Geometria Lingotto.
LeLing1: Sistemi lineari omogenei.
A ¯ rgomenti svolti:
•Definizione di sistema lineare omogeneo. La matrice associata.
•Concetto di soluzione.
•Sistemi equivalenti.
•Operazioni elementari e primo accenno al metodo di Gauss-Jordan.
E ¯ sercizi consigliati: Geoling 1, Geoling 2.
1 Definizione di sistema lineare omogeneo.
Un sistema di equazioni della forma:
S =
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + · · · + a 1 n x n = 0 a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + · · · + a 2 n x n = 0 a 3 1 x 1 + a 3 2 x 2 + · · · + a 3 n x n = 0 ...
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + · · · + a m n x n = 0
si chiama sistema d’equazioni lineari omogeneo con n incognite ed m equazioni.
Esempio 1.1. Ecco due esempi:
A = x − y = 0
x + y = 0 B = 3x 1 − x 2 + x 4 = 0 x 5 − x 6 = 0 E’ facile ricordare il sistema tramite la matrice dei coefficienti :
A =
a 1 1 a 1 2 · · · a 1 n a 2 1 a 2 2 · · · a 2 n a 3 1 a 3 2 · · · a 3 n
.. . .. . .. . .. . a m 1 a m 2 · · · a m n
1.1 Concetto di soluzione. Geometria Lingotto.
Esempio 1.2. Ecco le due matrici corrispondenti agli esempi precedenti:
A = 1 −1 1 1
B = 3 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 −1
Dunque una matrice A e’ una tabella di numeri a i j , cioe’ numeri con due indici i, j . Di solito si scrive A = (a i j ) per indicare una matrice il cui elemento nella riga i-esima e colonna j -esima e’ a i j .
Notare il collegamento tra la incognita x 1 e la prima colonna della matrice A, tra la incognita x 2 e la seconda colonna della matrice A, etc. Inoltre notare il collegamento tra le equazioni del sistema S e le righe della matrice A.
Osservazione 1.3. Si deve fare molta attenzione nel passagio dal sistema alla ma- trice per evitare errori gravi. Ad esempio la matrice del sistema 3x + y = 0
3y + x = 0 non e’
3 1 3 1
.
1.1 Concetto di soluzione.
Se i numeri r 1 , r 2 , · · · , r n si sostituiscono alle incognite x 1 , x 2 , · · · , x n del sistema S e tutte le equazioni sono soddisfatte allora r 1 , r 2 , · · · , r n e’ chiamata una soluzione del sistema. Siccome l’ordine di questi numeri e’ importantissimo conviene ordinare questi numeri come una colonna. Ossia si intende, per soluzione del sistema S , una colonna:
R =
r 1 r 2 r 3 .. . r n
Dunque durante questo corso per soluzione di un sistema S si intende una colonna R = (r i ) tale che, se il numero r i si sostituisce all’incognita x i , tutte le equazioni di S sono soddisfatte.
Esempio 1.4.
A = x − y = 0
x + y = 0 B = 3x 1 − x 2 + x 4 = 0
x 5 − x 6 = 0
1.2 Sistemi equivalenti. Geometria Lingotto.
Il sistema A ha la colonna 0 0
come UNICA soluzione. Invece le colonne
0 0 0 0 0 0
,
0 0 0 0 8 8
,
0 0 0 0 13 13
,
0 1 0 1 0 0
sono tutte soluzione del sistema B , cioe’ il sistema (b) non ha soluzione UNICA.
Osservazione 1.5. Un sistema omogeneo ha sempre una soluzione chiamata soluzione banale. Eccola qui:
0 =
0 0 0 .. . 0 0
Dato un sistema S possiamo raccogliere tutte le soluzioni in un insieme S chiamato appunto l’insieme delle soluzione di S . Notare che S e’ un sottoinsieme dell’insieme di tutte le colonne di lunghezza n. Osservare che la proposizione precedente afferma 0 ∈ S . Il primo argomento di questo corso e’ imparare a calcolare tutte le soluzioni di un sistema S , cioe’ imparare a scrivere tutte le colonne che sono soluzioni di un dato sistema.
1.2 Sistemi equivalenti.
L’idea chiave per scrivere tutte le soluzione di un sistema S e’ il concetto di sistemi equivalenti.
Definizione 1.6. Due sistemi S, S 0 (entrambi con n incognite) si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Se S, S 0 sono equivalenti si scrive S ∼ S 0 .
