1 Integrale multiplo di una funzione limitata su di un rettangolo

(1)

INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI PI `U VARIABILI

1 INTEGRALE MULTIPLO DI UNA FUNZIONE LIMITATA SU DI UN RETTANGOLO 1

Integrale delle funzioni di pi` u variabili

Indice

1 Integrale multiplo di una funzione limitata su di un rettangolo 1

2 La misura di Peano–Jordan 3

3 Integrale multiplo su un insieme misurabile 6

4 Teorema di riduzione 6

4.1 Calcolo di integrali di funzioni simmetriche . . . 10

5 Soluzioni degli esercizi 12

In questa sezione, che conclude la parte IV e l’intero corso, vediamo la definizione di integrale multiplo, cioè di integrale di funzioni di più variabili. Si tratta della naturale estensione dell’integrale di Riemann, visto per le funzioni di una variabile. L’integrazione in più variabili è solitamente più complicata, non tanto per le funzioni in gioco, quanto piuttosto per gli insiemi in cui si calcolano gli integrali. Mentre in R l’integrazione viene condotta solo su intervalli, in più variabili gli insiemi di integrazione possono avere una struttura più complessa di quella dell’intervallo.

Vediamo anzitutto la definizione teorica di integrale multiplo di Riemann, e poi passiamo agli aspetti legati al calcolo degli integrali multipli.

Anche in questa sezione le definizioni generali vengono date in Rⁿ ma gli esempi che vedremo saranno in R².

1 Integrale multiplo di una funzione limitata su di un rettangolo

Cominciamo con l’integrale su di un insieme dalla struttura molto semplice: il rettangolo.

Definizione Chiamiamo rettangolo in Rⁿ il prodotto cartesiano R = I1× I2× . . . × In, dove I1, . . . , In sono intervalli limitati di R.¹

Si ha quindi

R =n

(x1, . . . .xn) ∈ Rⁿ: x1∈ I¹, . . . , xn∈ Iⁿo .

Osservazione In R²non si tratta in realtà di tutti i rettangoli della geometria, poiché quelli appena definiti possono non contenere alcuni dei lati e inoltre, più importante, hanno i lati paralleli agli assi cartesiani. In R³ si tratta di parallelepipedi, ma con le due stesse caratteristiche: non tutta la superficie è necessariamente compresa e le facce sono parallele ai piani cartesiani.

Definizione Diciamo misura del rettangolo R il numero reale

mis(R) = mis(I1) · mis(I²) · . . . · mis(Iⁿ),

dove abbiamo indicato con mis(Ik) la misura (misura della lunghezza) dell’intervallo limitato Ik.²

Osservazione Si noti che non abbiamo precisato nulla circa l’appartenenza degli estremi agli intervalli I1, . . . , In. Il rettangolo R potrà quindi essere aperto, chiuso o né aperto né chiuso a seconda di come sono gli intervalli in R.

Chiamiamo ora suddivisione del rettangolo R una famiglia finita {R1, . . . , Rp} di rettangoli contenuti in R la cui unione sia tutto R e tali che due qualunque di essi si intersechino al pi`u in punti della loro frontiera. La figura qui di seguito illustra una suddivisione del rettangolo R.

1Abbiamo gi`a incontrato la stessa definizione all’inizio della parte IV. Si tratta dell’analogo in Rⁿdell’intervallo in R. Con intervalli limitati di R intendo naturalmente intervalli del tipo (a, b), [a, b), (a, b] oppure [a, b], dove a e b sono numeri reali e a ≤ b.

2Se ake bksono gli estremi dell’intervallo Ik, si ha mis(Ik) = bk−ak.

(2)

1 INTEGRALE MULTIPLO DI UNA FUNZIONE LIMITATA SU DI UN RETTANGOLO 2

R

R1

R2

R3

R4

R5

Definizione Una funzione f definita sul rettangolo R si dice funzione a scala se esiste una suddivisione {R¹, . . . , Rp} di R tale che f sia costante sulla parte interna di ogni Rk. Si dice in tal caso che la suddivisione {R¹, . . . , Rp} `e adattata ad f .

Osservazione Se {R1, . . . , Rp} è una suddivisione adattata ad f, essa non è l’unica. Infatti ad esempio se ne può ottenere un’altra semplicemente suddividendo in due uno dei rettangoli della suddivisione.

Definizione Sia {R1, . . . , Rp} una suddivisione adattata alla funzione f nel rettangolo R e sia ck il valore di f sulla parte interna di Rk, per ogni k. Si chiama integrale di f su R il numero reale

Z

R

f (x) dx =

p

X

k=1

ckmis(Rk).

Se f `e funzione di due variabili, lo si chiama anche integrale doppio e lo si indica anche con ZZ

R

f (x, y) dx dy.

Se f `e funzione di tre variabili, lo si chiama anche integrale triplo e lo si indica anche con ZZZ

R

f (x, y, z) dx dy dz.

Osservazione In una trattazione completa dell’argomento occorrerebbe dimostrare a questo punto che l’integrale non dipende da quale suddivisione adattata alla f si considera.

Si potrebbe dimostrare anche che per l’integrale appena definito valgono le propriet`a che abbiamo visto a suo tempo per l’integrale di Riemann (la linearit`a, la monotonia,. . . ).

