giorno sia descrivibile con una v.a. X di tipo B(1; p).

Esercizio. Si vuole analizzare la piovosità di Pisa in autunno prendendo come riferi- mento il mese di novembre.

Ogni giorno può piovere (=1) o non piovere (=0). Supponiamo che l’esito (pioggia o meno) di un generico

giorno sia descrivibile con una v.a. X di tipo B(1; p).

1) Stimare p sulla base dei seguenti dati di novembre 2010 (i dati sono immaginari):

100001001010101111000000000111

(nota: sono stati ottenuti col software R col comando rbinom(30,1,p); non dichiriamo il valore usato per p).

2) Dare un intervallo di …ducia al 90%. Scegliere una strategia esatta.

3) Dare un intervallo di …ducia al 90% approssimato, migliore del precedente.

4) Se si vuole, al 90%, una precisione pari a 0.01, quanti giorni bisogna osservare?

Soluzione. 1) Come stimatore di p usiamo la frequenza relativa, pari anche alla media aritmetica del campione,

X = X ₁ + ::: + X _n n qui pari a (n = 30)

p = 12 30 = 0:4:

12 30 = 0:4

2) Per Chebyshev abbiamo

P X p > p (1 p) n ²

1 4n ²

quindi se vogliamo che sia P X p > 0:1, dobbiamo prendere tale che ¹

4 30

0:1, ovvero ² _{4 30 0:1} ¹ = ₁₂ ¹

p 1

12 = 0:288:

L’errore assoluto nella stima di p, al 90%, è di 0.288, molto alto comparativamente con la stima stessa. L’intervallo risulta essere

[0:4 0:288; 0:4 + 0:288] = [0:112; 0:688] : 3) Per il TLC

P X p > = P X ₁ + ::: + X _n np

n >

= P X ₁ + ::: + X _n np p n p

p (1 p) >

p n p p (1 p)

!

P jZj >

p n p p (1 p)

!

1

dove Z è una v.a. gaussiana

= 2P Z >

p n p p (1 p)

!

= 2 1

p n p p (1 p)

!!

:

Quindi, se vogliamo che sia P X p > 0:1, dobbiamo prendere tale che 2 1 p ^{p n}

p(1 p)

0:1, ovvero

1

p n p p (1 p)

! 0:1

2 p n

p p (1 p)

!

1 0:1 2 p n

p p (1 p) q ₁

quindi

q ₁

2

p p (1 p) p n

ovvero, nel nostro esempio, vanno bene i che veri…cano q 0:95

2 p

30 = 1:64 2 p

30 0:15:

E’migliore del precedente ed il relativo intervallo è

[0:4 0:15; 0:4 + 0:15] = [0:25; 0:55] : 4) Usiamo la formula generale

1:64 2 p

n

ed imponiamo che sia 0:01. Stiamo allora richiedendo ₂ ^1:64 p n 0:01, quindi p n

1:64

2 0:01 = 82 da cui

n 82 ² = 6724 numero improponibile. Bisogna accontentarsi di meno.

Nota. E’facile, sostituendo 0.1 con , scrivere le formule generali relative al generico livello di …ducia 1 . Farlo per esercizio ma non abituarsi ad un mero uso delle formule

…nali.

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