Registro di Calcolo delle probabilità a.a. 2010/11

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Registro di Calcolo delle probabilit` a a.a. 2010/11

Lezione 1 (7/10/2010) Barbato.

Introduzione al corso e modalit`a d’esame. Libro di testo consigliato: Sheldon M. Ross ”Calcolo delle probabilit`a”.

Analisi combinatoria.

Principio fondamentale del calcolo combinatorio.

Estrazione ordinata di m elementi in un insieme di n elementi.

Permutazioni di n elementi.

Coefficienti binomiali _mⁿ = _m!·(n−m)!^n! .

Coefficienti binomiali come coefficienti per lo sviluppo di una potenza ennes- ima di un binomio: (x + y)ⁿ=Pk=n

k=0 n

mx^ky^n−k Coefficienti multinomiali _n ^N

1,n2,...,nk = _n ^{N !}

1!·n2!·...·nk! con n1+ n2+ . . . + nk = N . Esercizi vari di cui tratti dal libro: capitolo 1, numeri 3, 5, 7, 12, 13, 20, 28.

Lezione (8/10/2010) Rinviata a causa della contemporaneit`a con la ses- sione di laurea.

Spazio campionario.

Definizione di σ-algebra.

Definizione di minima σ-algebra generata da uno o pi`u eventi.

Definizione di σ-algebra di Borel su R.

Misura di probabilit`a. Definizione e prime propriet`a:

Spazi di probabilit‘a con esiti equiprobabili: definizione ed esempi.

Esercizi vari di cui tratti dal capitolo 2 del libro: 11, 19, 37, 41, 42

Lezione 3 (12/10/10) Ferrante.

Spazio campionario e σ-algebre:

Successioni infinite di lanci di una moneta e minima σ-algebra generata dagli eventi dipendenti solo da un numero finito di lanci.

Continuità della funzione di probabilità. Applicazione al calcolo della probabilità di ottenere un numero infinito di Teste lanciando una moneta equilibrata.

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Probabilit`a condizionata ripetto ad un evento e sua estensione al condizionamento rispetto ad una σ-algebra generata da famiglia di eventi disgiunti.

Problema dei punti e dei compleanni.

Indipendenza di 2, 3 e n eventi.

Indipendenza di 2, 3 e n

σ-algebre. Relazione tra le due definizioni.

Esercitazione su probabilit`a condizionata e formula di Bayes. Esercizi 15, 16 e 19

Introduzione alle variabili aleatorie. Variabili aleatorie discrete: definizione, propriet`a, valore atteso, valore atteso di una funzione di variabile aleatoria discreta, momenti e varianza.

Variabili aleatorie discrete: Bernoulliane, Binomiali e Poissoniane.

Lezione 8 (21/10/10) Barbato. (Una sola ora a causa dell’utilizzo dell’aula per l’incontro: “Universit`a: un’avventura per s`e”)

Variabili aleatorie Geometriche.

Lezione 9 (22/10/10) Barbato. Esercitazione sulle variabili aleatorie discrete.

Introduzione alle variabili aleatorie continue: definizione, propriet`a, valore atteso, valore atteso di una funzione di variabile aleatoria discreta, momenti e varianza. Variabili aleatorie uniformi

Variabili aleatorie normali, approssimazioni normali e correzione di continuit`a.

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Esercitazione sulle variabili aleatorie reali.

Variabili aleatorie miste: funzione di ripartizione e decomposizione in componente continua e componente discreta; valore atteso di una variabile aleatoria mista.

Vettori aleatori: funzione di ripartizione. Vettori aleatori discreti densit e marginali. Vettori aleatori assolutamente continui densit e marginali. Con- dizioni di indipendenza di variabili aleatorie con distribuzione congiunta as- segnata.

Esercitazione sui vettori aleatori.

Distribuzioni di funzioni di variabili aleatorie.

Funzioni generatrici.

Costruzione di una funzione di ripartizione continua su tutto R e con derivata nulla quasi ovunque. Distribuzione della somma di variabili aleatorie indipen- denti.