Attraverso l’integrale delle funzioni a scala definiamo ora l’integrale delle funzioni limitate su di un rettangolo.³ Sia dunque f una funzione limitata sul rettangolo R. Sia S⁻ l’insieme delle funzioni a scala g tali che g ≤ f su R e sia S⁺ l’insieme delle funzioni a scala h tali che h ≥ f su R.

Osservazione S⁻ e S⁺ sono insiemi non vuoti (perch´e?).

Poniamo

Z

R

f = sup

Z

Rg : g ∈ S⁻

(detto integrale inferiore di f su R) e

Z

R

f = inf

Z

Rh : h ∈ S⁺

(detto integrale superiore di f su R).

Definizione La funzione f si dice integrabile (secondo Riemann) su R se risulta Z

R

f = Z

R

f e il valore comune viene detto integrale di f su R.

Le usuali proprietà dell’integrale continuano a valere. Vale inoltre che Proposizione Se f è integrabile su R, anche |f| è integrabile su R e si ha

Z

R

f ≤

Z

R|f|.

3Si ricordi che anche con l’integrale di Riemann l’ipotesi fondamentale era la limitatezza della funzione.

(3)

2 LA MISURA DI PEANO–JORDAN 3

Si può dimostrare ancora che, come per le funzioni di una variabile, vale la Proposizione Se f è continua sul rettangolo chiuso R, allora f è integrabile.

Osservazione Si noti che il risultato vale con il rettangolo chiuso. La proposizione non sarebbe vera se R non fosse chiuso, dato che la continuità non garantirebbe la limitatezza della funzione. Lo stesso vale per le funzioni di una variabile: se l’intervallo è chiuso il teorema di Weierstrass garantisce, se la funzione è continua, la sua limitatezza, ma se l’intervallo non è chiuso possiamo avere una funzione continua ma non limitata.

Osservazione Supponiamo di avere una funzione continua e non negativa f sul rettangolo R ⊂ R². Possiamo chiamare rettangoloide di f l’insieme

Rf =n

(x, y, z) ∈ R³: (x, y) ∈ R, 0 ≤ z ≤ f(x, y)o .

Si tratta della parte di R³ che si trova tra il piano (x, y) e il grafico della funzione f , in corrispondenza del rettangolo R.

z

x

R

y f

Non `e difficile intuire che l’integrale di f su R `e il volume del solido Rf. Abbiamo fatto considerazioni analoghe dopo la definizione di integrale di Riemann in una variabile.⁴

Quindi, cos`ı come è possibile calcolare l’area di particolari regioni del piano con integrali semplici, cioè in una variabile, analogamente è possibile calcolare il volume di particolari solidi dello spazio con integrali doppi.

Se la funzione assume valori positivi e valori negativi in R non `e vero che l’integrale coincide con il volume di Rf;

`e vero invece che il volume del rettangoloide coincide con l’integrale del valore assoluto di f .

Per definire l’integrale su insiemi pi`u complicati dei rettangoli, occorre dare prima qualche breve cenno della misura secondo Peano–Jordan.

2 La misura di Peano–Jordan

Abbiamo gi`a definito all’inizio la misura dei rettangoli. Come misurare ora insiemi pi`u complicati?

Chiamiamo plurirettangolo un sottoinsieme di Rⁿche sia l’unione di un numero finito di rettangoli tali che due qualunque di essi si intersechino al pi`u in punti della loro frontiera. L’insieme P evidenziato in figura `e un plurirettangolo in R².

P R1 R2

R3

R4

R5

R6

R7

Se P = R1∪ R²∪ . . . ∪ R^p `e un plurirettangolo, si definisce misura di P il numero

mis(P ) =

p

X

k=1

mis(Rk).

Sia ora A un sottoinsieme limitato di Rⁿ. Indichiamo con P⁻(A) l’insieme di tutti i plurirettangoli contenuti in A e indichiamo con P⁺(A) l’insieme di tutti i plurirettangoli che contengono A. Nella figura che segue sono indicati, oltre all’insieme A, racchiuso dalla curva dal tratto pi`u marcato, un plurirettangolo contenuto in A e un plurirettangolo che contiene A.

4La situazione `e analoga a quello che succede con funzioni di una variabile: se f `e una funzione non negativa nell’intervallo [a, b] di R, allora l’integraleRb

af(x) dx è l’area del rettangoloide, cioè della regione di piano che sta al di sotto del grafico di f , cioè tra il grafico di f e l’asse x, con x nell’intervallo [a, b].

(4)

Si chiama misura interna di A il numero mis(A) = supn

mis(P ) : P ∈ P⁻(A)o e si chiama misura esterna di A il numero

mis(A) = infn

mis(P ) : P ∈ P⁺(A)o .

Osservazione Si noti che P⁺(A) non `e mai vuoto, dato che A, essendo limitato, `e contenuto in un rettangolo. Invece potrebbe essere vuoto P⁻(A). In questo caso si pone mis(A) = 0. In generale si ha che mis(A)≤ mis(A).

Definizione Il sottoinsieme limitato A si dice misurabile se risulta mis(A) = mis(A),

e tale numero si chiama la misura di Peano–Jordan di A e si indica con mis(A).

