Scheda - Le basi della Matematica Il calcolo letterale

Scheda - Le basi della Matematica Il calcolo letterale

Nota importante

Per vericare l'esattezza dei tuoi procedimenti sul calcolo del mcm, del MCD, delle espressioni numeriche puoi usare la tua calcolatrice scientica oppure il software gratuitamente disponibile online all'indirizzo:

https://www.geogebra.org/classic

Figure 1: Uso del programma Geogebra per controllare le operazioni svolte.

Per vericare l'esattezza dei tuoi procedimenti sul calcolo delle espressioni numeriche o algebriche e delle equazioni puoi utilizzarre il software Mini- math, gratuitamente disponibile online. E' interessante che questo programma ti permette di vedere tutti i passaggi risolutivi!!

(www.minimath.net) .

Figure 2: Uso del programma Minimath per controllare le operazioni svolte.

Il calcolo letterale

Come mai, in Matematica, vediamo comparire delle espressioni contenenti lettere? Non bastano i numeri per fare i calcoli? Beh, il calcolo con le lettere ci dà la possibilità di ampliare i nostri orizzonti in quanto ci permette, ad esempio, di generalizzare alcune proprietà. Ad esempio, se volessimo spiegare come si calcola l'area di un triangolo, dovremmo spiegarlo tramite esempi, ovvero: se la base misura 2 cm e l'altezza 4 cm, allora l'area si calcola così:

A = 2 cm · 4 cm 2

Se, invece, la base misura 5 cm e l'altezza 3 cm, allora l'area si calcola così:

A = 5 cm · 3 cm 2 E così via..

Il calcolo letterale ci permette di generalizzare questa procedura scrivendo che l'area di un qualsiasi triangolo si calcola mediante la seguente formula:

A = b · h 2

dove con b indichiamo la misura della base del triangolo e con h la misura dell'altezza.

Alcune denizioni iniziali

Si denisce monomio un'espressione letterale in cui compaiono soltanto ope- razioni di moltiplicazione.

Ad esempio, ¹₂bhè un monomio.

Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letterale.

Osservazione: Siccome sappiamo che il prodotto tra due termini è simmetrico rispetto ai fattori, ovvero a·b = b·a quando scriveremo i monomi, ordineremo sempre le lettere in ordine alfabetico, ovvero scriveremo

1

2a²bc³ (scrittura corretta) piuttosto che

1

2ba²c³ (scrittura impropria) Somma tra monomi

Di fronte ad un'espressione contenente monomi, come ad esempio questa:

ci ricordiamo che, prima di eettuare le somme, dobbiamo tracciare lo stesso simbolo (potete scegliere quello che più vi aggrada), sotto i monomi simili, come mostra la seguente riga:

4a♣ − 3b

♠ + 2a

♣ + 2b

♠

Poi possiamo eettuare le somme tra i monomi simili e scrivere il risultato, ovvero:

6a − b Sottrazione tra monomi

Di fronte ad un'espressione contenente monomi, come ad esempio questa:

4a − 3b − 2a − 2b

operiamo come abbiamo fatto in precedenza e tracciamo lo stesso simbolo sotto i monomi simili, come mostra la seguente riga:

4a♣ − 3b

♠ − 2a

♣ − 2b

♠

Poi possiamo eettuare le sottrazioni tra i monomi simili e scrivere il risultato, ovvero:

2a − 5b Moltiplicazione tra monomi

Quando ci troviamo a moltiplicare tra loro due monomi, come ad esempio questi:

(+2a²b) · (−3ab²c) dobbiamo prestare attenzione a tre aspetti:

1 - il segno: il segno del risultato è il prodotto dei segni dei due monomi che vengono moltiplicati tra loro;

2 - il coeciente: il coeciente del risultato è il prodotto dei coecienti dei due monomi che vengono moltiplicati tra loro;

3 - la parte letterale: si riscrivono tutte le lettere che compaiono nei monomi che vengono moltiplicati. L'esponente di ogni singola lettera è la somma degli esponenti che compaiono nei singoli monomi.

