Ottimizzazione non lineare non vincolata:

(1)

Ottimizzazione non lineare non vincolata:

Metodi iterativi di eliminazione ed interpolazione per ottimizzazione di funzione di una variabile

(2)

10 marzo 2010 MOSPE 2

Ottimizzazione non lineare non vincolata

• Il problema di ottimizzazione non lineare non vincolata di funzione di una variabile viene posto nella forma:

f*=min {f(x)} dove x (1)

dove f (funzione non lineare) è la cosiddetta funzione obiettivo

• Il problema (1) è equivalente al problema:

f*=-max {-f(x)} dove x (2)

f(x)

-f(x)

(3)

Metodi iterativi di discesa

• La ricerca di una soluzione ottimale per un problema di ottimizzazione non lineare viene condotta utilizzando algoritmi iterativi di discesa

• Si tratta di metodi iterativi che percorrono una traiettoria composta da una successione di soluzioni ammissibili,

effettuando ad ogni iterazione uno spostamento lungo una direzione ammissibile, in modo che il valore della funzione obiettivo per la nuova soluzione sia inferiore al valore per la soluzione precedente

• L’efficienza di un metodo di ricerca consiste nell’ottenere una prescelta approssimazione del punto di minimo con il minor numero possibile di tentativi

(4)

Classificazione di metodi iterativi

Metodi di eliminazione:

• Ricerca illimitata

• Ricerca esaustiva

• Metodo di bisezione (dicotomico)

• Metodo di Fibonacci

• Metodo della sezione aurea

• I metodi di eliminazione possono essere usati anche per ottimizzazione di funzioni discontinue e non

differenziabili in quanto non

utilizzano la derivata della funzione obiettivo!!!

Metodi di interpolazione:

• Quadratica

• Cubica

• Ricerca diretta di radici:

– Newton

– quasi-Newton – del gradiente

(5)

Funzione unimodale

• I metodi di bisezione, di Fibonacci e della sezione aurea

richiedono che la funzione da minimizzare sia unimodale o sia dotata di un unico punto di minimo, su un intervallo chiuso [a,b]

• La funzione [a,b] xf(x) si definisce unimodale se x1<x2<x*  f(x2)<f(x1) e x2>x1>x*  f(x1)<f(x2) dove x* è il punto minimo della funzione.

• In altre parole - esiste un valore x* [a,b] tale che la funzione è strettamente decrescente per x<x* e strettamente crescente per x*>x - o viceversa

(6)

Funzione unimodale vs funzione multimodale

(7)

Ricerca illimitata

• Un metodo elementare di ricerca del punto ottimale della funzione f è basato sull’uso di passo fisso e spostamento, da un punto iniziale scelto, nella direzione favorevole (positiva o negativa). Il passo usato deve essere piccolo in relazione con l’accuratezza finale desiderata

• Nella ricerca illimitata (ed in tutti gli altri metodi di

eliminazione) si assume che la funzione f sia unimodale. Nel caso di funzione multimodale l’intervallo di esplorazione per la funzione viene suddiviso in diverse parti in ciascuna della quali la funzione è unimodale.

(8)

Esempio di ricerca non limitata con passo fisso

(9)

Algoritmo (1)

1. Inizializzazione con una stima iniziale, x1

2. Calcolo di f₁=f(x₁)

3. Calcolo di x₂=x₁+s dove s è il passo prescelto

4. Calcolo di f₂=f(x₂)

5. Se f2<f1 e il problema è un problema di minimizzazione, l’ipotesi di unimodalità indica che il minimo non può trovarsi per x<x1, quindi la ricerca può essere continuata lungo i punti x₃, x₄… usando la ipotesi di unimodalità durante la verifica di ogni coppia dei punti. La procedura viene continuata fin quando il valore di f in un punto x_i=x₁+(i-1)s

comincia a crescere

6. Terminazione della procedura nel punto xi-1

(10)

Algoritmo (1)

7. Se all’inizio f₂>f₁ la ricerca deve essere svolta nella direzione

opposta cioè per i punti x-2, x-3…, dove x-j=x1-(j-1)s

8. Se f2=f1 il minimo cercato sta tra x2 e x1 e quindi il punto di minimo può essere scelto sia in x2 sia in x1

9. Se sia f₂ sia f_-2 sono più grandi di f₁, questo implica che il minimo si trova nell’intervallo x-2<x<x2

(11)

Passo accelerato

• Anche se la ricerca con passo fisso sembra molto semplice, la maggiore limitazione viene dal fatto della natura non limitata del regione dove si può trovare il minimo

• Per esempio se il punto minimo di una certa funzione f si trova a x*=50000 e, in assenza di conoscenza della sua

posizione, x₁ ed s vengono scelti come 0 e 0.1, la funzione f deve essere valutata 50001 volte per trovare il minimo!