Osservazione Anche se non fornisco esplicitamente un esempio, informo che non tutti i sottoinsiemi limitati di Rⁿ sono misurabili secondo Peano–Jordan.

Di particolare importanza sono gli insiemi (misurabili) A per cui risulta mis(A) = 0: si chiamano insiemi di misura nulla.

Un importante risultato sulla misura di Peano, che facilita il riconoscimento di insiemi misurabili, `e il seguente:

Proposizione Se A `e un sottoinsieme limitato, A `e misurabile se e solo se l’insieme dei suoi punti di frontiera ha misura nulla.

Vediamo alcuni esempi di insiemi misurabili in R². Può essere utile il seguente risultato generale: se K è un insieme chiuso e limitato in Rⁿ ed f è una funzione continua da K in R, allora il grafico di f è un insieme di misura nulla (in Rⁿ⁺¹). Questo dice che ad esempio, se ho una funzione continua nell’intervallo [a, b], il suo grafico è un insieme di misura nulla in R². Analogamente, data una funzione continua nell’insieme chiuso e limitato A ⊂ R², il suo grafico è un insieme di misura nulla in R³.

• Ovviamente i rettangoli sono insiemi misurabili per definizione.⁵

• Un qualunque poligono nel piano `e misurabile, dato che, come i rettangoli, ha frontiera di misura nulla (unione di segmenti).

• Si consideri l’insieme (rappresentato in figura) definito da A =n

(x, y) ∈ R²: x ∈ [1, 2], 1 − x ≤ y ≤ ln xo .

Possiamo dire che A `e misurabile in quanto la sua frontiera `e formata o da segmenti o da grafici di funzioni continue nell’intervallo [1, 2].

1

2 A

x y

• Possiamo dire che `e misurabile un qualunque insieme del tipo n(x, y) ∈ R²: x ∈ [a, b], f1(x) ≤ y ≤ f2(x)o

,

se f1 e f2 sono funzioni continue in [a, b]. Per comodit`a chiamiamo tali

regioni verticalmente semplici. a b

x y

y=f1(x) y=f2(x)

• Il cerchio di centro l’origine e raggio 1 `e misurabile. Infatti `e un caso particolare del punto precedente: si tratta infatti dell’insieme n

(x, y) ∈ R²: x ∈ [−1, 1], −p

1 − x²≤ y ≤p

1 − x²o .

5Si noti che si parla di rettangoli nel senso della definizione iniziale, cioè di rettangoli con i lati paralleli agli assi cartesiani. Non potremmo dire che un rettangolo qualunque è misurabile per definizione. Possiamo però dire che è misurabile perché i segmenti in R² hanno misura nulla e quindi la frontiera del rettangolo ha misura nulla.

(5)

• Possiamo dire che `e misurabile un qualunque insieme del tipo n(x, y) ∈ R²: y ∈ [c, d], g¹(y) ≤ x ≤ g²(y)o

,

se g1 e g2 sono funzioni continue in [c, d]. Anche qui, per comodit`a,

chiamiamo tali regioni orizzontalmente semplici. c

d

x y

x=g1(y) x=g2(y)

• Il “quarto di luna”

Q =n

(x, y) ∈ R²: x²+ y²≤ 1 e (x − 1)²+ y²≥ 2o

`e una regione orizzontalmente semplice. Infatti si pu`o scrivere Q =n

(x, y) ∈ R²: y ∈ [−1, 1], −p1 − y²≤ x ≤ 1 −p2 − y²o . Si osservi inoltre che Q non `e verticalmente semplice.

−1

1

−1 x y

• Ci sono insiemi che non sono n´e verticalmente n´e orizzontalmente semplici. Ad esempio l’insieme

A =n

(x, y) ∈ R²: (x − 1)²+ (y + 1)²≥ 2 , (x + 1)²+ (y − 1)²≥ 2 , x + y ≤ 1o . raffigurato qui a fianco. Si può osservare però che A è l’unione di due insiemi, uno

verticalmente semplice e l’altro orizzontalmente semplice. 2

2

x y

Tra la misura e l’integrale sussistono stretti legami. Un risultato in proposito `e il seguente, come anticipato prima:

Proposizione Sia f integrabile e non negativa sul rettangolo R e sia Rf il rettangoloide associato ad f . Allora mis(Rf) =

Z

R

f.

La misura degli insiemi si pu`o quindi valutare calcolando un integrale.

Osservazione Si noti che, se R ⊂ Rⁿ, allora Rf ⊂ Rⁿ⁺¹. Questo risultato pu`o fornire un comodo metodo per il calcolo del volume di un solido in R³ che sia un rettangoloide di qualche funzione definita in R². Vedremo pi`u avanti qualche esempio.

Definizione Se A ⊂ Rⁿ, si chiama funzione indicatrice di A la funzione definita da

11A(x) =

1 se x ∈ A 0 se x /∈ A.

Vale il seguente risultato:

Proposizione Sia A è un sottoinsieme limitato di Rⁿ e sia R un rettangolo che contiene A. Allora A è misurabile se e solo se 11Aè integrabile su R. In tal caso si ha

mis(A) = Z

R

11A.

