3. a · 0 = 0 per ogni a 2 R 4. ( a) = a per ogni a 2 R 5. a · ( 1) = a per ogni a 2 R

1. ESERCIZI sui NUMERI REALI

Provare la seguenti propriet` a utilizzando i soli assiomi algebrici dei numeri reali ed eventualmente le propriet` a che la precedono

1. a + c = b + c ) a = b (legge di cancellazione dell’addizione) 2. unicit` a dell’opposto

3. a · 0 = 0 per ogni a 2 R 4. ( a) = a per ogni a 2 R 5. a · ( 1) = a per ogni a 2 R

6. a · c = b · c, c 6= 0 ) a = b (legge di cancellazione del prodotto) 7. unicit` a del reciproco

8. a · b = 0 , a = 0 oppure b = 0 (legge di annullamento del prodotto) 9. ¹ _a · ¹ _b = _a ¹ _·b per ogni a, b 2 R \ {0}

10. ¹ _a + ¹ _b = ^a+b _{a ·b} per ogni a, b 2 R \ {0}

Determinare l’estremo superiore e inferiore, il massimo e il minimo, se esistono, dei seguenti insiemi.

11. A = {x 2 R | 2 ^2x + 2 ^x  2}

12. B = {|x| | 0  x ² 2x < 3 } 13. C = {x 2 Q | x ² x  p

2(x 1) } 14. D = { _n+1 ⁿ | n 2 N [ {0}}

15. E = { ₅ ¹

| k 2 Z}

. Risolvere gli esercizi 1-4 del libro di testo

Provare di ciascuna delle seguenti a↵ermazioni se `e vera o falsa.

16. Siano A e B sottoinsiemi limitati di R tali che A ✓ B. Allora A. sup A  sup B;

B. inf A  inf B;

C. se A 6= B allora sup A 6= sup B oppure inf A 6= inf B.

17. Sia A ⇢ R tale che inf A = 0 e sup A = 1. Allora A. 1 2 A;

1

B. esiste a 2 A tale che 0 < a < ¹ ₂ ; C. esiste a 2 A tale che a > ¹ ₂ .

18. Se A ⇢ R `e insieme non vuoto e limitato, allora A. A ammette massimo e minimo;

B. se inf A = sup A allora A `e costituito da un unico punto;

C. se inf A 62 A allora A contiene infiniti punti.

Utilizzando il Principio di induzione, provare le seguenti propriet` a.

19. Per ogni n 2 N il numero n ³ n + 6 `e un multiplo di 3.

20. Per ogni n 2 N si ha

X n k=1

k ² = n(n + 1)(2n + 1) 6

. Risolvere gli esercizi 5-8 del libro di testo

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