2 M ISURA DELL ’ IMPEDENZA D ’ INGRESSO DI UN ’ ANTENNA

2

M

ISURA DELL

’

IMPEDENZA D

’

INGRESSO DI UN

’

ANTENNA

Si vuole rendere più agevole l’analisi del progetto presentato all’interno di tale documento, riassumendo alcuni aspetti fondamentali che riguardano la generica misura di un’impedenza.

Si osserva che qualsiasi impedenza è una quantità complessa, quindi per poter ottenere un valore di tale grandezza occorre ricavare la stima della sua parte reale ed immaginaria, o in alternativa del suo modulo e della sua fase (figura 2-1).

Figura 2-1 Rappresentazione di un’impedenza sul piano complesso

In questo capitolo inizialmente si introduce un metodo di trasformazione di bipoli utilizzato per semplificare l’analisi di un circuito composto da una componente resistiva ed una componente reattiva. In seguito sono esposte alcune tra le principali tecniche usate per la misura di un’impedenza. Infine si presenta lo studio della rappresentazione vettoriale dei segnali, indispensabile per ricavare lo schema a blocchi di un sistema di misura di una quantità complessa.

2.1

Trasformazione serie-parallelo e parallelo-serie di bipoli R-C ed

R-L

Si suppone di voler misurare l’impedenza vista ai terminali di un dispositivo, ignorando l’effettivo contenuto dello stesso.

Figura 2-2 Impedenza d’ingresso di un generico dispositivo.

Si ipotizza di effettuare una misura dell’impedenza Z_DUT (figura 2-2) per una singola frequenza.

L’impedenza vista ai terminali del DUT può essere rappresentata attraverso un bipolo formato da un elemento resistivo ideale ed un elemento reattivo ideale in serie o in parallelo.

Figura 2-3 Circuiti equivalenti dell’impedenza d’ingresso del DUT.

Il valore di tali parametri dipende dal circuito equivalente utilizzato, tra quelli di figura 2-3.

L’ elemento reattivo è determinato dalla natura, capacitiva o induttiva, dell’impedenza Z_DUT.

In questo paragrafo si evidenzia il fatto che, per facilitare l’analisi dell’impedenza vista ai terminali di un qualsiasi dispositivo, risulta spesso utile poter rappresentare un bipolo reattivo, composto da elementi (resistenza e reattanza) in serie tra loro, attraverso un circuito equivalente formato da una componente resistiva ed una reattiva in parallelo e viceversa. Ovvero si vuole sottolineare quanto sia importante analizzare un’impedenza attraverso differenti rappresentazioni della stessa.

È importante ricordare che, le formule che consentono di operare una trasformazione di bipoli reattivi, valgono solo per un particolare valore della frequenza di lavoro considerata.

In appendice B è esposta la teoria relativa a tali trasformazioni serie-parallelo e parallelo-serie, con reattanza capacitiva o induttiva.

2.1.1 Analisi delle trasformazioni di bipoli reattivi

Si consideri un circuito composto da una resistenza e da un’induttanza, in parallelo (figura 2-4).

Figura 2-4 bipolo R-L parallelo

Come esposto precedentemente, tale circuito fornisce una semplice rappresentazione dell’impedenza vista ai terminali di un dispositivo, di cui si ignora il contenuto (DUT).

Si vuole evidenziare che, in alcuni casi pratici, risulta opportuno operare una trasformazione parallelo-serie del circuito considerato, al fine di semplificare l’analisi del bipolo reattivo (figura 2-5).

Figura 2-5 Trasformazione parallelo serie di un bipolo R-L.

Si osserva infatti che un’impedenza può essere caratterizzata da un comportamento prevalentemente resistivo (a causa dell’esigua influenza della sua reattanza), oppure reattivo (figura 2-6). Per questo motivo si conclude che una trasformazione, come ad esempio quella rappresentata in figura 2-5, potrebbe essere utile per la valutazione della natura di una generica impedenza.

È opportuno infine evidenziare il fatto che vi sono numerosi esempi per i quali è utile operare uno studio di bipoli reattivi composti da elementi in parallelo tra loro.