Osservazione Quindi ad esempio l’area di una regione A in R² si pu`o calcolare integrando su di un rettangolo che contiene A la funzione indicatrice di A; analogamente il volume di un solido S in R³ si pu`o calcolare integrando su di un rettangolo che contiene S la funzione indicatrice di S. Al momento non possiamo mostrare esempi, dato che ci mancano ancora le tecniche del calcolo integrale multiplo e ci manca ancora la definizione di integrale su di un insieme che non sia un rettangolo. Ora vediamo appunto questa definizione.

(6)

4 TEOREMA DI RIDUZIONE 6

3 Integrale multiplo su un insieme misurabile

Molto semplicemente, se A è un insieme (limitato) misurabile di Rⁿ, f è una funzione limitata definita in A e R è un rettangolo che contiene A, prolunghiamo f su R ponendo

f (x) =˜

f (x) se x ∈ A 0 se x ∈ R \ A.

Definizione Diciamo che f `e integrabile su A se ˜f `e integrabile su R e indichiamo conR

Af il valore dell’integrale.⁶ Osservazione Lo studente rifletta che fino ad ora avevamo definito soltanto l’integrale di una funzione limitata su un rettangolo. Il prolungamento di f ci permette quindi di ricadere nella definizione precedente. La definizione pu`o sembrare abbastanza artificiosa. Si tratta di una definizione certamente valida da un punto di vista teorico, ma che non dice come calcolare l’integrale. Infatti, quando avremo la tecnica di calcolo, integreremo direttamente su A, senza introdurre il rettangolo R che lo contiene.

Da un punto di vista teorico sono importanti i seguenti risultati:

Proposizione Se A è un insieme limitato e misurabile di Rⁿ, f una funzione limitata su A, continua in tutti i punti tranne al più un insieme di misura nulla, allora f è integrabile su A.

Osservazione Questo risultato generalizza quanto visto nella parte II: una funzione limitata, continua in un intervallo tranne al pi`u in un numero finito di punti, `e integrabile secondo Riemann. Quindi l’integrale non dipende da quello che succede negli insiemi di misura nulla. Si noti che insiemi di misura nulla in R²non sono soltanto quelli fatti da punti isolati, ma possono essere ad esempio i sostegni delle curve (un segmento, una circonferenza, . . . ).

Proposizione Se f e g sono integrabili sull’insieme limitato e misurabile A e risulta f (x) = g(x) in tutti i punti di A tranne al pi`u un insieme di misura nulla, allora l’integrale di f `e uguale all’integrale di g.

Per chiudere questo paragrafo, prima di passare al calcolo degli integrali, ricordo i due risultati, gi`a visti sui rettangoli, che legano la misura e l’integrale:

• se f `e una funzione continua e non negativa sull’insieme A ⊂ R² (misurabile) e se indichiamo ancora con Rf il rettangoloide associato ad f , cio`e l’insieme

Rf =n

(x, y, z) ∈ R³: (x, y) ∈ R, 0 ≤ z ≤ f(x, y)o ,

allora si ha mis(Rf) = ZZ

A

f , cio`e il volume del solido Rf`e il valore dell’integrale doppio di f si A.

z

x

A

R

y f

• Se A `e una regione misurabile del piano, si ha mis(A) = ZZ

A

11A, cio`e l’area della regione A si pu`o calcolare attraverso l’integrale doppio su A della funzione costante 1.

• Analogamente in R³: il volume di una regione A (misurabile) si pu`o calcolare attraverso l’integrale triplo su A della funzione costante 1.

4 Teorema di riduzione

Veniamo ora alle regole di calcolo. Quanto esponiamo qui va sotto il nome di teorema (o formula) di riduzione, dato che la tecnica per il calcolo dell’integrale multiplo `e essenzialmente quella di ricondurlo al calcolo di integrali semplici, cio`e in una sola variabile. Ci limitiamo agli integrali doppi.

Vediamo anzitutto come si procede su di un rettangolo per capire il principio, poi estendiamo a situazioni pi`u generali.

Sia R = [a, b] × [c, d] un rettangolo in R². Vogliamo integrare su R la funzione continua f , cio`e vogliamo calcolare l’integrale

ZZ

R

f (x, y) dx dy.

a b

c d

x

R

x y

6Si intuisce che l’integrale non dipende da R.

(7)

Consideriamo la funzione

F (x) = Z d

c

f (x, y) dy.

Si tratta ovviamente della funzione che ad ogni x fissato associa il valore dell’integrale, nel quale la variabile di integrazione è la sola y. È come se, fissato x, integrassimo la funzione y 7→ f(x, y) sull’intervallo [c, d]. Si può dimostrare che si ha

ZZ

R

f (x, y) dx dy = Z b

a

F (x) dx = Z b

a

Z d c

f (x, y) dy

! dx.

Cos`ı facendo si dice che si integra per verticali.

Esempio Integriamo la funzione f (x, y) = x + y²sul rettangolo R = [1, 2] × [−1, 1]. Si ha ZZ

R

(x + y²) dx dy = Z 2

1

Z 1

−1

(x + y²) dy

dx

Si pu`o anche scrivere:

Z 2 1

dx Z 1

−1

(x + y²) dy

= Z 2

1

xy

1

−1+y³ 3

1

−1

dx

= Z 2

1

2x +2

3

dx

= x²

2 1+2

3x

2 1= 11

3 .