Distribuzioni condizionate: caso discreto

ed assolutamente continuo. Alcuni esempi ed esercizi.

Definizione di valore atteso condizionato.

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Valore atteso condizionato e sue propriet`a.

Applicazione al calcolo del numero medio di palline nere da estrarre prima di ottenere la prima pallina bianca, nel caso in cui si estraggano le palline da una scatola contenete solo palline bianche e nere e non si faccia reinserimento dopo ogni estrazione.

Somme aleatorie di variabili i.i.d. e calcolo del loro valore atteso.

Prova in itinere

Esercitazione: esercizi tratti dalla prova in itinere.

Funzione caratteristica.

Convergenza in distribuzione: definizione.

1 esempio di successione di v.a. che converge in distribuzione.

Esempio di successione di v.a. assolutamente continue che converge in distribuzione ad una variabile aleatoria discreta.

1 Criterio di convergenza in distribuzione per variabili aleatorie discrete:

Teorema, siano (X_n)_n≥0variabili aleatorie discrete con densit`a (x_n,r, p_n,r) cio`e tali che P (Xn= xn,r) = pn,r per ogni n e r, (e chiaramente P

rpn,r = 1 ∀n e x_n,r₁ 6= x_n,r₂ per ogni n e r₁ 6= r₂). Se lim_n→+∞x_n,r = x_0,r e lim_n→+∞p_n,r = p_0,r allora X_n7−→ X.^d

1 esempio di applicazione del criterio.

Teorema Se X_n7−→ X e g : R → R `e continua allora g(X^d n)7−→ g(X)^d

Convergenza in distribuzione. Esercizi sulla convergenza in distribuzione.

Convergenza in probabilit`a: definizione.

Teorema1: Se X_n7−→ X allora X^p _n 7−→ X^d Teorema2: Sia a ∈ R. Se Xn

7−→ a allora Xd _n 7−→ a^p

Teorema3: Se X_n 7−→ X e Y^p _n 7−→ Y e g : R^p ² → R `e continua allora g(X_n, Y_n)7−→ g(X, Y )^p

Esempio: Se X_n7−→ X e Y^p _n7−→ Y allora X^p _n+ Y_n7−→ X + Y^p

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Teorema: Se X_n 7−→ X e Y^q.c. _n 7−→ Y e g : R^q.c. ² → R `e continua allora g(X_n, Y_n)7−→ g(X, Y ).^q.c.

Esempio: Se X_n7−→ X e Y^q.c. _n7−→ Y allora X^q.c. _n+ Y_n7−→ X + Y^q.c.

Un utile criterio di convergenza quasi certa:

Teorema, siano (X_n)_n∈Ne X variabili aleatorie se per ogni > 0 valeP

nP (|X_n− X| ≥ ) < +∞ allora X_n7−→ X^q.c.

Teorema: Se X_n7−→ X allora esiste una sottosuccessione di X^p _nche converge q.c. ad X.

Unicit`a del limite per la convergenza in probabilit`a

Teorema: Se X_n7−→ X e X^p _n 7−→ Y allora P (X = Y ) = 1.^p Teorema di convergenza monotona.

Esercitazione sulla convergenza di variabili aleatorie

Convergenza in media r esima: definizione + esempi.

Proposizione se 0 < r₁ < r₂ e X_n ^m.r7−→ X allora X²^. _n ^m.r7−→ X¹^. Teorema: Se X_n7−→ X allora X^m.r. _n 7−→ X.^p

Esercizio sulla convergenza in media r esima.

Teorema sulla convergenza dominata in media r esima.

Leggi dei grandi numeri deboli e forti.

Legge forte dei grandi numeri di Kolmogorov per variabili i.i.d.

Legge forte dei grandi numeri per variabili aleatorie non correlate.

Applicazioni ed esempi.

Esercitazione sulla convergenza di variabili aleatorie.

Pseudoinversa della funzione di ripartizione, rispoduzione di variabili causali al computer tramite riduzione alla variabile aleatoria uniforme. Applicazioni della legge dei grandi numeri.

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