Signi…ca che c’è stato un cambiamento climatico oppure si può semplicemente pensare che questa sia una ‡uttuazione statistica, l’e¤etto del caso?

Esercizio. A …ne 2010 uno studio sulla piovosità di Pisa in autunno, svolto prendendo come riferimento il mese di novembre, aveva dato come stima della probabilità di pioggia (in un generico giorno) p = ¹² ₃₀ = 0:4. A …ne 2011, ecco i dati a disposizione relativi al mese di novembre:

000000110000000000100001000110:

Appare subito chiaro a colpo d’occhio che il numero di "1" non è dell’ordine del 40%.

Signi…ca che c’è stato un cambiamento climatico oppure si può semplicemente pensare che questa sia una ‡uttuazione statistica, l’e¤etto del caso?

Per rispondere a questa domanda, mettiamoci nell’ipotesi che non sia cambiato nulla, cioè che anche nel 2011 la probabilità di pioggia sia 0.4. Secondo questa ipotesi, che probabilità hanno alcune caratteristiche di questo campione speriementale?

1) Ad esempio, sotto tale ipotesi, qual’è la probabilità che il numero di "1" sia quello osservato nel 2011, o meno di quello?

2) Usando l’approssimazione gaussiana, sempre sotto tale ipotesi, qual’è la probabilità che X = ^X

^+:::+X _n

assuma un valore pari o più estremo di quello del 2011?

3) Sempre sotto tale ipotesi, qual’è la probabilità che il primo "1" accada dopo così tanti giorni, o più di così, come è avvenuto nel 2011?

Soluzione. 1) Il numero di "1", detto S, è una B (n; p), una B (30; 0:4) nel nostro caso.

La domanda chiede di calcolare P (S 6) = X

k 6

n

k p ^k (1 p) ^{n k} = X

k 6

30

k 0:4 ^k 0:6 ^{30 k}

che, con l’uso di un computer, produce circa 0:017:

Avviene solo il 2% delle volte. Questo sembra in forte contraddizione con l’ipotesi.

2)

P X 6

30 = P X 1 + ::: + X n np p n p

p (1 p)

p n p p (1 p)

6 30 p

!

P Z

p n p p (1 p)

6 30 p

!

=

p n p p (1 p)

6 30 p

!

che nel nostro caso vale p 30 p 0:4 0:6

6 30 0:4

!

= ( 2:236) = 0:01267:

Il risultato è ancora più netto: l’ipotesi è poco verosimile.

1

3) Si può ricorrere alle v.a. geometriche, cosa che consigliamo di fare per esercizio. Di fatto, la probabilità della sequenza 000000 è

P (X 1 = 0; X 2 = 0; :::; X 6 = 0) = (1 p) ⁶ = 0:6 ⁶ = 0:0466:

E’meno eclatante dei precedenti, ma ugualmente chiaro come messaggio.

Nota: Tutti i "test" ora eseguiti convergono nell’indicare che la nuova stringa speri- mentale non è una ‡uttuazione rispetto all’ipotesi p = 0:4. Da questo punto di vista non c’è nulla di scorretto. Tuttavia, dal puto di vista del realismo applicativo, va considerato il fatto che p = 0:4 non era un valore solido, sicuro, ma era sperimentale esso stesso, magari una sovrastima del parametro giusto. Magari il valore "verö", climatologico, è intorno a 0.3; nel 2010 si è osservata una ‡uttuazione nella direzione di maggior piovosità, nel 2011 di minor piovosità. Rispetto a 0.3, si può veri…care che i valori del 2011 non sarebbero così assurdi. Ad esempio, col metodo 2 viene

P X 6

30

p 30 p 0:3 0:7

6 30 0:3

!

= ( 1:195) = 0:116

che è piccolo ma non totalmente improbabile: "un anno su 10" può accadere.

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