B E E

E − ≈µ

µ

= µ

= µ

γ γ γ

in quanto Eγ >> Be

pp e e ph

pp pp

en E

m 2 E E

E − ≈µ

µ

= µ

= µ

γ γ γ

in quanto, nel range di energia in cui domina la produzione di coppie, Eγ >> 2me

γ γ γ γ

µ −

= µ

=

µ E

E E E

E ^'

e ph C C

en . In questo caso invece µen C è sempre sensibilmente minore di µC. Naturalmente, anche nel caso dei coefficienti di assorbimento essi potranno essere sia lineari che massici.

In tabella 13.3 è riportato il coefficiente di attenuazione massico per fotoni di energia tra 100 keV e 10 MeV in vari elementi e composti.

183

In tabella 13.4 è riportato il coefficiente di assorbimento massico per fotoni di energia tra 100 keV e 10 MeV in vari elementi e composti.

Esercizio 1

Calcolare il coefficiente di attenuazione massico per l’ossido di Uranio (UO2) per fotoni da 10 MeV. La densità dello UO2 è 10 g/cm³.

U



 



 ρ

µ = 0.0519 cm²/g

O



 



 ρ

µ = 0.0209 cm²/g

88 . 270 0 238 16

2 238

p_U 238 = =

⋅

= +

12 . 270 0

32 16 2 238

16

p_O 2 = =

⋅ +

= ⋅

O O U U UO

p p

2



 



 ρ

⋅ µ

 +



 



 ρ

⋅ µ

 =



 



 ρ

µ = 0.88⋅0.0519 + 0.12⋅0.0209 = 0.0482 cm²/g

pertanto:

2 2

2 UO

UO

UO 

 



 ρ

⋅ µ ρ

=

µ = 0.482 cm^-1

2

2 UO

UO 1

= µ

λ = 2.08 cm

184

Esercizio 2

Un fascio parallelo di fotoni da 2 MeV di intensità di flusso (fluenza) Φ =10⁶ cm^-2s^-1 incide su uno schermo di piombo di spessore 10 cm. Calcolare l’intensità di flusso di fotoni che hanno interagito.

Alla profondità x il numero di fotoni che non hanno ancora interagito è data dalla solita legge esponenziale: N(x) = N0⋅e^-µx. Il numero ∆N di fotoni che hanno interagito sarà pertanto dato dalla differenz:

∆N = N0 - N(x) = N0(1 - e^-µx)

in questo caso abbiamo: µ /ρ = 0.0461 cm²/g e ρ = 11.3 g/cm³ dai dati si ricava µ = 0.521 cm^-1 e quindi µx = 5.21

Sostituendo: ∆N = N0(1 - e^-µx) = 10⁶⋅ (1 – e ^{- 5.21}) = 10⁶⋅ (1 – 0.0055) = 9.945⋅10⁵. Esercizio 3

Calcolare il libero cammino medio di fotoni di energia 0.01 MeV, 0.1 MeV, 1 MeV e 10 MeV in aria, acqua, muscolo, osso calcestruzzo e piombo.

ρ ρ⋅

= µ

= µ

λ 1 1

aria

Eγ µ /ρ (cm²/g) ρ (g/cm³) λ (cm)

10 keV 4.98 1.3⋅10^-3 154.5

100 keV 0.155 1.3⋅10^-3 5⋅10³

1 MeV 0.0635 1.3⋅10^-3 1.2⋅10⁴

10 MeV 0.0203 1.3⋅10^-3 3.8⋅10⁴

acqua

Eγ µ /ρ (cm²/g) ρ (g/cm³) λ (cm)

10 keV 5.18 1 0.19

100 keV 0.176 1 5.85

1 MeV 0.0706 1 14.2

10 MeV 0.0220 1 45.5

muscolo

Eγ µ /ρ (cm²/g) ρ (g/cm³) λ (cm)

10 keV 5.27 1 0.19

100 keV 0.17 1 5.9

1 MeV 0.07 1 14.3

10 MeV 0.0219 1 45.7

185

osso

Eγ µ /ρ (cm²/g) ρ (g/cm³) λ (cm)

