3. ANALISI STATICA LINEARE DELL’ELEMENTO TUBOLARE IN MATHCAD

3. ANALISI STATICA LINEARE DELL’ELEMENTO TUBOLARE IN

MATHCAD

L’analisi strutturale dell’elemento tubolare in MATHCAD è da intendersi come fase preliminare all’analisi della struttura agli elementi finiti ed ha il triplice scopo di:

1) Aumentare la confidenza manuale con il calcolo tensoriale che sta alla basa al comportamento meccanico di un materiale anisotropo.

2) Incrementare la sensibilità verso gli effetti provocati sul composito dal cambiamento di parametri geometrici e costitutivi.

3) Trovare un mezzo rapido per il calcolo strutturale di prima approssimazione di un elemento tubolare stratificato realizzato in composito.

Analisi strutturale è un termine poco specifico, in realtà si tratta di un’analisi statica lineare di prima approssimazione. E’ lineare in quanto non si è inclusa alcuna non-linearità nel modello né di tipo geometrico (grandi spostamenti) né del materiale (si è ipotizzato un comportamento lineare elastico del materiale fino a rottura) ed è di prima approssimazione perché, per renderla trattabile “manualmente”, è stato necessario effettuare pesanti ipotesi semplificative che necessariamente minano la precisione dei risultati conseguiti.

La completa comprensione dei “files” necessita, oltre alla teoria delle travi e delle piastre, la conoscenza di base del comportamento meccanico di un materiale composito che può essere tradotta in comportamento costitutivo di una lamina, criteri di “failure” e classica teoria della laminazione. Per quello che riguarda le prime due parti, si può considerare sufficiente quanto detto in precedenza, mentre è bene, prima di passare alla spiegazione dettagliata di quanto è stato fatto, fornire una breve introduzione al comportamento macromeccanico del laminato.

3.1 Classica teoria del laminato

Un laminato si presenta come uno stratificato di lamine e, a causa di questa sua particolare costruzione, necessita di una specifica teoria che leghi tensioni e deformazioni, carichi e spostamenti. Cioè applicatogli un carico o uno spostamento, tramite questa teoria, si dovrà poter conoscere l’andamento delle tensioni e deformazioni al suo interno. Chiaramente questi andamenti dovranno essere il più aderenti possibile al vero, ma allo stesso tempo la matematica che li descrive dovrà conservare una relativa semplicità per facilitarne l’uso.

Geometricamente il laminato è completamente descritto da tre variabili: il numero di lamine n, lo spessore delle lamine h_k e l’angolo di orientazione delle lamine θ_k, dove k rappresenta l’indice di lamina e va da 1 a n. Solitamente è un oggetto bidimensionale (lastra, piastra o guscio) in cui si può definire un sistema di riferimento sul piano medio nello spessore H, con assi x, y nel piano e z

uscente dal piano. Nello spessore le lamine vengono numerate partendo dall’alto verso il basso e le quote delle lamine vanno nella stessa direzione da zl₁ a zl_n+1 (Fig.3.1).

(Fig.3.1)

Ogni lamina può avere uno spessore differente che viene definito secondo la (3.1), conseguentemente lo spessore complessivo del laminato H può essere definito secondo la (3.2).

k h 1 + − = k k k zl zl h (3.1)

∑

= = n k k h H 1 (3.2)

La teoria classica del laminato basa le sue fondamenta sul comportamento costitutivo della generica lamina off-axis descritto dall’equazione (2.23) e su tutta una serie di assunzioni che ora si andranno a descrivere.

Si ipotizza che le lamine siano perfettamente unite tra loro e che i legami siano infinitesimamente fini e non deformabili a taglio, cioè non si ammette che le lamine si stacchino o scorrano tra loro. Anche una lamina senza proprietà strutturali, come l’ “honeycomb”, mantiene comunque la congruenza.

Si ipotizza che lo spessore del laminato H sia sempre molto inferiore alle altre dimensioni caratteristiche della struttura, ossia che possa essere visto sempre come un oggetto bidimensionale.

Si assume valido lo stato piano di tensione τ_XZ =0, τ_YZ =0 e σ_Z =0.

