72 Sistemi dinamici lineari: analisi frequenziale
18. Tracciare i diagrammi asintotici di Bode della seguente funzione G(s):
G(s) = 60 (s2+ 0.8 s + 4) s(s − 30)(1 +200s )2.
La pendenza iniziale del diagramma dei moduli `e di -20 db/dec per la presenza in G(s) di un polo nell’origine. Il diagramma asintotico dei moduli cambia pendenza in corrispondenza delle seguenti pulsazioni: in ω = 2 per la presenza di due zeri complessi coniugati stabili, in ω = 30 per la presenza di un polo instabile e in ω = 200 per la presenza di due zeri stabili.
Funzione approssimante G0(s):
G0(s) = 60(4)
s(−30)(1)2 = −8 s Modulo e fase per ω = 0:
G0= ∞, ϕ0= −32π.
Funzione approssimante G∞(s):
G∞(s) = 60(s2)
s(s)(200s )2 = 2400000 s2 Modulo e fase per ω = 0:
G∞= 0, ϕ∞= −π.
2
−1
30 1
200 0
−2
−20.
0.
20.
2 30 200
−270.
−180.
−90.
0.
ϕ∞
ϕ0
G0(s) γ
G∞(s) Diagramma asintotico dei moduli
Diagramma a gradoni delle fasi
◦◦
◦◦
××
××
×
×
β
Il diagramma a gradoni delle fasi parte dalla pulsazione ϕ0 = −32π, anticipa di +π alla pulsazione ω = 2, anticipa di +π2 alla pulsazione ω = 30 e sfasa di −π alla pulsazione ω = 300.
Guadagno asintotico β alla pulsazione ω = 2:
β = G0(s)
s=2
= 4 = 12 db.
Guadagno asintotico γ alla pulsazione ω = 200:
γ= G∞(s)
s=200
= 60 = 35.56 db.
10−1 100 101 102 103 104
−30
−20
−10 0 10 20 30 40 50
10−1 100 101 102 103 104
−270
−225
−180
−135
−90
−45 0
ϕ∞
ϕ0
β
γ G0(s)
G∞(s) Diagramma dei moduli
Diagramma delle fasi
Ampiezza[db]Fase[gradi]
Frequenza [rad/s]
