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→ R una funzione armonica e p ∈ R, p ≥ 2. Provare che (i) v(x) := |u(x)|

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Academic year: 2021

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(1)

Equazioni Differenziali 1 4

o

appello – 17.9.2010

1) Sia u : R

n

→ R una funzione armonica e p ∈ R, p ≥ 2. Provare che (i) v(x) := |u(x)|

p

` e subarmonica,

(ii) se u ∈ L

p

(R

n

) allora u ≡ 0,

(iii) se |∇u| ∈ L

2

(R

n

) allora u ` e costante.

2) Sia u : [0, 1] × [0, +∞[→ R una funzione continua che risolve il problema di Cauchy-Dirichlet

u

t

− u

xx

= 0 0 < x < 1, t > 0 u(x, 0) = x(1 − x) 0 ≤ x ≤ 1

u(0, t) = u(1, t) = 0 t > 0.

(a) Trovare λ < 0 tale che

u(x, t) ≤ w(x, t) := x(1 − x)e

λt

, (b) calcolare lim

t→+∞

u(x, t) e dire se ` e uniforme in [0, 1].

3) (a) Enunciare la regolarit` a delle funzioni con la propriet` a di media (sferica o solida) e il loro legame con le funzioni armoniche;

(b) dimostrare gli enunciati del punto (a).

4) (a) Dare la definizione di soluzione integrale del problema di Cauchy per una legge di conser- vazione;

(b) dimostrare che le soluzioni classiche sono soluzioni integrali;

(c) enunciare la condizione di Rankine-Hugoniot; facoltativo: dimostrarla.

Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti.

E vietato usare libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo. `

Viene corretto solo ci` o che ` e scritto sul foglio intestato di bella copia.

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