Assunte valide le prime due premesse è possibile introdurre l’ipotesi di Kirchhoff-Love, secondo la quale una linea originariamente dritta e perpendicolare alla superficie media del laminato si conserva dritta e perpendicolare al piano medio anche dopo che il laminato ha subito una deformazione. Considerare questo enunciato valido equivale a trascurare le deformazioni di taglio nei piani ortogonali alla superficie media γ_XZ=γ_YZ=0. Si presti attenzione al fatto che trascurare le deformazioni di taglio non equivale a non considerare nemmeno le tensioni di taglio. In più, presupporre che le normali mantengano inalterata la loro lunghezza significa trascurare

anche le deformazioni perpendicolari alla superficie media ε_Z=0. Tutte queste assunzioni implicano che le deformazioni totali

[ ]

ε abbiano un andamento lineare nello spessore senza discontinuità tra lamina e lamina. In definitiva questa ipotesi permette di conoscere lo stato di deformazione di ogni punto del laminato una volta che siano noti il tensore di deformazione membranale del piano medio

[ ]

ε0 (3.3) e il tensore di curvatura

[ ]

k (3.4).

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = _{0 0} 0 0 0 yy xy xy xx ε ε ε ε ε (3.3) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = yy xy xy xx k k k k k (3.4)

L’ipotesi di Kirchhoff-Love, che rappresenta la congruenza, può essere riassunta nella seguente espressione: ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ + ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ xy yy xx xy yy xx xy yy xx k k k z 0 0 0 ε ε ε ε ε ε (3.5)

L’ipotesi, fatta in partenza, di comportamento lineare elastico fino a rottura del materiale composito implica assumere che le deformazioni si mantengano piccole. Cioè, esprimendo le deformazioni membranali del piano medio e le curvature in funzione degli spostamenti in direzione dei tre assi x, y e z, rispettivamente u, v e w, si può scrivere:

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ x v y u y v x u xy yy xx 0 0 0 0 0 0 0 2 1 ε ε ε (3.6) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ y x w y w x w k k k xy yy xx 0 2 2 0 2 2 0 2 2 (3.7)

Le forze

{

e i momenti

{

risultanti per unità di lunghezza (larghezza) agenti sul laminato si possono ottenere integrando le tensioni in ogni lamina attraverso lo spessore del laminato stesso, cioè:

}

N M

}

∑∫

∫

− ₌ + ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ n k zl zl k xy yy x H H k xy yy x xy yy x dz dz N N N k k 1 2 / 2 / ₁ σ σ σ σ σ σ (3.8)

∑∫

∫

− ₌ + _⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ n k zl zl k xy yy x H H k xy yy x xy yy x dz z dz z M M M k k 1 2 / 2 / ₁ σ σ σ σ σ σ (3.9)

Sostituendo, nel terzo membro sia della (3.8 e 3.9), alle tensioni della k-esima lamina l’equazione costitutiva della lamina off-axis (2.23) si ottiene:

[ ]

[ ]

T m xy yy xx xy yy xx xy yy x N N k k k B A N N N − − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 0 0 0 ε ε ε (3.10)

[ ]

[ ]

T m xy yy xx xy yy xx xy yy x M M k k k D B M M M − − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 0 0 0 ε ε ε (3.11)

Dove e rappresentano rispettivamente il carico termico e igroscopico equivalenti. Rappresentano il carico che si deve applicare al laminato per avere gli stessi effetti deformativi termici o igroscopici dati dalla differenza di temperatura

T

N N_m

( )

z T

Δ o di umidità nello spessore. Sono così definiti:

( )

z m Δ

[ ]

Q T

( )

zdz N k k zl zl n k xy yy xx k T

∑

∫

+ Δ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =₁ 1 α α α (3.12)

[ ]

Q m

( )

zdz N k k zl zl n k xy yy xx k m

∑

∫

+ Δ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =₁ 1 β β β (3.13) T

M e rappresentano rispettivamente il momento termico e igroscopico equivalenti, ossia il

momento che si deve applicare al laminato per avere gli stessi effetti deformativi termici o m

igroscopici. dati dalla differenza di temperatura ΔT

( )

z o di umidità Δm

( )

z nello spessore. Sono così definiti:

[ ]

Q T

( )

z zdz M k k zl zl n k xy yy xx k T

∑

∫

+ Δ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =₁ 1 α α α (3.14)

[ ]

Q m

( )

z zdz M k k zl zl n k xy yy xx k m

∑

∫

+ Δ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =₁ 1 β β β (3.15)

Infine , e

[

rappresentano rispettivamente la matrice di rigidezza estensionale o membranale, la matrice di accoppiamento e la matrice di rigidezza flessionale. Tali matrici hanno normalmente dimensione 6x6, ma diventano 3x3 qualora si assuma valida l’ipotesi di “plane stress”. Le matrici

[

,

[

e

[

hanno la seguente forma matematica:

[ ]

A

[ ]

B D

]

]

A B

]

