Sistemi dinamici e Meccanica Classica.
Programma dettagliato a/a/ 2013/2014.
Meccanica Classica (comune a Fisica e Matematica):
Nozioni introduttive e richiami di Fisica I
Cinematica del punto materiale: velocità e accelerazione. Potenziale di una forza.
Leggi di Newton.
Prima e seconda Equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti materiali (con dimostrazione). Potenza di una forza e teorema dell'energia cinetica.
Esistenza del potenziale per interazioni posizionali a due corpi e sua forma funzionale.
Struttura dello spazio-tempo della meccanica Newtoniana ed il gruppo di Galileo.
Introduzione alla teoria dei sistemi dinamici:
Oscillatori: armonici, smorzati e forzati.
Analisi qualitativa dei sistemi Newtoniani conservativi nel piano (ovvero ad un grado di libertà ).
Punti stazionari. Moti limitati e periodi. Periodo delle piccole oscillazioni. Moti illimitati. Separatrici. Metodo di stima (approssimazione) del periodo dei moti periodici.
Dipendenza dei punti di equilibrio da un parametro e diagrammi di biforcazione.
Meccanica Lagrangiana:
Vincoli posizionali e gradi di libertà .
Velocità compatibili con i vincoli e velocità “virtuali”.
Reazione vincolare: il caso dei vincoli lisci. Esempi di problemi di distacco con vincoli non bilateri.
Esempi di vincoli sulle velocità : disco che rotola e pattino in un piano.
Equazioni di Eulero-Lagrange come equazioni di bilancio energetico (caso di vincoli fissi e posizionali): caso di un sistema ad un grado di libertà .
Principio di D'Alembert e equazioni di Eulero-Lagrange.
Costanti del moto in meccanica Lagrangiana.
Variabili cicliche (ignorabili) e Lagrangiana ridotta.
Esempio: il pendolo sferico. Condizioni di periodicità del moto.
Piccole oscillazioni e linearizzazione di un sistema ad N gradi di libertà . Lagrangiana linearizzata, frequenze proprie e modi normali di oscillazione.
Forza centrale e conservazione del momento angolare.
Moto radiale e moto angolare in un campo centrale: la seconda legge di Keplero.
Il potenziale gravitazionale e la prima e la terza legge di Keplero.
Riduzione del problema a due corpi al problema di un campo centrale.
Forze di natura elettromagnetica in meccanica Lagrangiana. Potenziali generalizzati.
Il funzionale d'azione e la formulazione variazionale delle equazioni di Eulero- Lagrange . Dimostrazione nel caso ad un grado di libertà.
Dinamica del corpo rigido:
a) Vincolo di rigidità di un sistema di punti e gradi di libertà di un corpo rigido.
b) Verifica della validità del principio di D'Alembert per il vincolo di rigidità
c) Descrizione del moto attraverso trasformazioni ortogonali: il caso piano e il caso dello spazio. Basi fisse e basi solidali.
Velocità e momento angolare nel piano e nello spazio: rappresentazione attraverso matrici antisimmetriche e relazioni con la rappresentazione vettoriale.
Teorema di Koenig.
Teorema di Huygens-Steiner (enunciato).
Momento d'inerzia, energia cinetica e momento angolare di un corpo rigido.
Assi principali d'inerzia.
Integrale di Jacobi (Integrale dell'energia).
Meccanica Hamiltoniana:
Trasformazione di Legendre ed equazioni di Hamilton.
Equivalenza con le equazioni di Eulero-Lagrange.
Formulazione variazionale delle equazioni di Hamilton.
Costanti del moto in Meccanica Hamitoniana.
Variabili cicliche e riduzione in Meccanica Hamiltoniana.
Equazioni di Hamilton per Hamiltoniane esplicitamente dipendenti dal tempo e loro interpretazioni nello spazio delle fasi esteso.
Parentesi di Poisson: definizione e proprietà. Parentesi di Poisson fondamentali.
Il teorema di Poisson sulle costanti del moto.
Trasformazioni canoniche e funzioni generatrici.
Trasformazioni canoniche e conservazione delle parentesi di Poisson fondamentali.
Trasformazioni canoniche infinitesime e simmetrie in meccanica Hamiltoniana.
Relatività Einsteiniana:
Struttura dello spazio-tempo di Einstein. Gruppo di Lorentz: definizioni e proprietà (in particolare, dimostrazione delle proprietà gruppali)
Limite non relativistico.
Trasformazioni infinitesime di Galileo e Lorentz.
Addizione delle velocità per trasformazioni speciali di Lorentz con velocità parallele. Rapidità.
Dilatazione dei tempi, contrazione delle lunghezze.
Quadri-intervallo tra eventi e struttura causale dello spazio-tempo.
Cinematica e dinamica relativistica.
I quadrivettori velocità ed accelerazione e le loro proprietà.
Le equazioni di Newton-Einstein e il principio d'inerzia in Relatività . I quadrivettori Energia-impulso e Forza-potenza. Limite non relativistico dell'Energia.
Scalari di Lorentz. Vettori covarianti e controvarianti e loro rappresentazione.
Formulazione covariante delle equazioni del moto per particelle cariche.
Esempi: B costante, E=0, E costante, B=0.
Parte specifica del programma per Matematica.
Complementi di Meccanica Hamiltoniana:
Equazione di Hamilton-Jacobi (H-J) e sua interpretazione nella teoria delle trasformazioni canoniche.
Soluzione delle equazioni di Hamilton attraverso la soluzione della equazione di H-J (sistemi ad un grado di libertà).
Funzione principale di H-J e funzione caratteristica di Hamilton nel caso di Hamiltoniane che non dipendono dal tempo. Equazione di H-J stazionaria Integrali completi delle equazioni H-J e separazione delle variabili.
Separazione delle variabili e costanti del moto.
Esempi: separazione delle variabili in coordinate polari e paraboliche.
Complementi di teoria dei Sistemi dinamici:
Punti critici di un sistema dinamico autonomo.
Linearizzazione dei sistemi dinamici nell'intorno di un punto critico.
Classificazione dei punti critici per un sistema lineare nel piano.
I Teorema (metodo) di Lyapunov – senza dimostrazione.
II Teorema di Lyapunov – con dimostrazione (nel piano).
Esempio: il sistema di Lotka-Volterra.
Introduzione alla dinamica dei fluidi (ideali).
Conservazione della massa ed euqzione di continuità .
Rappresentazione Euleriana e Lagrangiana del moto. Velocità Euleriana.
Pressione e fluidi ideali.
Equazioni di Eulero per un fluido ideale.
Fluidi ideali omogenei e incomprimibili.
Conservazione del volume per fluidi incomprimibili.
Teorema di Bernoulli per un moto stazionario di un fluido omogeneo.
Piccole oscillazioni di un gas perfetto (onde sonore).
Note:
1) In italico sono segnati i punti fondamentali.
2) L'ordine di questo programma non è (sempre) strettamente quello cronologico dello sviluppo del corso.
