MASSIMO COMUNE DIVISORE (MCD)

MASSIMO COMUNE DIVISORE (MCD)

Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due numeri interi, che non siano entrambi uguali a zero, è il numero naturale più grande per il quale possono entrambi essere divisi.

1. METODO DELLA FATTORIZZAZIONE

REGOLA: si moltiplicano i fattori comuni, considerati una sola volta, con il loro minimo esponente.

Es: MCD(18,84)

1. si scompongono dapprima i due numeri in fattori primi, ottenendo 18 = 2·3² e 84 = 2²·3·7 2. si considerano i fattori comuni ai due numeri, (2 e 3)

3. scelgo quelli che compaiono con esponente minimo uguale a 1 4. si ottiene che MCD(18,84)= 2 ⋅ 3 = 6.

IMP - Non trovando fattori primi comuni i due numeri si dicono “primi fra loro”. Il MCD è 1 MCD(242,375) = 1.

242 = 2 ⋅ 11² 375 = 3 ⋅ 5³

(non ci sono fattori comuni)

2. METODO DELLE DIVISIONI SUCCESSIVE

REGOLA: si divide il maggiore per il minore:

• se il resto della divisione è zero, il minore è l’MCD dei due numeri. (75;25) MCD = 25 perché 75:25 =3 resto 0

• se il resto della divisione è diverso da zero, si divide il divisore per tale resto e si continua fino ad ottenere resto zero. Il divisore dell’ultima divisione è l’MDC dei due numeri

(70;28) MCD = 14 perché 70:28 = 2 resto 14 allora 28:14 = 2 resto 0

Se c’è un terzo numero si procede allo stesso modo dividendo tale numero per l’MDC parziale trovato con i primi due.

MINIMO COMUNE MULTIPLO (mcm)

Il minimo comune multiplo (mcm) di due interi a e b è il più piccolo intero positivo che è multiplo sia di a che di b.

REGOLA: si moltiplicano tutti i fattori comuni e non comuni, considerati una sola volta, con il massimo esponente.

Es: mcm (18,84)

1. si scompongono dapprima i due numeri in fattori primi, ottenendo 18 = 2·3² e 84 = 2²·3·7 2. si considerano i fattori comuni e non comuni (2, 3 e 7)

3. scelgo quelli che compaiono più volte con esponente massimo (uguale a 2), mentre il 7 è unico e va considerato com’è.

4. si ottiene che mcm (18,84) = 2² ⋅ 3² ⋅ 7 = 252

IMP - Non trovando fattori primi comuni i due numeri si dicono “primi fra loro”. L’mcm è il prodotto dei due numeri

mcm (242,375) = 242 ⋅ 375 = 90750 242 = 2 ⋅ 11²

375 = 3 ⋅ 5³

(non ci sono fattori comuni, ma solo quelli non comuni)

PROBLEMI CON IL MCD

Sono problemi in cui una certa quantità deve essere suddivisa in parti proporzionali ad alcuni numeri, senza che vi siano resti. Per far ciò il divisore deve essere scelto in modo tale che sia comune a tutte le quantità in cui suddividere l’intero.

1. L’MCD trovato è la quantità massima di suddivisione;

2. La divisione fra ciascun numero e l’MCD indica la quantità di ciascun oggetto per ogni suddivisione.

Gli argomenti principali sono: più oggetti materiali da suddividere a gruppi, denaro da spartire, stoffe e gomitoli da ritagliare di varia lunghezza, ecc...

ESEMPIO

Un agricoltore vuole comporre dei cesti regalo in modo tale che ogni cesto contenga lo stesso numero di frutti e che questo sia il massimo numero possibile. Avendo in suo possesso 700 mele, 560 banane e 280 pesche, calcola:

• il numero di cestini confezionati;

• la quantità di ciascun frutto in ogni cestino;

• il totale di frutta per ogni cestino

DATI INCOGNITA

M = 700 ? = n° C

B = 560 ? = n° (M, B, P) x C P = 280 ? = tot frutta x C RISOLVO

MCD (700; 560; 280) = 2² ⋅ 5 ⋅ 7 = 140 (numero di cestini)

700= 2²⋅ 5²⋅ 7 560= 2⁴⋅ 5 ⋅ 7 280= 2³⋅ 5 ⋅ 7

Mele x cestino = 700 : 140 = 5 Banane x cestino = 560 : 140 = 4 Pesche x cestino = 280 : 140 = 2

Ogni cestino contiene 5 mele, 4 banane e 2 pesche per un totale di 11 frutti.

PROBLEMI CON L’ mcm

Sono problemi in cui partendo da determinate quantità, quest’ultime si riuniscono in un unico numero che deve quindi essere un multiplo di tutte le quantità di partenza.

Gli argomenti principali sono: appuntamenti a gruppi, incontri settimanali, mensili e annuali, (tutto ciò che riguarda il futuro e il tempo) ecc...

ESEMPIO

Tre amici vanno nella stessa palestra ad allenarsi; Paolo ci va ogni 3 giorni, Mario ogni 6 giorni e Luca ogni 4 giorni.

Oggi, primo del mese, si sono trovati tutti insieme.Calcola:

• tra quanti giorni si ritroveranno tutti insieme;

• quante volte in due mesi si incontrano in palestra.

DATI INCOGNITA

P = 3 gg ? = n° gg

M = 6 gg ? = n° gg x 2 mesi L = 4 gg

RISOLVO

mcm (3; 6; 4) = 2² ⋅ 3 = 12 (giorni fra cui si incontreranno)

4= 2² 6= 2 ⋅ 3 3= 3

giorni al mese = 60 : 12 = 5 volte