ESERCITAZIONE MATEMATICA DISCRETA (19/10/11)
1) Si considerino i seguenti predicati (con universo della variabile=numeri naturali):
P(x)=”x>7” Q(x)=”3x>20”
e siano rispettivamente A, B gli insiemi definiti in modo implicito da P, Q.
L’insieme A è sottoinsieme di B ? L’insieme B è sottoinsieme di A ?
Soluzione: Dimostrare che A è sottoinsieme di B equivale a dimostrare che P Q e ciò si può dimostrare in modo diretto: se x è un valore che rende vero P, quindi x>7, moltiplicando per 3 ambo i membri si ottiene 3x>21, e poiché 21>20 si ottiene 3x>20 (per la proprietà transitiva dell’ordinamento dei numeri) ossia x rende vero Q. Invece Q non implica P (perché esiste il valore x=7 che rende vero Q ma falso P) quindi B non è sottoinsieme di A.
2) Descrivere in modo implicito (mediante un opportuno predicato P(x)) l’insieme A descritto in modo esplicito da: A = {1,7,9,21,30}.
Soluzione: Un esempio di predicato che descrive A in modo implicito è P(x)=”x=1 oppure x=7 oppure x=9 oppure x=21 oppure x=30”, ma non è molto elegante. Un altro esempio migliore è il predicato P(x)=”(x-1)(x-7)(x-9)(x-21)(x-30)=0”, che è vero proprio per i valori x=1,7,9,21,30.
3) Se Q è l’insieme dei numeri razionali, e se f: Q Q è la funzione definita da f(x)=(3-5x)/4, dimostrare che f è una funzione biunivoca.
Soluzione: La funzione f è iniettiva: dati due elementi a,b di Q, e supponendo per assurdo che si abbia f(a)=f(b), cioè (3-5a)/4=(3-5b)/4, si ha (moltiplicando per 4 e sottraendo 3) -5b=-5a e dividendo per -5 si ottiene a=b, contraddizione.
La funzione f è surgettiva: comunque preso un generico elemento b in Q, si deve trovare almeno un elemento a in Q tale che f(a)=b cioè tale che (3-5a)/4=b, e tale equazione nell’incognita a ha la soluzione a=(3-4b)/5 (che è appunto un numero razionale, essendolo b).
4) Si fissi nel piano una retta r ed un punto z esterno alla retta r. Si costruiscano i seguenti insiemi:
A è l’insieme di tutti i punti del piano diversi dal punto z, B è l’insieme di tutti i punti della retta r.
Si definisca in modo implicito una relazione da A a B mediante il predicato:
P(x,y) = “y è il punto di intersezione della retta r e della retta passante per i punti x e z”
Si ottiene così una funzione da A a B ? Se la risposta è negativa, verificare se è possibile modificare il dominio A in modo che f sia una funzione.
Soluzione: I punti x sulla retta passante per z e parallela ad r non hanno nessun punto associato in B, quindi la relazione non è una funzione. Se sostituiamo il dominio A con l’insieme dei punti del piano che non appartengono a tale parallela, si ottiene una funzione.
5) Se N è l’insieme dei numeri naturali, è possibile costruire una funzione f: N N che sia iniettiva ma non surgettiva ?
Analogamente è possibile costruire una funzione g: N N che sia surgettiva ma non iniettiva ? (per ciascuno dei 2 quesiti: se la risposta è positiva, costruire una funzione con le proprietà richieste; se la risposta è negativa spiegare perché la funzione non esiste)
Soluzione: Esistono diverse funzioni f: N N iniettive ma non surgettive , per esempio f(x)=2x, oppure f(x)=x2, oppure f(x)=x+1 e così via.
Una funzione g: N N che sia surgettiva ma non iniettiva si può per esempio costruire definendo g(1)=1, g(2)=1, g(3)=2, g(4)=3, g(5)=4, g(6)=5 etc… o più formalmente:
1 se x=1 g(x) =
x-1 se x1
