Fondamenti della matematica
Lezioni 2 25/26-02-2021
correzione esercizi
17 17
17
22
Esercizio 1 slide 33
𝐴 = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 𝐵 = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 𝑅 = 1; 2 , 2; 4 , 3; 6 , (4; 8)
Digitare l'equazione
qui.12
1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Esercizio 2 slide 33
Y
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 x x x x
1 x x x x x
2 x x x x x
3 x x x x x
4 x x x x
5 x x x x
6 x x x
7 x x x x
8 x x x
9 x x x x
10 x x x x
Esercizio 3 slide 33
Y
x 0 1 2 3 4 5 6 7
0 x x x x x x x x
1 x x x x
2 x x x x x x x x
3 x x x x
4 x x x x x x x x
5 x x x x
6 x x x x x x x x
7 x x x x
y
x 0 1 2 3 4 5 6 7
0
1 x x x x
2
3 x x x x
4
5 x x x x
6
7 x x x x
𝑅1: "𝑥 ∙ 𝑦 è 𝑝𝑎𝑟𝑖 " 𝑅2: "𝑥 ∙ 𝑦 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖"
y
x 0 1 2 3 4 5 6 7
0
1 x x x x x x
2 x x x x x
3 x x x x
4 x x x
5 x x x x x
6 x x x
7
𝑅3: “𝑥 ∙ 𝑦 è 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 60”
Divisori di 60:
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 12
• 15
• 20
• 30
• 60
Esercizio 4 slide 34
Possibili definizioni G1: 𝑥 − 𝑦 = 2;
G2: 𝑥 = 𝑦;
G3: 𝑥 > 𝑦;
G4: 𝑥 ∙ 𝑦 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖
G5: 𝑥 + 𝑦 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖
Esercizio 5 slide 34
𝐷 12 = 1; 2; 3; 4 ; 6; 12
1 2 3 4 6 12
y
x 1 2 3 4 6 12
1 x x x x x x
2 x x x x
3 x x x
4 x x
6 x x
12 x
Esercizio 6 slide 35
y
x a b c d e f
a x
b
c x x
d x
e
f x
b) c è il bisnonno di e
a)
Esercizio 1 slide 37
𝐴 = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 𝐵 = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 𝑅−1 = 2; 1 , 4; 2 , 6; 3 , (8; 4)
𝑦 =
𝑥2
Digitare l'equazione
qui.12
1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
(chiamando con x gli elementi dell’insieme di partenza e con y quelli dell’insieme di arrivo)
Esercizio 2 slide 37
Per ogni relazione l’insieme delle coppie si ottiene scambiando in ogni coppia l’ordine degli elementi. Per quanto riguarda le proposizioni, chiamando
sempre con x gli elementi dell’insieme di partenza e con y quelli dell’insieme di arrivo, si ha:
𝐺1
−1: 𝑦 − 𝑥 = 2;
𝐺2
−1: 𝑥 = 𝑦;
𝐺3
−1: 𝑦 > 𝑥;
𝐺4
−1: 𝑥 ∙ 𝑦 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖
𝐺5
−1: 𝑥 + 𝑦 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖
Esercizio 3, slide 37
Osservando le rappresentazioni matriciali delle tre relazioni si può notare che esse sono simmetriche rispetto alla diagonale. Ciò vuol dire che, scambiando l’ordine nelle coppie si ottiene lo stesso insieme. Per ognuna di esse, quindi, la relazione inversa coincide con la relazione diretta: 𝑅 ≡ 𝑅−1
Esercizio 1 slide 44
La n °1 non è una funzione, perché non tutti gli elementi di A sono in corrispondenza (vedi
rappresentazione)
Tutte le altre non sono funzioni anche perché gli elementi del dominio hanno più di un
corrispondente.
Dell’es. 4 solo la G2 è una funzione, poiché gode di entrambi i requisiti;
essa è inoltre biettiva.
Anche la relazione dell’es.5 non è una funzione.
Esercizio 2 slide 44
La relazione 𝑅: 𝑁 → 𝑁 tale che 𝑛 → 𝑛
2è una funzione iniettiva, perché ogni elemento di 𝑁 ha un corrispondente e uno solo; non è suriettiva perché non tutti gli elementi del secondo insieme hanno un corrispondente.
Per tale ragione l’inversa non è una funzione.
N.B.: l’inversa di una funzione è ancora una funzione se
e solo se la funzione di partenza è biunivoca
Esercizi slide 48
1) a)Riflessiva, simmetrica, transitiva
b) B1) Riflessiva, simmetrica, transitiva
B2) antiriflessiva, antisimmetrica, transitiva B3) riflessiva, antisimmetrica, transitiva
2) a) R1) no riflessiva, né antiriflessiva; simmetrica; no transitiva(
es. (1, 2), (2,3) ma (1,3) non soddisfa la relazione R2) idem come R1 (trovare terna)
R3) idem come R1 (trovare terna) b) Si
Esercizi slide 51
Es.1) sono di equivalenza a) e B1)
Es.2) – Ogni retta è parallela a se stessa per la definizione - Se a è parallela a b, anche b è parallela ad a
- Se a è parallela a b, e b parallela a c, anche a è parallela a c Es.3) Per la relazione di perpendicolarità valgono le proprietà antiriflessiva e simmetrica.
Es. 4: si, la relazione di congruenza è una relazione di equivalenza, sia nel piano che nello spazio
Esercizi slide 57
Es.1) B2) Ordine stretto B3) ordine largo
Es.2) – vale la proprietà riflessiva, perché per ogni A, A ⊆A
- vale la proprietà antisimmetrica perché se A ⊆ B(cioè ogni elemento di A è anche elemento di B) e B ⊆A (cioè ogni elemento di B è anche elemento di A) allora A=B
- Vale la proprietà transitiva A
Es.3)Vale la proprietà riflessiva, perché ogni elemento è multiplo di se stesso. Vale la proprietà antisimmetrica: se a è multiplo di b, e b è multiplo di a, allora a=b. Vale la proprietà transitiva: se a=kb e b=hc allora a=khc
C
Esercizi slide 59
Es.1) La relazione ≤ è una relazione di ordine largo perché a) vale la proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva
b) Comunque presi due numeri naturali x e y è sempre possibile dire confrontarli e stabilire se x ≤y o y ≤x
La stessa cosa si può dire della relazione <, per la quale valgono le proprietà antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva
Es.2)La relazione ⊆ tra insiemi è di ordine parziale, perché, ad esempio, dati due insiemi A e B disgiunti non si può dire ne che
A ⊆ 𝐵 ne che B ⊆A.
Analogamente anche la relazione ‘multiplo’ è di ordine parziale, basta infatti considerare due numeri come, ad esempio 12 e 18, ne 12 è multiplo di 18, ne 18 è multiplo di 12