Osservazione Si noti dunque che, per verticali, si integra prima all’interno nella variabile y (e quindi all’interno x viene trattata come una costante); ultimata l’integrazione interna, si ottiene una funzione della sola x, che va a sua volta integrata dall’integrale esterno.

Naturalmente si pu`o anche integrare per orizzontali: basta considerare la funzione

G(y) = Z b

a

f (x, y) dx,

cio`e la funzione che ad ogni y fissato associa il valore dell’integrale, nel quale

la variabile di integrazione `e la sola x. a b

c d y

R

x y

Questa volta si ha

ZZ

R

f (x, y) dx dy = Z d

c

G(y) dy = Z d

c

Z b a

f (x, y) dx

! dy.

Esempio Lo stesso esempio precedente, integrando per orizzontali, porta a fare ZZ

R

(x + y²) dx dy = Z 1

−1

Z 2 1

(x + y²) dx

dy

Si pu`o anche scrivere:

Z 1

−1

dy Z 2

1

(x + y²) dx

= Z 1

−1

x² 2

2 1+ y²x

2 1

dy

= Z 1

−1

3 2+ y²

dy

= 3

2y

1

−1

+y³ 3

1

−1

= 11 3 .

Nel caso si debba integrare una funzione continua f in una regione verticalmente semplice data dall’insieme

A =n

(x, y) ∈ R²: x ∈ [a, b], α(x) ≤ y ≤ β(x)o ,

con α e β funzioni continue in [a, b], un procedimento del tutto analogo porta a costruire prima la funzione

F (x) = Z β(x)

α(x)

f (x, y) dy a b

x y

y=α(x) y=β(x)

x

(8)

e quindi alla formula

ZZ

A

f (x, y) dx dy = Z b

a

F (x) dx = Z b

a

Z β(x) α(x)

f (x, y) dy

! dx.

Si dir`a ancora che cos`ı integriamo per verticali.

c d

x y

x=γ(y) x=δ(y)

y

Analogamente, in una regione orizzontalmente semplice data dall’insieme A =n

(x, y) ∈ R²: y ∈ [c, d], γ(y) ≤ x ≤ δ(y)o ,

con γ e δ funzioni continue in [c, d], un procedimento ancora del tutto analogo porta all’integrazione per orizzontali con la funzione

G(y) = Z δ(y)

γ(y)

f (x, y) dx

e quindi la formula

ZZ

A

f (x, y) dx dy = Z d

c

G(y) dy = Z d

c

Z δ(y) γ(y)

f (x, y) dx

! dy.

Esempio Vogliamo calcolare l’integrale della funzione f (x, y) = xy

sull’insieme A =n

(x, y) ∈ R²: x ∈ [0, 2], 2x − x²≤ y ≤ 2o .

2 1

2

x y

La regione A `e verticalmente semplice e quindi possiamo integrare per verticali scrivendo ZZ

A

f (x, y) dx dy = Z 2

0

dx Z 2

2x−x²

xy dy

= Z 2

0

xy² 2

2 2x−x²dx

= 1

2 Z 2

0 x 4 − (2x − x²)² dx

= 1

2 Z 2

0 x 4 − 4x²+ 4x³− x⁴ dx

= 1

2 Z 2

0 4x − 4x³+ 4x⁴− x⁵ dx

= 1

2

4x²

2 − 4x⁴ 4 + 4x⁵

5 −x⁶ 6

2

0

= 1

2

8 − 16 +128 5 −64

6

= 52 15. Esempio Vogliamo calcolare l’integrale della funzione

f (x, y) = xe^y sull’insieme

A =n

(x, y) ∈ R²: x ≥ 0, y ≤ 1, y ≥ xo

. 1

1

x y

(9)

Integrando per orizzontali (ma si pu`o integrare anche per verticali) si ha ZZ

A

f (x, y) dx dy = Z 1

0

dy Z y

0

xe^ydx

= Z 1

0

e^y·x² 2

y 0dy

= 1

2 Z 1

0

y²e^ydy⁷

= 1

2 y²e^y− 2ye^y+ 2e^y

1 0

= e − 2 2 . Un esempio particolarmente istruttivo `e il seguente:

Esempio Calcoliamo l’integrale della funzione f (x, y) = e^y²

sul triangolo raffigurato a fianco. 1

1

x y

Integrando per verticali si ha

Z 1 0

dx Z 1

x

e^y²dy

e da qui non possiamo pi`u procedere in quanto non c’`e una primitiva elementare di y 7→ e^y². Integrando invece per orizzontali si ha

Z 1 0

dy Z y

0

e^y²dx.

Qui riusciamo a procedere, dato che l’integrale interno `e in x. Otteniamo Z 1

0

e^y²· y dy = 1 2

Z 1 0

2ye^y²dy = 1 2· e^y²

1

0=e − 1 2 .

L’esempio mostra quindi che pu`o non essere lo stesso integrare in un modo piuttosto che in un altro. Ovviamente a priori non si pu`o sapere quale modo conviene.