D

]

[ ]

(

)

_∑

[ ]

∑

= = + = − = n k k k n k k k k ij Q zl zl Q h A 1 1 1 (3.16)

[ ]

(

)

_∑

[ ]

∑

= = + = − = n k k mk k n k k k k ij Q zl zl Q z h B 1 1 2 1 2 2 1 (3.17)

[ ]

(

)

_∑

[ ]

∑

= = + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = − = n k k mk k k n k k k k ij z h h Q zl zl Q D 1 2 2 1 3 1 3 12 3 1 (3.18) Dove

(

1 2 1 + + = _{k k} mk zl zl z

)

(3.19)

Volendo scrivere le equazioni (3.10 e 3.11) come un’unica equazione per vedere riassunto in un'unica espressione il comportamento meccanico di un laminato, si ottiene la (3.20).

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ m m T T M N M N D B B A M N κ ε (3.20) Dove

[ ]

Ω = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ D B B A (3.21)

[ ]

Ω rappresenta la matrice di rigidezza del laminato, ha una struttura simmetrica, ma non è simmetrica.

3.2 Analisi statica lineare dell’elemento tubolare di prima approssimazione

I “files” MATHCAD per l’analisi a resistenza di elementi tubolari traviformi di geometria cilindrica o conica, incastrati ad un’estremità e caricati all’altra o con carico traverso o con momento flettente, stratificati e realizzati in composito sono strutturati nel seguente modo. I programmi sono completamente parametrici, ma si sono fissate delle dimensioni di riferimento (Fig.3.2 e Fig.3.3).

(Fig.3.2) (Fig.3.3)

Si comincia sempre con il comando ORIGIN=1 con il quale si fa partire le numerazioni da 1

anziché da 0.

• Proprietà del materiale

Si definiscono le proprietà del materiale utilizzato (fibre di vetro o di carbonio in resina epossidica) specificando i parametri che caratterizzano la rigidezza della lamina (il modulo di Young in direzione fibre , il modulo di Young in direzione traversa alle fibre , il modulo di taglio e il modulo di Poisson major

11 E 22

E G₁₂ ν₁₂), quelli che ne

e XC, la resistenza a trazione e a compressione in direzione traversa alle fibre YT e YC e

la resistenza a taglio nel piano Sh), i parametri che determinano il comportamento

termico (i coefficienti di dilatazione termica in direzione fibre α₁₁ e in direzione traversa alle fibre α₂₂) e la densità ρ.

• Geometria della lamina

Si continua indicando i cosiddetti dati o parametri geometrici della lamina che sono il suo spessore h, il numero di lamine n e l’angolo di orientazione della lamina rispetto

all’asse del tubo θ. Si definisce l’indice di lamina k che varia da 1 a n e si impone che

tutte le lamine abbiano il medesimo spessore. Come ultima operazione di questa sottosezione si descrive la “stacking sequence”, fissando la legge di variazione di θ con il numero che identifica la posizione del “layer” all’interno del laminato.

• Geometria dell’albero

La sottosezione successiva è incentrata sulla geometria dell’albero. Per prima cosa se ne calcola lo spessore H come sommatoria degli spessori delle singole lamine. Poi,

per l’albero con geometria cilindrica si inseriscono la lunghezza L e il diametro esterno De, per quello con geometria conica oltre alla lunghezza L è necessario immettere il

diametro esterno di base Deb e di testa Det. Da questi si ricavano i rispettivi diametri

interni Di, Dib e Dit e raggi medi Rm. E’ importante notare che mentre i parametri

riferiti alla geometria cilindrica sono costanti, quelli riferiti alla geometria conica sono funzione di una generica coordinata curvilinea definita dall’incastro lungo l’asse dell’albero ξ. Prendendo poi come riferimento il sistema tipico della trave (Fig.3.4) con

z parallelo all’asse del palo e x e y giacenti nel piano della sezione ad esso ortogonale, si calcolano l’area della sezione Ar, il volume del solido V, la massa M, e i tre momenti di

inerzia della sezione circolare Jx, Jy e Jz.

