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1. Calcolare l’integrale π/4

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Academic year: 2021

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(1)

28 - Esercizi di riepilogo e di complemento

Integrali dipendenti da un parametro

1. Calcolare l’integrale  π/4

0

x cos 2 x d x



Suggerimento: ∂

∂t tg( xt) = x cos

2

( xt)

[



π − 2 log 2 4

2. Calcolare l’integrale  π/4

0

x 2 sin x cos 3 x d x

[ Suggerimento: derivare nuovamente la funzione di t utilizzata nell’esercizio precedente. ] [



π

3

− 6π

2

+ 24(π − 2 log 2) 32

3. Calcolare l’integrale  +∞

0

arctg( xt)

x 3 + x d x ( t > −1)

[ Suggerimento: derivare rispetto a t e risolvere il problema di Cauchy che cos`ı si ottiene.]

[



π

2 log(1 + t)

4. Calcolare l’integrale  +∞

0

sin x x d x

[ Suggerimento: il problema equivale a calcolare l’integrale con parametro, nello stesso intervallo d’integrazione, della funzione x → sin x

x e

tx

, ponendo t = 0. La funzione di t, scritta in forma integrale, una volta derivata conduce ad un’equazione differenziale di soluzione immediata.]

[



π

2

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