Quando può servire, si può sempre applicare la proprietà additiva dell’integrale e cioè si può sempre suddividere la regione di integrazione in due regioni e integrare separatamente su queste. L’integrale è la somma dei due integrali cos`ı ottenuti. La cosa può essere utile in caso di regioni ad esempio non verticalmente semplici ma che sono unione di due regioni verticalmente semplici.

Esempio Calcoliamo l’integrale della funzione f (x, y) = x

sulla regione A raffigurata a fianco (la parte curva della frontiera di A sta sulla parabola di equazione y = 1−(x−2)²). Supponiamo di voler evitare l’integrazione per orizzontali.

1 2

1

x y

7L’integraleR

y²e^ydy si calcola ora per parti.

(10)

Integriamo quindi per verticali, dividendo in due parti la regione. Si ha ZZ

A

x dx dy = Z 1

0

dx Z 1

0

x dy + Z 2

1

dx Z 1

1−(x−2)²

x dy

= Z 1

0

x dx + Z 2

1 x 1 − 1 + (x − 2)² dx

= 1

2 + Z 2

1

x³− 4x²+ 4x dx

= 1

2 + x⁴ 4 − 4x³

3 + 4x² 2

2 1

= 1

2 + 4 −32

3 + 8 − 1 4+4

3 − 2 = 11 12.

Si noti che integrando invece per orizzontali non occorre dividere la regione in due parti.

Esempio Vogliamo calcolare la misura dell’area della regione di piano A =n

(x, y) ∈ R²: 1 ≤ x ≤ e, ln x ≤ y ≤ e^xo .

Lo studente pu`o disegnarsi una rappresentazione grafica della regione A. La misura dell’area di A coincide con l’integrale su A della funzione costante uguale ad 1. Si ha, integrando per verticali,

mis(A) = Z e

1

dx Z e^x

ln x

dy

= Z e

1

(e^x− ln x) dx

=

e^x− x ln x + x

e 1

= e^e− e − 1.

4.1 Calcolo di integrali di funzioni simmetriche

Talvolta, per il calcolo di un integrale doppio, pu`o essere utile sfruttare qualche simmetria della funzione. Ecco alcuni risultati generali, che presento senza troppi commenti, dato che sono facilmente intuibili.

(i) Supponiamo che A sia un insieme simmetrico rispetto alle x, unione dei due insiemi simmetrici A1 e A2 (vedi figura a fianco).

Se f `e una funzione pari rispetto alle x allora ZZ

A

f = 2 ZZ

A1

f.

Se f `e una funzione dispari rispetto alle x allora ZZ

A

f = 0.

A A1

A2

x y

Un analogo risultato si ha con la simmetria rispetto ad y.

(ii) Supponiamo che B sia un insieme simmetrico rispetto alle y, unione dei due insiemi simmetrici B1e B2(vedi figura a fianco).

Se f `e una funzione pari rispetto alle y allora ZZ

B

f = 2 ZZ

B1

f.

Se invece f `e una funzione dispari rispetto alle y allora ZZ

B

f = 0.

B B1

B2

x y

(11)

Esempi Sia R il rettangolo [−1, 1] × [0, 1]. L’integrale ZZ

R

(x³+ xy) dx dy

`e nullo, dato che f `e dispari rispetto alle x in un insieme simmetrico rispetto alle x.

Sia Q il quadrato [−1, 1] × [−1, 1]. L’integrale ZZ

Q

(x²y + xy³) dx dy

`e nullo, dato che f `e dispari rispetto alle y in un insieme simmetrico rispetto alle y.

Sia C il cerchio unitario. L’integrale

ZZ

C

(x⁴y³+ x²y) dx dy

`e nullo, dato che f `e dispari rispetto alle y in un insieme simmetrico rispetto alle y.⁸

Per concludere, si pu`o anche intuire un risultato valido in caso di simmetria rispetto all’origine.

Se A `e un insieme simmetrico rispetto all’origine e f `e una funzione dispari rispetto all’origine, allora ZZ

A

f = 0.

Esempio Sia C =(x, y) ∈ R²: 1 ≤ x²+ y²≤ 4 (`e raffigurato a fianco). Si ha ZZ

C

x + y

x²+ y²dx dy = 0,

dato che la funzione `e dispari rispetto all’origine.⁹Questo integrale non sarebbe affatto semplice da calcolare con il teorema di riduzione.

C

2 1

−2 −1

−2

−1

x y

Esercizio 4.1 Si calcolino:

(a) ZZ

A

f con f (x, y) = 2x + y e A = [−1, 2] × [0, 1]

(b) ZZ

A

f con f (x, y) = x + e^y e A = [0, 1] × [0, 1]

(c) ZZ

A

f con f (x, y) = ln y e A = [0, 1] × [1, e]

(d) L’integrale di f (x, y) = x + 2y sul triangolo di vertici (0, 0), (1, 0) e (1, 1) (e) L’integrale di f (x, y) = xe^y sul triangolo di vertici (0, 0), (4, 2) e (1, 2)

8Ovviamente conviene utilizzare la simmetria rispetto alle y piuttosto che quella, pur presente, rispetto alle x. Usando la simmetria rispetto alle x potevamo dire che l’integrale sul cerchio è il doppio dell’integrale sul semicerchio di destra, ma avremmo comunque dovuto procedere al calcolo di quest’ultimo. Informo anche gli studenti che l’integrazione su cerchi o parti di cerchi presenterebbe molte difficoltà con le tecniche in nostro possesso fino a questo punto, ed è per questo che non le abbiamo mai incontrate (e non le incontreremo). Con la tecnica del cambio di variabile negli integrali multipli, che non vediamo, e con un po’ di trigonometria, anche questi integrali risultano in genere semplici.