10 keV 20.3 1.85 0.027

100 keV 0.18 1.85 3.0

1 MeV 0.0676 1.85 8.0

10 MeV 0.0226 1.85 23.9

calcestruzzo

Eγ µ /ρ (cm²/g) ρ (g/cm³) λ (cm)

10 keV 23.5 2.3 0.0185

100 keV 0.175 2.3 2.48

1 MeV 0.0640 2.3 6.79

10 MeV 0.0227 2.3 19.15

piombo

Eγ µ /ρ (cm²/g) ρ (g/cm³) λ (cm2.3)

10 keV 142 11.3 6.0⋅10^-4

100 keV 5.73 11.3 1.5⋅10^-2

1 MeV 0.0704 11.3 1.26

10 MeV 0.0487 11.3 1.83

Esercizio 4

Si supponga di avere due fasci di fotoni, entrambi di intensità I = 10⁷ s^-1 , aventi energie di 0.5 MeV e di 10 MeV. Calcolare per i due fasci i rispettivi spessori di Al, Fe, Pb e calcestruzzo che riducono l’intensità del fascio primario di un fattore 100 (cioè I’

= 10⁵ s^-1).

Si supponga di avere una sorgente di ⁶⁰Co, che emette per ogni decadimento due fotoni di rispettive energie E1 = 1.17 MeV ed E2 = 1.33 MeV. Per gli stessi materiali calcolare lo spessore che riduce l’intensità dei fotoni di un fattore 1000. A questo proposito, essendo le energie dei due fotoni abbastanza simili, possiamo considerare il loro valor medio (E = 1.25 MeV) ai fini dell’attenuazione nei materiali. L’attenuazione dei fotoni, qualsiasi sia la loro energia, è data dalla relazione: N(x) = N0⋅e^-µx

Lo spessore x è allora dato da:

( ) ( )

N

( )

x

log N 31 . 2 x N log N 31 . 2 x N ln N

x 1 ⁰ ₁₀ ⁰ ₁₀ ⁰

ρρ

= µ

= µ

= µ

Al

Eγ µ /ρ (cm2/g) ρ (g/cm³) N0/N(x) x (cm)

0.5 MeV 0.084 2.7 10² 20.3

10 MeV 0.0229 2.7 10² 74.4

186

1.25 MeV (⁶⁰Co) 0.0548 2.7 10³ 46.5

Fe

Eγ µ /ρ (cm2/g) ρ (g/cm³) N0/N(x) x (cm)

0.5 MeV 0.0828 7.85 10² 7.08

10 MeV 0.0284 7.85 10² 19.93

1.25 MeV (⁶⁰Co) 0.0531 7.85 10³ 16.55

Pb

Eγ µ /ρ (cm2/g) ρ (g/cm³) N0/N(x) x (cm)

0.5 MeV 0.145 11.3 10² 2.81

10 MeV 0.0489 11.3 10² 8.32

1.25 MeV (⁶⁰Co) 0.0569 11.3 10³ 10.73

calcestruzzo

Eγ µ /ρ (cm2/g) ρ (g/cm³) N0/N(x) x (cm)

0.5 MeV 0.087 2.3 10² 23.0

10 MeV 0.0229 2.3 10² 87.34

1.25 MeV (⁶⁰Co) 0.0567 2.3 10³ 52.91

Esercizio 5

La sezione d’urto dell’effetto fotolettrico nel piombo per fotoni da Eγ = 0.6 MeV vale circa 18 barn. Valutare il valore della sezione d’urto nell’Uranio alla stessa energia.

Sappiamo che la sezione d’urto fotoelettrica in funzione del numero atomico del materiale e dell’energia del fotone ha un andamento del tipo:

m n E Z ⋅ ⁻

∝

σ , dove n = 4 ÷ 4.5 e m = 3 ÷ 3.5 pertanto sarà:

(

1.58 1.68

)

28 30 82 18

18 92 Z

Z ^{4 4.5 4 4.5}

Pb U Pb

U  = ⋅ ÷ = ÷



 



⋅

 =



 



⋅ σ

≈

σ ^÷

÷

barn

Esercizio 6

Un fotone di energia Eγ = 2 MeV è diffuso a ϑ = 30° per effetto Compton. Calcolare:

1) l’energia del fotone diffuso;

2) l’energia di rinculo dell’elettrone;

3) l’angolo a cui rincula l’elettrone.

