Meccanica Classica.
Programma dettagliato a/a/ 2015/2016.
Nozioni introduttive e richiami di Fisica I
Cinematica del punto materiale: velocità e accelerazione. Potenziale di una forza. Leggi di Newton.
Prima e seconda Equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti materiali. Potenza di una forza e teorema dell'energia cinetica.
Esistenza del potenziale per interazioni posizionali a due corpi e sua forma funzionale.
Introduzione alla teoria dei sistemi dinamici:
Oscillatori: armonici, smorzati e forzati.
Analisi qualitativa dei sistemi Newtoniani conservativi nel piano (ovvero ad un grado di libertà ).
Diagrammi di fase: punti stazionari, moti limitati e periodi.
Periodo delle piccole oscillazioni. Moti illimitati. Separatrici.
Il sistema di Lotka-Volterra e le tre leggi di Volterra.
Dipendenza dei punti di equilibrio da un parametro e diagrammi di biforcazione.
Relatività:
Gruppo di Galileo.
Gruppo di Lorentz: definizioni e proprietà (in particolare, dimostrazione delle Limite non relativistico.
Addizione delle velocità per trasformazioni speciali di Lorentz con velocità parallele. Rapidità.
Quadri-intervallo tra eventi e struttura causale dello spazio-tempo.
Cinematica e dinamica relativistica. Nozione di tempo proprio.
I quadrivettori velocità ed accelerazione e le loro proprietà.
Le equazioni di Newton-Einstein e il principio d'inerzia in Relatività . I quadrivettori Energia-impulso e Forza-potenza. Limite non relativistico dell'Energia.
Scalari di Lorentz. Vettori covarianti e controvarianti, loro rappresentazione e leggi di trasformazione per cambio di sistema di riferimento inerziale.
Estensione ai tensori di rango 2.
Meccanica Lagrangiana:
Vincoli posizionali bilateri e gradi di libertà.
Reazione vincolare: il caso dei vincoli lisci.
Problemi di distacco con vincoli non bilateri e vincoli sulle velocità: dischi a contatto, disco che rotola, e pattino in un piano (cenni).
Equazioni di Eulero-Lagrange come equazioni di bilancio energetico (caso di
vincoli fissi e posizionali): caso di vincoli posizionali (in particolare, sistemi ad un grado di liberta') .
Variabili cicliche (ignorabili), potenziale efficace e Lagrangiana ridotta.
Moto radiale e moto angolare in un campo centrale: la seconda legge di Keplero.
Il pendolo sferico. Condizioni di periodicità del moto.
Piccole oscillazioni e linearizzazione di un sistema ad N gradi di libertà . Lagrangiana linearizzata, frequenze proprie e modi normali di oscillazione.
Il funzionale d'azione e la formulazione variazionale delle equazioni di Eulero- Lagrange. Dimostrazione nel caso ad un grado di libertà.
Formulazione lagrangiana delle equazioni del moto di una particella carica in un campo elettromagnetico: potenziali generalizzati (dipendenti dalla velocità).
Invarianza delle equazioni per trasformazioni di gauge della Lagrangiana.
Dinamica del corpo rigido:
Teorema di Koenig.
Vincolo di rigidità di un sistema di punti e gradi di libertà di un corpo rigido.
Principio di D'Alembert per il vincolo di rigidità.
Descrizione del moto attraverso trasformazioni ortogonali: il caso piano e il caso dello spazio. Basi fisse e basi solidali.
Velocità angolare nel piano e nello spazio.
Matrice d'inerzia ed energia cinetica di un corpo rigido.
Assi principali d'inerzia.
Meccanica Hamiltoniana:
Integrale di Jacobi (Integrale dell'energia) in Meccanica Lagrangiana.
Trasformazione di Legendre ed equazioni di Hamilton.
Equivalenza con le equazioni di Eulero-Lagrange.
Formulazioni variazionali delle equazioni di Hamilton.
Parentesi di Poisson: definizione e proprietà.
Trasformazioni canoniche e funzioni generatrici.
Trasformazioni canoniche di contatto.
Hamiltoniane dipendenti dal tempo e spazio delle fasi esteso.
Trasformazioni canoniche e conservazione delle parentesi di Poisson fondamentali.
Il teorema di Liouville sulla conservazione del volume nello spazio della fasi, e dimostrazione nel caso ad un grado di libertà.
Note:
1) In italico sono segnati i punti fondamentali.
2) L'ordine di questo programma non è (sempre) strettamente quello cronologico dello sviluppo del corso.