• Per risolvere questo problema, per esempio, in ogni iterazione il passo può essere raddoppiato. Successivamente, per

ottenere una sufficiente accuratezza, la procedura di base può essere applicata all’intervallo (x_i-1,x_i) cominciando da x_i-1 o x_i

(12)

Esempio numerico di ricerca con passo fisso

• Trova il minimo della funzione f=x(x-1.5) cominciando da x₁=0 e s=0.05

i s x_i= x₁ + (i-1)s

f_i f_i>f_i-1

1 - 0.0 0.0 -

2 0.05 0.05 -0.0725 No

3 0.05 0.10 -0.140 No

16 0.05 0.75 -0.5625 No

17 0.05 0.80 -0.560 Si

(13)

Esempio numerico di ricerca con passo accel.

• Trova il minimo della funzione f=x(x-1.5) cominciando da x₁=0 e s=0.05

i s x_i= x₁ +s f_i f_i>f_i-1

1 - 0.0 0.0 -

2 0.05 0.05 -0.0725 No

3 0.10 0.10 -0.140 No

4 0.20 0.20 -0.260 No

5 0.40 0.40 -0.440 No

6 0.80 0.80 -0.560 No

7 1.60 1.60 +0.160 Si

(14)

Ricerca esaustiva

• La ricerca esaustiva può essere usata per la soluzione dei problemi in cui l’intervallo in cui si trova il minimo è finito.

• Si denotano con x_s ed xf rispettivamente il punto iniziale e finale dell’intervallo di ricerca

• Il metodo consiste nella valutazione (simultanea) della funzione obiettivo in un determinato numero di punti

distribuiti uniformemente nell’intervallo (xs, xf) e riducendo intervallo di incertezza usando l’assunzione di unimodalità

(15)

Metodo di bisezione (dicotomico)

• Nel metodo di bisezione esattamente la metà dell’intervallo corrente viene scartata in ogni iterazione

• Il metodo richiede tre punti iniziali e due punti sperimentali in ogni iterazione della procedura

(16)

Algoritmo

1. Suddivisione dell’intervallo di incertezza L0=[a,b] in 4 parti uguali, con x0 al centro

2. Valutazione della funzione obiettivo f nei punti x0, x1 ,x2

3. Se:

a) f(x2)>f(x0)>f(x1) cancella [x0,b]

e sostituisci x0 = x1 e b=x0

b) f(x2)<f(x0)<f(x1) cancella [a,x0] e sostituisci x0 =x2 e a=x0

c) f(x1)>f(x0) e f(x2)> f(x0) cancella [a,x1] e [x2,b] e sostituisci a=x1 e b=x2

4. Controlla se il nuovo intervallo L=b-a soddisfa il criterio di convergenza L<=epsilon; se converge finisci la procedura se no torna al punto 1

(17)

Esempio numerco di metodo di bisezione

• Trovare il minimo della funzione f=x(x-1.5)

nell’intervallo [0,1] con epsilon=0.1 e epsilon=0.01

(18)

Metodo di Fibonacci

• Il metodo di Fibonacci può essere applicato per la ricerca del minimo di una funzione di una variabile anche non continua.

• Come tanti altri metodi di eliminazione esistono le seguenti limitazioni per quanto riguarda l’uso del metodo:

– L’intervallo iniziale di incertezza deve essere noto

– La funzione obiettivo deve essere unimodale in questo intervallo

– La soluzione esatta non può essere trovata – solo un intervallo finale di incertezza

– Il numero di valutazioni della funzione o la risoluzione deve essere specificato all’inizio della procedura

(19)

Numeri di Fibonacci

• Il metodo usa la sequenza di numeri di Fibonacci F_n, definiti tramite la relazione ricorsiva:

F₀=F₁=1

F_n=F_n-1+F_n-2 n=2,3,4,…

che determina la successione:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…

• L’algoritmo si basa sulla valutazione della funzione obiettivo f in corrispondenza di una successione finita di n punti, e ricava un intervallo di incertezza, di ampiezza decrescente con n,

all’interno del quale si colloca la soluzione ottimale.

(20)

Algoritmo (1)

1. Inizializzazione con due punti di tentativo x1 e x2 posti a distanza L2*=Fn-2/Fn·L0

dagli estremi dell’intervallo L0=[a,b] dove n è il numero totale di valutazioni:

x1=a+ L2*=a+ Fn-2/Fn·L0

x2=b-L2*=b- Fn-2/Fn·L0 =a+ Fn-1/Fn·L0

(se un punto è posto alla distanza F_n-2/F_n·L₀ da un estremo dell’intervallo, sarà posto alla distanza Fn-1/Fn·L0 dall’altro estremo)

2. Sulla base di assunzione di unimodalità una parte dell’intervallo viene scartata; il rimanente intervallo di incertezza ha lunghezza L2 definita:

L2=L0-L2*=L0(1-Fn-2/Fn)= Fn-1/Fn·L0

e contiene uno dei punti di tentativo alla distanza:

L₂*= F_n-2/F_n·L₀= F_n-2/F_n-1·L₂ da un lato e

L2 -L2*= Fn-3/Fn·L0= Fn-3/Fn-1·L2

dall’altro lato dell’intervallo L2

(21)

Algoritmo (2)

3. Si procede con il terzo tentativo x3 nell’intervallo L2 alla distanza:

L3*= Fn-3/Fn·L0= Fn-3/Fn-1·L2

da ogni lato dell’ intervallo L₂

4. Usando la condizione di unimodalità l’intervallo di incertezza viene ridotto all’intervallo L3:

L₃=L₂-L₃*=L₂- F_n-3/F_n-1·L₂= F_n-2/F_n-1·L₂= F_n-2/F_n·L₀ 5. Il processo viene continuato con:

L_j*= F_n-j/F_n-(j-2)·L_j-1 L_j= F_n-(j-1)/F_n·L₀

6. Dopo un numero di passi uguale a j il rapporto tra l’intervallo determinato e quello residuo è uguale a:

Lj /L0 = Fn-(j-1)/Fn

7. Per j=n abbiamo:

Ln /L0 = F1/Fn =1/Fn

(22)

Esempio numerico di metodo di Fibonacci

• Trova un minimo di f(x)=0.65- [0.75/(1+x²)]-0.65xtan^-1(1/x) su intervallo [0,3] usando n=6

• n=6, L0=3

• L2*=Fn-2/Fn·L0=5/13·3=1.153846

• x1=1.153846 f(x1)=-0.207270

• x2=3-1.153846=1.846154 f(x2)=-0.115843

• f(x1)<f(x2)  [x2,3] viene scartato

• x3=0+(x2-x1)=0.692308 f(x3)=-0.291364

• f(x1)>f(x3)  [x1, x2] viene scartato

• (…..)

x₁

x₂ L₀

L₂* L₂*

x₃ L₂

(23)

Metodo della sezione aurea

• Il metodo della sezione aurea è simile al metodo di Fibonacci eccetto che nel metodo di Fibonacci il numero totale di

tentativi viene specificato all’inizio per determinare la

posizione iniziale dei punti; nel metodo della sezione aurea si assume che il numero di tentativi sia molto grande (n∞)

• È possibile dimostrare che con n∞ abbiamo:

limn∞Fn-1/Fn=1/π10.618

dove π₁1.618 è una radice dell’equazione x²=x+1 e costituisce la sezione aurea, già nota nell’antica Grecia

• Nel metodo i punti iniziali x₁ e x₂ vengono scelti in corrispondenza di:

L₂*=F_n-2/F_n·L₀=F_n-2/F_n-1·F_n-1/F_n·L₀=L₀/π₁²=0.382L₀

(24)

Sezione aurea

• La sezione aurea, nell'ambito dell‘arte e della matematica, indica il rapporto fra due grandezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due, mentre lo stesso rapporto esiste anche tra la grandezza minore e la loro differenza.

• In formule, indicando con a la lunghezza maggiore e con b la lunghezza minore, vale la relazione: (a+b) : a = a : b = b : (a-b)

(25)

Arco di Traiano e sezione aurea

(26)

Confronto dei metodi di eliminazione

Metodo Error: 1/2·L_n/L₀<=0.1 Error: 1/2·L_n/L₀<=0.01

Ricerca esaustiva n>=9 n>=99

Metodo di bisezione n>=7 n>=13

Metodo di Fibonacci n>=4 n>=9

Metodo della sezione aurea n>=5 n>=10

(27)

Metodo di Fibonacci – sviluppo dell’algoritmo

in Matlab

(28)

Ricerca diretta di radici

• Metodo di Newton

• Metodo quasi Newtoniano

• Metodo della secante

(29)

Convergenza (1)

• Convergenza (def. 1): La sequenza x_i delle iterazioni converge alla soluzione α se:

• Convergenza (def. 2): La sequenza x_i delle iterazioni converge alla soluzione α se, dato un ε>0 qualsiasi, esiste un intero n0

tale per cui con n≥n0 si ha:

• Convergenza lineare: La sequenza x_i delle iterazioni converge linearmente alla soluzione α se esiste una costante c con

0<c<1 ed un intero n≥0 tali per cui:

lim _i 0

i x 

  

xn  

1

n n

x _   c x 

(30)

Convergenza (2)

• Convergenza superlineare: La sequenza x_i delle iterazioni converge superlinearmente alla soluzione α se, per qualche sequenza c_n che converge a 0, esiste un intero n≥0 tali per cui:

• Convergenza di ordine p: La sequenza x_i delle iterazioni converge con ordine p ≥ 1 alla soluzione α se, per qualche c>0, esiste un intero n ≥ 0 tale per cui:

p è anche detto ordine di convergenza del metodo.

1

n n n

x _   c x  

1

p

n n

x _   c x 