( )

¹ _0.511²

(

^{1 cos30o}

)

2 cos

m 1 1 E ' E E

− +

= ϑ γ −

+

= γ

γ = 1.312 MeV

Per la conservazione dell’energia: Te = Eγ - E’γ = 0.688 MeV

Si tratta di un elettrone relativistico: la sua quantità di moto risulta:

(

e e

)

e

e T T 2m

p = ⋅ + = 1.085 MeV

187

pγ = p’γ + pe che proiettata dà le due relazioni:

pγ = p’γcos ϑ + pecos ϕ p’γsin ϑ = pesin ϕ

dalle quali si ricava: 



 



= 











 ϑ

=

ϕ ^γ sin30^o

085 . 1

312 . arcsin 1 p sin

arcsin p

e '

=37.2°.

Esercizio 7

Calcolare il coefficiente di attenuazione massico nel vetro (SiO2, ρ = 2.21 g/cm³) per fotoni di Eγ = 3 MeV ed il relativo libero cammino medio.

Si



 



 ρ

µ = 0.0367 cm²/g

O



 



 ρ

µ = 0.0359 cm²/g

467 . 60 0 28 16 2 28

p_Si 28 = =

⋅

= +

533 . 60 0 32 16 2 28

16

p_O 2 = =

⋅ +

= ⋅

O O Si U

SiO

p p

2



 



 ρ

⋅ µ

 +



 



 ρ

⋅ µ

 =



 



 ρ

µ = 0.467⋅0.0367 + 0.533⋅0.0359 = 0.0363 cm²/g

pertanto:

2 2

2 SiO

SiO

SO 

 



 ρ

⋅ µ ρ

=

µ = 0.0802 cm^-1;

2

2 SiO

SiO 1

= µ

λ = 11.45 cm

Esercizio 8

Un fascio di fotoni di 1 cm di raggio di energia Eγ = 0.8 MeV e intensità di flusso Φ

=3⋅10¹¹ cm^-2s^-1 incide su una lastra di ferro di spessore 2 cm (ρ = 7.86 g/cm³).

Calcolare il numero di fotoni che interagiscono nel ferro per secondo e la potenza perduta dal fascio.

µ /ρ = 0.0664 cm²/g ; µ = 0.519 cm^-1.

Pe

P’γ

pγ ϑ

ϕ

Fig 13.4 il diagramma dei momenti nell’effetto Compton

188

L’intensità iniziale del fascio è: N0= Φ⋅π r² = 9.4⋅10¹¹ s^-1. Il numero di fotoni che interagiscono è:

Nint = N0(1 – e ^-µx) = 9.4⋅10¹¹⋅(1 – e^-0.519⋅2) = 9.4⋅10¹¹⋅(1 – 0.354) = 6.07⋅10¹¹s^-1

Per calcolare invece l’energia depositata si usa il coefficiente di assorbimento µen, che per fotoni di 0.8 MeV nel ferro vale: µen /ρ = 0.0274 cm²/g ; µen = 0.2154 cm^-1.

Pertanto:

Wdep = Eγ⋅ Nint = E_γN0

(

1−e^−µenx

)

= 0.8⋅9.4⋅10¹¹⋅(1 – e^-0.2154⋅2) = 1.46⋅10¹¹ MeV/s Convertendo l’energia in joule si ottiene: Wdep = 0.023 Watt = 23 mWatt.

Esercizio 9

Calcolare la minima energia di un fotone diffuso per effetto Compton se la sua energia iniziale vale 0.1, 1, 10 e 100 MeV.

Dalla formula :

(

− ϑ

)

+ γ

= γ

γ 1 cos

mc 1 E ' E E

2

L’energia minima è in corrispondenza di una diffusione a ϑ = 180°:

+ γ γ =

+

= γ

γ

E c 2 m

c m c

m 2 E 1 ' E

E ₂

e e 2

e 2 min

dalla formula si vede che per Eγ >> me si ha che E’γmin ≈ me c²/2.

In particolare, per i valori dell’esercizio:

Eγ (MeV) E’γmin (MeV)

0.1 0.0718 1 0.2035 10 0.2491 100 0.2548