Figura 2-6 (a) Fasore relativo ad un’impedenza caratterizzata da un comportamento prevalentemente resistivo. (b) Fasore relativo ad un’impedenza

2.2

Metodi di misura di un’impedenza

esistono diversi metodi per la misura dell’impedenza vista ai terminali di un generico dispositivo. In questo paragrafo si riporta l’analisi di tali metodi e delle loro caratteristiche.

2.2.1 Ponte di Wheatstone

Il ponte di Wheatston (figura 2-7) è un dispositivo elettronico usato per la misura di impedenza.

Figura 2-7 Ponte di Wheatstone

in figura 2-8 si osserva che:

• il null detector (o voltmetro a zero centrale, indicato con D), fornisce il valore della tensione fra i nodi A e B del ponte di Wheatstone;

• si vuole ottenere una misura dell’impedenza incognita indicata con x Z ;

• Z₁, Z₂ e Z sono impedenze di valore noto. ₃

Quando la tensione tra i nodi A e B del dispositivo (figura 2-7) è nulla, ovvero nel caso in cui si ritiene soddisfatta la condizione di equilibrio (oppure di bilanciamento) del ponte di Wheatstone (V&_AB =0), risulta possibile, come esposto nel seguito, operare una misura dell’impedenza incognita.

Nell’ipotesi che la condizione di equilibrio del ponte sia soddisfatta, si dimostra che: 3 2 1 Z_x Z Z Z ⋅ = ⋅ ; 3 1 2 _Z Z Z x Z = .

Risulta possibile infine ottenere una misura d’impedenza, di un generico DUT, in maniera automatica, sfruttando le proprietà del ponte di Wheatston appena esposte, attraverso il dispositivo di figura 2-8.

Figura 2-8 Sistema di bilanciamento automatico del ponte di Wheatstone.

Ovvero:

• inizialmente si ipotizza che la condizione di equilibrio del ponte di Wheatston non sia soddisfatta, quindi il null detector misura una tensione diversa da zero;

• tale tensione, legata all’impedenza del DUT considerato, è utilizzata per pilotare il ponte fino al raggiungimento della condizione di bilanciamento dello stesso;

Si dimostra facilmente che, dalla conoscenza della grandezza misurata dal null detector (figura 2-8), si ricava il valore dell’impedenza incognita.

Il ponte di Wheatston è un circuito elettronico bilanciato, poco adatto per misure a radiofrequenza, in quanto per tali dispositivi [3]:

•non sono prodotti connettori standard;

•non esiste un’impedenza caratteristica standard di riferimento.

2.2.2 Accoppiatore Direzionale

Un accoppiatore direzionale ideale è una giunzione a microonde a quattro bocche tale che, qualunque sia la potenza entrante, essa si ripartisce solo tra due delle tre bocche non alimentate.

Figura 2-9 Rappresentazione grafica di un accoppiatore direzionale.

Nel seguito si mostra come utilizzare l’accoppiatore direzionale per operare una misura d’impedenza.

Si consideri il dispositivo di figura 2-9. Si ipotizza di inviare un segnale nella giunzione attraverso la bocca uno, esso si ripartisce tra le bocche due e tre. Si suppone inoltre di chiudere la bocca due dell’accoppiatore su un carico non adattato (che rappresenta l’impedenza incognita), si osserva quindi che, all’interno della giunzione, è presente un segnale riflesso verso la bocca 4.

Si conclude che:

1. risulta possibile determinare una misura del segnale d’ingresso e di quello riflesso all’interno del dispositivo considerato;

2. si ricava agevolmente il coefficiente di riflessione associato al carico ( x

Γ ); 3. conoscendo il valore di

x

Γ risulta piuttosto semplice ottenere il valore dell’impedenza associata al carico.

Si ricorda infatti che:

0 0 Z x Z Z x Z x ₊ − = Γ .