Esempio 1.7. I seguenti sistemi sono equivalenti:
S = x − y = 0
x + y = 0 S 0 = x = 0
y = 0
1.3 Operazioni elementari. Geometria Lingotto.
Se sappiamo in anticipo che due sistemi S, S 0 sono equivalenti possiamo scegliere quello piu’ semplice per calcolarne le soluzioni. Ad esempio, nell’esempio precedente S 0 e’ certamente piu’ facile da risolvere di S . Questo ci porta in modo naturale a chiederci come si possa sapere in anticipo se due sistemi sono equivalenti.
1.3 Operazioni elementari.
Esistono tre operazioni (molto semplici) che applicate a un sistema S producono un sistema equivalente S 0 .
OPE 1 : Scambio dell’ordine di due equazioni
Si passa di un sistema S a uno equivalente semplicemente scambiando l’ordine di due equazioni, ad esempio:
S =
E 1 = 0 E 2 = 0 .. . E m = 0
→ S 0 =
E 2 = 0 E 1 = 0 .. . E m = 0 Per ricordare questa operazione elementare si scrive: E i ↔ E j . OPE 2: Moltiplicazione d’una equazione per una costante non nulla
Si ottiene un sistema equivalente moltiplicando una equazione per una costante c non nulla, ad esempio:
S =
E 1 = 0 E 2 = 0 .. . E m = 0
→ S 0 =
cE 1 = 0 E 2 = 0 .. . E m = 0 Per ricordare questa operazione elementare si scrive: E i ← cE i . OPE 3 : Sostituire una equazione con la sua somma con un’altra
Si ottiene un sistema equivalente sommando ad una equazione un’altra, ad esempio:
1.4 Tutto dal punto di vista matriciale. Geometria Lingotto.
S =
E 1 = 0 E 2 = 0 E 3 = 0 .. . E m = 0
→ S 0 =
E 1 = 0 E 2 + E 1 = 0 E 3 = 0 .. . E m = 0 Per ricordare questa operazione elementare si scrive: E i ← E i + E j .
1.4 Tutto dal punto di vista matriciale.
Avviamo visto che i sistemi si rappresentano piu’ economicamente tramite una matrice A, cioe’
A =
a 1 1 a 1 2 · · · a 1 n
a 2 1 a 2 2 · · · a 2 n a 3 1 a 3 2 · · · a 3 n .. . .. . · · · .. . a m 1 a m 2 · · · a m n
=
R 1
R 2 R 3 .. . R m
dove R 1 = (a 1 1 a 1 2 · · · a 1 n ), R 2 = (a 2 1 a 2 2 · · · a 2 n ), etc, sono le righe.
Dunque le tre operazioni elementari sono:
• OPE 1 : Scambio dell’ordine tra due righe. Notazione R i ↔ R j .
• OPE 2 : Moltiplicazione d’una riga per una costante non nulla c R i .
• OPE 3 : Sostituire una riga con la sua somma con un’altra R i + R j .
E’ anche piu’ semplice fare un uso contemporaneo delle OPE 2 e la OPE 3 , cioe’
R i + c R j . Esempio 1.8.
−1 0 3 2 1 −7
4 3 0
R
3−3R
2=⇒
−1 0 3 2 1 −7
−2 0 21
1.5 Operazioni elementari e Sistemi equivalenti. Geometria Lingotto.
1.5 Operazioni elementari e Sistemi equivalenti.
Ecco un teorema fondamentale.
Teorema 1.9. Siano A 1 , A 2 le matrici di due sistemi S 1 , S 2 . Se A 2 si ottiene da A 1 tramite le operazioni elementari OPE 1, OPE 2, OPE 3, allora i sistemi S 1 , S 2 sono equivalenti, cioe’ risolvere S 1 e’ la stessa cosa che risolvere S 2 .
La dimostrazione e’ molto facile ed e’ lasciata come esercizio al lettore.
Esempio 1.10. Ecco un esempio: se A = 1 3 2 7
e’ la matrice del sistema S =
x + 3y = 0
2x + 7y = 0 allora
1 3 2 7
R
2−2R
1=⇒ 1 3 0 1
R
1−3R
2=⇒ 1 0 0 1
dunque il sistema S e’ equivalente al sistema associato alla matrice 1 0 0 1
, cioe’ le soluzioni di S sono le soluzioni di x = 0
y = 0 , cosa abbastanza ovvia.
Esempio 1.11. Ecco un altro esempio: S =
x + y − z − w = 0 x + 2y + 5z − w = 0 2x + y + 3z + 2w = 0
; eseguiamo
1 1 −1 −1 1 2 5 −1
2 1 3 2
R
2−R
1=⇒
1 1 −1 −1
0 1 6 0
2 1 3 2
R
3−2R
1=⇒
1 1 −1 −1
0 1 6 0
0 −1 5 4
R
3+R
2=⇒
1 1 −1 −1
0 1 6 0
0 0 11 4
R3