9Infatti, ponendo f (x, y) =_x^x+y2+y², si ha

f(−x, −y) = −x − y

(−x)²+ (−y)² = − x+ y

x²+ y² = −f (x, y).

(12)

5 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 12

Esercizio 4.2 Si calcolino i seguenti integrali doppi, sfruttando considerazioni sulla simmetria.

(a) ZZ

A

x dx dy con A =(x, y) ∈ R²: x²+ y²≤ 1, y ≥ 0

(b) ZZ

A

xy dx dy con A =(x, y) ∈ R²: ^x₄² + y²≤ 1, x ≥ 0

(c) ZZ

A

xy dx dy con A =(x, y) ∈ R²: x²+ y²≤ 1

(d) ZZ

A

x²y³dx dy con A =(x, y) ∈ R²: x²+ y²≤ 1, xy ≥ 0

(e) ZZ

A

x²y

x²+ y²dx dy con A =(x, y) ∈ R²: x²y²≤ 1, |x| ≤ 2, |y| ≤ 2

Esercizio 4.3 Si calcolino:

(a) ZZ

A

f con f (x, y) = x² e A =n

(x, y) : x ≥ 0 , 0 ≤ y ≤ 1 , x ≤ y²o

(b) ZZ

A

f con f (x, y) = xy e A =n

(x, y) : y ≥ 0 , x ≤ 1 , y ≤ √³ xo

(c) ZZ

A

f con f (x, y) = ln y e A =n

(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , 1 ≤ y ≤ e^xo

(d) L’area della regione A =n

(x, y) : y ≥ 0 , x ≤ 1 , y³≤ x ≤ y²o (e) L’area della regione A =n

(x, y) : y ≥ x³, x ≥ y²o (f) L’area della regione A =n

(x, y) : y ≥ 0 , x − ^x2² ≤ y ≤ 1 − |x − 1|o

5 Soluzioni degli esercizi

Esercizio 4.1

(a) Si ha, integrando per verticali, ZZ

A

(2x + y) dx dy = Z 2

−1

dx Z 1

0

(2x + y) dy = Z 2

−1

2xy

1 0+y²

2

1 0

dx =

Z 2

−1

2x +1

2

dx = x²

2

−1+1 2x

2

−1

= 9 2. Sulle scritture utilizzate, ricordo che la scrittura Rb

a dxRd

c f (x, y) dy equivale allaRb a

Rd

c f (x, y) dy

dx. Ovvia- mente, se l’integrale internoRd

c f (x, y) dy `e funzione di x, non si possono calcolare i due integrali separatamente.

Se però l’integrale interno non è funzione di x, che equivale a dire che f non è funzione di x, l’integrale è il prodotto dei due integral, uno in x e l’altro in y, e si haRb

a dxRd

c f (x, y) dy = (b − a)Rd

c f (y) dy.

(b) Si ha, integrando per verticali, ZZ

A

(x + e^y) dx dy = Z 1

0

dx Z 1

0

(x + e^y) dy = Z 1

0

xy

1 0+ e^y

1 0

dx = Z 1

0 (x + e − 1) dx = x² 2

1

0+ (e − 1)x

1

0= e −1 2.

(13)

(c) Si ha, integrando per verticali, ZZ

A

ln y dx dy = Z 1

0

dx Z e

1 ln y dy = y ln y − y

e 1= 1.

Questo è un caso in cui la funzione integranda non è funzione di x e quindi l’integrale doppio è il prodotto dei due integrali.¹⁰

(d) Si ha

ZZ

A

(x + 2y) dx dy = Z 1

0

dx Z x

0

(x + 2y) dy = Z 1

0

xy

x 0+ y²

x 0 dx =

Z 1 0

2x²dx =2 3. (e) Conviene integrare per orizzontali. Si ha

Z

A

xe^ydx dy = Z 2

0

dy Z 2y

y/2

xe^ydx = Z 2

0

e^y·x² 2

2y

y/2dy = 1 2

Z 2 0

e^y

4y²−y² 4

dy

=15 8

Z 2 0

y²e^ydy = 15

8 y²e^y− 2ye^y+ 2e^y

2 0= 15

4 (e²− 1).

Esercizio 4.2

(a) L’insieme di integrazione è il semicerchio (unitario) al di sopra dell’asse x. L’integrale è nullo in quanto la funzione f (x, y) = x è dispari rispetto alle x e l’insieme A è simmetrico rispetto alle x.

(b) L’insieme di integrazione è la metà di destra dell’ellisse di centro l’origine e semiassi 2 e 1. L’integrale è nullo in quanto la funzione f (x, y) = xy è dispari rispetto alle y e l’insieme A è simmetrico rispetto alle y.