Nella precedente equazione:

•

x

Z rappresenta l’impedenza di carico considerata;

• Z è l’impedenza caratteristica della giunzione (accoppiatore direzionale). 0

Per valutare la bontà della misura eseguita attraverso l’uso di un accoppiatore direzionale, si opera l’analisi della sua direttività, che è un parametro caratteristico di questi dispositivi.

Tale grandezza rappresenta la capacità dell’accoppiatore di separare i segnali, diretto e riflesso, che attraversano il dispositivo in direzioni opposte.

Indicando con:

•

d

P la porzione della potenza del segnale d’ingresso;

•

i

P la potenza, riflessa dal carico;

si ricava la direttività come segue,

i P d P 10 log 10 .

L’accoppiatore direzionale è generalmente caratterizzato da una scarsa direttività alle basse frequenze, a parità di lunghezza fisica, pertanto, non è adatto per operare misure d’impedenza in un range di frequenze molto ampio.

2.2.3 Ponte direzionale o riflettometrico

Per ottenere una misura d’impedenza accurata, per una gamma di frequenze elevata, si introduce il ponte direzionale (figura 2-10).

Figura 2-10 Ponte direzionale.

Analizzando il dispositivo di figura si osserva che:

1. la sorgente di segnale è collegata ai terminale d’ingresso (IN);

2. la struttura considerata risulta molto simile a quella del ponte di Wheatston precedentemente trattato, si evidenzia quindi che anche il ponte direzionale è caratterizzato da una condizione di equilibrio o di bilanciamento (tensione nulla ai terminali ERR);

3. supponendo di chiudere la linea di trasmissione d’uscita del dispositivo considerato (OUT) su un carico, ipotizzando che la condizione d’equilibrio del dispositivo di figura sia soddisfatta, la potenza del segnale d’ingresso è trasferita completamente al terminale d’uscita;

4. se, a causa del valore associato al carico, la condizione di bilanciamento non è soddisfatta, una parte della potenza in ingresso al ponte riflettometrico è trasmessa sul terminale indicato con ERR;

5. supponendo che sia presente un segnale sull’uscita ERR del dispositivo considerato, questo è legato al valore del carico connesso ai terminali d’uscita del ponte, risulta quindi possibile ottenere la misura di tale impedenza.

Si rimanda al capitolo tre per un’analisi più approfondita del dispositivo analizzato (figura 2-10).

In conclusione, il ponte riflettometrico:

• lavora in un range di frequenze più ampio rispetto all’accoppiatore direzionale;

• utilizza un Balun (balnaced-unbalanced) per poter adattare dispositivi bilanciati a quelli single-ended (in questo modo sono superati i limiti associati al ponte di Wheatston).

Si ricorda che il Balun è un particolare tipo di trasformatore (realizzato attraverso ferriti toroidali), che serve per il collegamento di circuiti bilanciati con circuiti asimmetrici (single-ended).

2.3

Spazi di segnali

Uno spazio vettoriale V, di dimensione D , è un insieme di elementi, detti vettori, che hanno le seguenti proprietà [4]:

• sono definite le operazioni di somma tra vettori (che soddisfa le proprietà commutativa e associativa) e di prodotto per uno scalare;

• ogni vettore, ottenuto come combinazione lineare di elementi di V, appartiene al medesimo spazio vettoriale;

• è possibile individuare, all’interno di V, una base

(

ϕ

0,

ϕ

1,

ϕ

2,...,

ϕ

D−1

)

, ovvero

un insieme di vettori, linearmente indipendenti, che generano l’intero spazio vettoriale.

Ogni segnale a tempo continuo, ad energia finita, può essere rappresentato come un punto, all’interno di uno spazio vettoriale, detto spazio dei segnali [4].

Si ricorda che il prodotto scalare fra due elementi dello spazio dei segnali è l’integrale nel tempo, valutato in un intervallo temporale di durata T, del prodotto dei due segnali.

2.3.1 Rappresentazione di un segnale a tempo continuo in uno spazio vettoriale Si definisce base di sviluppo di uno spazio di segnali (S) di dimensione D, l’insieme

( )

1

0

} { t D−

i

ϕ di funzioni note, linearmente indipendenti ed ortonormali, ovvero tali che:

( ) ( )

   ≠ = =

∫

tdt i_i j_j j t i T 0 1 0

ϕ

ϕ

.

