Un intorno di un punto p ∈ R `e un intervallo aperto che contiene p.

Analisi Matematica 1 – Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6

Argomenti 2 novembre 2017

Intorni e limiti

Sia ˜ R = {−∞} ∪ R ∪ {+∞}.

Un intorno di un punto p ∈ R `e un intervallo aperto che contiene p.

Un intorno di + ∞ `e una semiretta aperta crescente unito +∞.

Un intorno di −∞ `e . . .

Definizione 1 Siano A un intervallo di R, f(x) una funzione reale di dominio A, x 0 un punto di A oppure un suo estremo in ˜ R, L ∈ ˜R.

Si dice che

x lim →x

f (x) = L se per ogni intorno V di L esiste un intorno U di x 0 tale che:

∀ x ∈ A ∩

U \ {x 0 } si ha f (x) ∈ V Definizione 2 Se x 0 ∈ A, si dice che f(x) `e continua in x 0 se

x lim →x

f (x) = f (x 0 ) ovvero se

∀ V intorno di x 0 ∃ U intorno di x 0 tale che f ( U ∩ A )

⊆ V

1. Esercizio. Nel caso in cui x ₀ e L siano reali, riformulare le definizioni di limite e di continuit` a con ε e δ, come nella prima pagina dei capitoli 6 e 7 di:

http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/Appunti7.pdf (definizioni 1.2).

2. Esercizio. Sia B ⊆ R e sia L = sup B. Dimostrare che esiste una successione (x n ) di punti di B tali che lim x n = L.

3. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/Appunti7.pdf studiare il cap. 7 Funzioni continue.

4. Esercizio. Da http://www.math.unipd.it/~monti/A1_ING_2015/A8.pdf (Esercizi settimanali, Foglio 8) svolgere gli esercizi da 1 a 6.

5. Esercizio. Svolgere gli esercizi di base sulla definizione di limite all’indirizzo:

http://www.math.unipd.it/~umarconi/dei/es.deflim.pdf

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