(c) L’insieme di integrazione è il cerchio unitario, quindi un insieme simmetrico rispetto alle x, rispetto alle y e anche simmetrico rispetto all’origine. La funzione f (x, y) = xy è dispari rispetto alle x e quindi l’integrale è nullo. Si noti che non avremmo potuto concludere che l’integrale è nullo usando la simmetria rispetto all’origine, dato che la funzione è pari rispetto all’origine.

(d) L’insieme di integrazione è la parte del cerchio unitario che sta o nel primo o nel terzo quadrante, quindi un insieme simmetrico rispetto all’origine. La funzione f (x, y) = x²y³è pari rispetto alle x e dispari rispetto alle y, ma questo non ci serve perché l’insieme non ha simmetrie rispetto ad x o ad y. Possiamo però osservare che f è dispari rispetto all’origine e questo ci permette di concludere che l’integrale è nullo.

(e) Per determinare l’insieme di integrazione qui serve qualche calcolo in pi`u.

Le due disequazioni |x| ≤ 2 e |y| ≤ 2 individuano il quadrato di vertici (2, 2), (−2, 2), (−2, −2), (2, −2). La disequazione x²y² ≤ 1 equivale alla doppia disuguaglianza

−1 ≤ xy ≤ 1 e questa individua i punti che stanno tra i quattro rami delle iperboli equilatere di equazione xy = 1 e xy = −1. L’intersezione `e l’insieme A di integrazione (raffigurato a fianco).

La funzione f (x, y) = _x²^x_+y²^y² è pari rispetto alle x, dispari rispetto alle y e dispari rispetto all’origine. L’integrale è quindi nullo perché A è simmetrico rispetto all’origine e f è dispari rispetto all’origine (oppure perché A è simmetrico rispetto alle y e f è dispari rispetto allle y).

2 2

−2

x y

A

10Il caso più generale in cui un integrale doppio su un rettangolo è il prodotto di due integrali semplici è quello in cui la funzione integranda è il prodotto di due funzioni, una della sola x, l’altra della sola y. Si consideri ad esempio l’integraleRR

Re^x+ydx dy, dove R `e un qualunque rettangolo del piano, cio`e R = [a, b] × [c, d]. Si ha

ZZ

R

e^x+ydx dy = ZZ

R

e^x·e^ydx dy = Z b

a

e^xdx Z d

c

e^ydy = (e^b−e^a)(e^d−e^c).

Si osservi che, nel caso più generale di un integrale su di una regione semplice (o rispetto ad x o rispetto ad y) il fatto che la funzione integranda sia il prodotto di due funzioni, nelle due variabili, non è sufficiente per poter scrivere l’integrale come prodotto di due integrali semplici (perché?).

(14)

Esercizio 4.3

(a) Integrando per orizzontali si ha ZZ

A

x²dx dy = Z 1

0

dy Z y²

0

x²dx = Z 1

0

x³ 3

y² 0 dy =1

3 Z 1

0

y⁶dy =1 3

y⁷ 7

1 0= 1

21. (b) Integrando per verticali si ha

ZZ

A

xy dx dy = Z 1

0

dx Z √x³

0

xy dy = Z 1

0

xy² 2

√x3

0 dx = 1 2

Z 1

0 x · x^2/3dx =1 2

Z 1 0

x^5/3dx = 1 2·x^8/3

8/3

1 0= 3

16. (c) Integrando per verticali si ha¹¹

ZZ

A

ln y dx dy = Z 1

0

dx Z e^x

1

ln y dy = Z 1

0 dx y ln y − y

e^x 1 =

Z 1 0

xe^x− e^x+ 1 dx = xe^x− e^x− e^x+ x

1

0= 3 − e.

(d) La regione `e la parte di piano del primo quadrante compresa tra il grafico della funzione x = y³e la parabola di equazione x = y². Integrando per orizzontali si ha

m(A) = ZZ

A

dx dy = Z 1

0

dy Z y²

y³

dx = Z 1

0

(y²− y³) dy = y³ 3

1 0−y⁴

4

1 0= 1

3−1 4 = 1

12.

(e) La regione `e la parte di piano del primo quadrante compresa tra il grafico della funzione y = x³e la parabola di equazione x = y². Integrando per verticali si ha

m(A) = ZZ

A

dx dy = Z 1

0

dx Z √x

x³

dy = Z 1

0

(√

x − x³) dx = x^3/2 3/2

1 0−x⁴

4

1 0=2

3 −1 4 = 5

12.

(f) La regione `e la parte di piano del primo quadrante al di sopra della parabola di equazione y = x − x²/2 e al di sotto del grafico della funzione y = 1 − |x − 1|. Possiamo osservare che l’area della regione A `e il doppio dell’area della regione che si ottiene con x ∈ [0, 1]. Integrando per verticali si ha

m(A) = ZZ

A

dx dy = 2 Z 1

0

dx Z x

x−x²/2

dy = 2 Z 1

0

x − x +x² 2

dx = x³ 3

1 0=1

3.

11Si ricordi che (integrando per parti) si ottiene Z

ln t dt = t ln t − t + c e Z

te^tdt = te^t−e^t+ c.