Applicando tali regole alla moltiplicazione che era presentata in precedenza, possiamo scrivere

(+2a²b) · (−3ab²c) = −6a²⁺¹b¹⁺²c⁰⁺¹= −6a³b³c¹

Divisione tra monomi

Quando ci troviamo a dividere tra loro due monomi, come ad esempio questi:

(+6a⁴b³c²) : (−3ab²c)

dobbiamo prestare attenzione, in analogia a quanto fatto in precedenza, a tre aspetti:

1 - il segno: il segno del risultato è il quoziente dei segni dei due monomi che vengono divisi tra loro;

2 - il coeciente: il coeciente del risultato è il quoziente dei coecienti dei due monomi che vengono divisi tra loro;

3 - la parte letterale: si riscrivono tutte le lettere che compaiono nei mo- nomi che vengono moltiplicati. L'esponente di ogni singola lettera è la dierenza tra l'esponente che la lettera ha nel primo monomio e l'esponente che la lettera ha nel secondo monomio.

Applicando tali regole alla divisione che era presentata in precedenza, pos- siamo scrivere

(+6a⁴b³c²) : (−3ab²c) = −2a⁴⁻¹b³⁻²c²⁻¹ = −6

3a³b¹c¹ = −2a³bc

Impegnandoci a lavorare con il calcolo letterale, ci possiamo presto rendere conto che esistono oggetti matematici che si presentano come la somma di due o più monomi. Essi sono detti polinomi. Un polinomio è, ad esempio 3a^b+ 5abc³− 4abc. Ma come si fanno le operazioni tra polinomi?

Somma e sottrazione tra polinomi

La somma tra polinomi si fa nello steso identico modo utilizzato per i monomi.

Esempio: Immaginiamo di voler sommare tra loro il polinomio 2a − 3b con il polinomio 4a − 6b. Si scrive

(2a − 3b) + (4a − 6b)

poi si procede togliendo le parentesi. La regola è la solita: se la parentesi è preceduta da un segno + i segni dei termini che erano dentro la parentesi rimangono invariati mentre se la parentesi è preceduta da un segno − i segni dei termini che erano dentro la parentesi cambiano, ovvero da positivi diventano negativi e viceversa.

Forti di queste informazioni possiamo scrivere

(2a − 3b) + (4a − 6b) = 2a− 3b+ 4a− 6b= 6a − 9b

Per quanto riguarda la sottrazione, il procedimento è identico:

(2a − 3b) − (4a − 6b) = 2a

♣ − 3b

♠ − 4a

♣ + 6b

♣ = −2a + 3b Moltiplicazione tra un monomio ed un polinomio

Per moltiplicare un monomio con un polinomio, come ad esempio quelli mostrati nella seguente gura è necessario moltiplicare il monomio per ogni termine presente nel polinomo.

Figure 3: Il prodotto di un monomio per un polinomio Quindi il calcolo è il seguente:

+3a · (+2a²− 3b) = (+3a) · (+2a²) + (+3a) · (−3b) = +6a³− 9ab Moltiplicazione tra due polinomi

Per moltiplicare tra loro due polinomi, come ad esempio quelli mostrati nella seguente gura è necessario moltiplicare ogni monomio del primo polinomio per ogni monomio presente nel secondo polinomo.

Figure 4: Il prodotto tra due polinomi Quindi il calcolo è il seguente:

(+3a − 2b) · (+2a²− 3b) =

= (+3a) · (+2a²) + (+3a) · (−3b) + (−2b) · (+2a²) + (−2b) · (−3b) =

= +6a³− 9ab − 4a²b + 6b²

Esercizi Esercizio 1

(a) Dati i seguenti monomi, elencane i coecienti numerici e le parti lette- rali:

6a³b²; 4x³y; 2

5ab²c³d; 3 7x²y

(b) Tra i seguenti monomi individua se vi sono monomi simili tra loro:

7ab³c; 7a³bc³; −1

6ab³c; 5 4a³bc⁴ (c) Determina il grado¹ dei seguenti monomi:

4a³b²; +2

3a²bc³; 7a²b³c

Esercizio 1b

(a) Dati i seguenti monomi, elencane i coecienti numerici e le parti lette- rali:

−2a²b³c; 6x⁶yz²; −1

2ab³c²d; 1 5x³y² (b) Tra i seguenti monomi individua se vi sono monomi simili tra loro:

7ab²c²; 5a³bc⁴; −1

6ab²c²; 5 4a³bc⁴ (c) Determina il grado² dei seguenti monomi:

4a²b⁴c; +2

3a⁵b²c; 6a⁴b²c⁴

Esercizio 2

Svolgi le seguenti operazioni tra monomi semplicando i termini simili:

(a) 2a − 4a − 5a (b) 3x − 6x + 9x

1Si denisce grado di un monomio la somma dei gradi delle singole lettere che vi com- paiono. Ad esempio, il monomio 3a³b²c è di grado 3+2+1=6.

2Si denisce grado di un monomio la somma dei gradi delle singole lettere che vi com-

(c) −2ab + 3ab − 4bc + 9bc

(d) 2a²b − 5b + 3b + 6ac − 4ac + 3a²b (e) −x + (−2ab) + (−4x) + (−6ab) + (−4x) (f) 2ac − (+3ab) − (−4ac) − (−2ab) + (−6ac) (g) ⁵₃a + ²₅b − c +⁷₃a − ⁶₅b + 3c

Esercizio 2b

Svolgi le seguenti operazioni tra monomi semplicando i termini simili:

(a) 2x − 5x + 3x (b) 3a − 6a + a

(c) −2bc + 3bc − 5ab + 4ab

(d) 3a²b − 2b + b + 2ac − 5ac − 3a²b (e) 2x + (+2ab) − (+2x) − (−2ab) − (−x) (f) 3ac + (−5ab) + (−ac) + (−ab) + (−2ac) (g) ¹₃a + ³₅b − c +²₃a − ⁴₅b + c

Esercizio 3

Basandoti sulle indicazioni presenti nella scheda sui Monomi-Polinomi, svolgi le seguenti operazioni tra polinomi:

(a) (2a − 3b) + (3b − 2a) (b) (2a − 3b) − (3b − 2a) (c) (2a − 3b) · (3b − 2a) (d) (2a − 3b)²

Esercizio 3b

Svolgi le seguenti moltiplicazioni tra monomi:

(a) (+2a) · (−3ab²)

(b) (−2a²b) · (4ab²) (c) (−abc²) · (−3a³bc) (d) 

1

2a²b³c

·

4 3ab³c (e) 

− ³₂a⁴b²c



·

−⁸₃a²b³c²



Esercizio R1

Svolgi le seguenti operazioni tra polinomi semplicando il più possibile il risultato ottenuto:

(a) 3a − 11a + 6a

(b) 5ab − 2ab + 3bc − 4bc

(c) 4a²b − 2b + 5b + ac + 3a − 2a²b

(d) 5x + (+ab) + (−3x) − (+6ab) + (+5x) (e) 3ac + (−2ab) + (−2ac) + (−3ab) − (−7ac)

Esercizio R2

Svolgi le seguenti operazioni tra polinomi semplicando il più possibile il risultato ottenuto:

(a) 2a(a + 3b) − 3b(b − 2a) − 12ab (b) 2a²(a − b) − b(3b − 2a²− b) − 2a³ (c) 2a(a − b) − 2b(b − a)

Esercizio R3

Svolgi le seguenti operazioni tra polinomi semplicando il più possibile il risultato ottenuto:

(a) (a + 2)(a − 3) − (a − 3)(a + 2)

(b) (a + 2b)(a − b) − (a + 2b)(b − 3a) − 6ab (c) (3x − 2y)²

(d) (x + 2y)² − (x − 2y)²