Analisi Stocastica – Foglio di esercizi n. 3

Analisi Stocastica – Foglio di esercizi n. 3

Esercizio 1. Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale.

(a) Si mostri che, assegnati arbitrariamente i punti 0 < t₁ < . . . < t_k < ∞ e gli intervalli aperti non vuoti I₁, . . . , I_k ⊆ R, si ha P(Bt1 ∈ I₁, . . . , B_tk ∈ I_k) > 0.

(b) Si mostri che per ogni α > 0 esiste 0 < Cα < ∞ tale che E(|Bt|^α) = Cαt^α/2, per ogni t ≥ 0.

(c) (*) Si mostri che per ogni ε > 0 esiste C > 0 tale che P(sup_t∈[0,1]B_t > C) ≤ ε.

Esercizio 2 (Invarianza per rotazioni del moto browniano in Rⁿ).

(a) Sia B := {B_t = (B⁽¹⁾_t , B⁽²⁾_t )}_t∈[0,∞) un moto browniano bidimensionale. Si definisca il processo β := {β_t= (β_t⁽¹⁾, β_t⁽²⁾)}_t∈[0,∞) ponendo

β_t⁽¹⁾ := 1

√2 B_t⁽¹⁾+ B_t⁽²⁾
, β_t⁽²⁾ := 1

√2 B⁽¹⁾_t − B_t⁽²⁾
. Si mostri che β `e un moto browniano bidimensionale.

(b) Generalizziamo il punto precedente. Sia B := {B_t}_t≥0 un moto browniano n- dimensionale e sia L una matrice reale n × n. Definiamo il processo β := {βt}t≥0

ponendo βt := LBt. Si mostri che β `e un moto browniano n-dimensionale se e soltanto se L ∈ O(n) (cio`e L `e ortogonale: LL^∗ = L^∗L = I_n, dove L^∗ indica la trasposta di L).

(c) Sia B := {B_t}_t≥0 un moto browniano n-dimensionale (con n ≥ 2) e x, y vettori in Rⁿ ortogonali di norma uno: hx, xi = hy, yi = 1 e hx, yi = 0, dove h·, ·i indica il prodotto scalare standard. Si mostri che i processi stocastici {Xt:= hx, Bti}t≥0

e {Y_t:= hy, B_ti}_t≥0 sono due moti browniani reali indipendenti.

Esercizio 3. Sia B = {B_t}_t≥0 un moto browniano reale. Data una partizione π = {0 = t₀ < t₁ < . . . < t_k = t} dell’intervallo [0, t], indichiamone il passo con |π| = max_1≤i≤k(t_i− t_i−1). Introducendo la variazione quadratica S_π =Pk

i=1(B_ti − B_ti−1)² di B relativa a π, sappiamo che per |π| → 0 si ha Sπ → t in L². Pi`u precisamente, abbiamo visto che esiste una costante 0 < c < ∞ universale tale che

E(Sπ − t)²

= c

k

X

i=1

(t_i− t_i−1)².

Sia {π⁽ⁿ⁾}_n∈N una successione di partizioni π⁽ⁿ⁾= {0 = t⁽ⁿ⁾₀ < t⁽ⁿ⁾₁ < . . . < t⁽ⁿ⁾_k

n = t}, tale che non solo |π⁽ⁿ⁾| → 0 per n → ∞, ma anche P

n∈N|π⁽ⁿ⁾| < ∞.

(a) Si mostri che, per ogni ε > 0,P

n∈NP(|S_π⁽ⁿ⁾− t| > ε) < ∞.

(b) Si deduca che S_π⁽ⁿ⁾ → t q.c. per n → ∞.

[Sugg. (a) Chebycev + . . . (b) Un famoso lemma . . . ] Ultima modifica: 9 gennaio 2010.