Si osserva che, considerando un segnale x

( )

t ∈S, risulta possibile esprimere quest’ultimo come combinazione lineare degli elementi della base di sviluppo.

( )

( )

t i i x t x D i ϕ

∑

− = = 1 0

I coefficienti x sono dati dalla seguente espressione: _i

( ) ( )

∫

+∞ ∞ − = t dt i t x i x ϕ .

In particolare il vettore dei coefficienti

(

x₀,x₁,....,x_D−1

)

indica le coordinate di un punto all’interno dello spazio dei segnali considerato, quindi la proiezione di x

( )

t in

S.

Si suppone, a titolo di esempio, di considerare un segnale s

( )

t appartenente ad uno spazio vettoriale di dimensione due (s

( )

t ∈S2).

( )

( )

t i i i s t s

∑

ϕ = = 1 0 Si osserva che:

• I coefficienti

(

s₀, s₁

)

rappresentano la proiezione del segnale nello spazio bidimensionale 2

S (figura 2-11);

• {

ϕ

₁

( ) ( )

t ,

ϕ

₂ t} è la base di sviluppo in 2

S ;

Figura 2-11 Proiezione di un segnale all’interno di uno spazio vettoriale bidimensionale.

2.3.2 Spazio vettoriale dei segnali sinusoidali Si consideri un generico segnale sinusoidale,

( )

t = A

(

ω

t+

θ

)

x cos ,

Tutti i segnali di questo tipo possono essere rappresentati come la combinazione lineare degli elementi della base di sviluppo riportata di seguito:

( )

t

( )

ω

t

ϕ

0 =cos ,

ϕ

1

( )

t =sin

( )

ω

t .

Risulta infine semplice ricavare i coefficienti associati al segnale x

( )

t considerato:

( ) ( )

∫

=T xt t dt x 0 1 cos

ω

, =

∫

( ) ( )

T dt t t x x 0 2 sin

ω

.

2.3.3 Misura di impedenza attraverso la rappresentazione vettoriale dei segnali Si suppone di dover operare la misura dell’impedenza ai terminali di un generico DUT, per esempio un bipolo reattivo composto da una resistenza ed un condensatore in serie (R-C). Si ipotizza inoltre che tale bipolo sia attraversato da una corrente i

( )

t (figura 2-12).

Si ricorda che:

( )

=

( )

+

_∫

i

( )

t dt C t Ri t v 1

Supponendo che i

( )

t sia un segnale sinusoidale (i

( )

t =cos( t

ω

)) Si ricava:

( )

( )

( )

t C t R t v ω ω ω 1 sin cos + = .

Nella precedente espressione, v

( )

t è data dalla combinazione lineare delle funzioni di base dello spazio bidimensionale dei segnali sinusoidali.

Si ottiene quindi una stima dell’impedenza, associata al DUT, calcolando le proiezioni di v

( )

t sugli assi dello spazio bidimensionale come segue:

( ) ( )

∫

= T R dt t t Ri 0 cos 2

ω

;

∫

_

∫

( )

_

( )

= T C dt t dt t i C 0 1 sin 1 2

ω

ω

.

Si conclude che, attraverso la trattazione teorica appena esposta, risulta semplice ricavare lo schema a blocchi del dispositivo di misura di figura 2-13.

Si evidenzia il fatto che nell’esempio precedente, i valori della resistenza e della reattanza in serie, associate al DUT, possono essere ottenuti attraverso un dispositivo, equivalente a quello di figura 2-13, che effettua la misura del modulo e della fase del segnale d’ingresso.

È opportuno osservare che non sempre è possibile ricavare il valore di un’impedenza attraverso la semplice misura dei coefficienti associati ad un segnale appartenente ad uno spazio vettoriale bidimensionale.

Spesso infatti, come esposto nei capitoli successivi, risulta utile elaborare le informazioni, relative alla rappresentazione vettoriale di un segnale, per poter ottenere una misura dell’impedenza desiderata.