(Fig.3.4) (Fig.3.5)

• Matrice di rigidezza del laminato

Prima di procedere nell’analisi, è necessario creare la matrice di rigidezza del laminato . Percorrendo un sentiero simile a quello seguito nel paragrafo precedente, si comincia col definire il sistema di riferimento del laminato (Fig.3.5) con asse x

parallelo all’asse dell’albero, asse z con direzione radiale e y ortogonale ai primi due. Si inseriscono le coordinate di testa e di fondo del laminato pari a + o – metà dello spessore del laminato H e la coordinata media della k-esima lamina (3.19). Si definisce la matrice di “compliance” della lamina

[ ]

Ω 1 zl zl_k+1 mk z

[ ]

S (2.9), si ricava la matrice di

“stiffness” della lamina

[ ]

Q (2.10) invertendo

[ ]

S , si introduce la matrice di

cambiamento di coordinate

[ ]

T (2.12) e tramite questa si ottiene la matrice di rigidezza

della generica lamina off-axis

[ ]

Q . Con quanto finora definito e tramite le (3.16, 3.17 e 3.18) è possibile calcolare la matrice di rigidezza estensionale del laminato

[ ]

A , la

matrice di accoppiamento

[ ]

B e la matrice di rigidezza flessionale

[

. Andando a visualizzare le tre matrici, contrariamente a quanto aspettatosi, le si trova piene, prive cioè di termini nulli. Prestando un minimo di attenzione, ci si rende conto che i termini che dovrebbero essere uguali a 0 sono più piccoli di diversi ordini di grandezza rispetto agli altri. E’ logico dedurre il bisogno di ricorrere a dei filtri per eliminare i termini indesiderati. I filtri sono stati realizzati tramite il comando di condizione logica “if” e sono stati così pensati: se il generico termine i, j della matrice interessata è inferiore alla rispettiva grandezza di riferimento (3.22, 3.23 e 3.24) allora viene posto uguale a 0, se invece risulta essere maggiore allora lo lascia invariato.

]

D H E Arifi,j = 22⋅ (3.22) 2 22 , H h E Brifij = ⋅ ⋅ (3.23) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ ⋅ = 2 2 22 , 2 12 H h h E Drif_ij (3.24)

Una volta depurate è possibile assemblare, tramite i comandi “augment” (a destra e

a sinistra) e “stack” (sopra e sotto), le matrici

[ ]

A ,

[ ]

B e

[ ]

D per formare . In questa fase è già stata fatta una prima grande approssimazione. Si noti, infatti, che la matrice di

rigidezza del laminato è stata costruita come se questo fosse piano, una piastra e non un guscio cilindrico o conico.

• Verifica a resistenza

Segue la verifica a resistenza, che viene effettuata adoperando il modello di trave e il sistema di riferimento ad esso collegato. È quindi necessario ricavare da

[ ]

Ω dei moduli di rigidezza assiale e a taglio equivalenti. Li si ottiene rispettivamente dividendo e per H (3.25 e 3.26). e E G_e 1 , 1 Ω Ω3,3 H Ee 1 , 1 Ω = (3.25) H G_e = Ω3,3 (3.26)

Per quanto riguarda i carichi, si è considerato o un carico orizzontale con direzione y e verso negativo P o un momento positivo intorno a x M. Entrambi i carichi danno

luogo a un momento flettente , il primo variabile con ξ (3.27) e il secondo costante con ξ (3.28), che provoca uno stato di trazione nella parte con y positive e uno di compressione nella parte con y negative. Il carico orizzontale provoca anche taglio (3.29) che è sempre negativo, avendo il carico verso negativo sulla parte positiva della trave. x M y T

(

L P Mx(ξ)= ⋅ ξ−

)

(3.27) M M_x = (3.28) P Ty = (3.29) Riferendosi alla generica sezione (Fig.3.4), si sono verificati i seguenti punti: per il

carico orizzontale, il punto a con massima trazione e taglio nullo, il punto b con

massima compressione e taglio nullo e il punto c con massimo taglio e momento

(Fig.3.6)

Si è individuata la posizione dei punti critici nella sezione ma non lungo l’asse. Si prenda prima in esame le combinazioni di carico e di geometria per i punti a e b. La

coordinata z dei punti critici per la resistenza cambia da caso a caso. Per carico orizzontale e geometria cilindrica la sezione critica è sicuramente quella all’incastro perché la sezione è costante e il momento flettente è massimo alla base. Per carico orizzontale e geometria conica non si può dire a priori quale sia la coordinata assiale critica, in quanto dalla punta alla base aumenta il braccio del momento, ma aumenta anche il diametro della sezione resistente e conseguentemente il suo momento di inerzia. Per momento flettente e geometria cilindrica è indifferente verificare un altezza anziché un’altra in quanto sia il momento flettente che il diametro della sezione rimangono invariati con z. Infine per momento flettente e geometria conica la sezione critica è quella di testa, perché il momento flettente è costante lungo z, ma in punta il diametro e quindi il momento di inerzia intorno a x risultano minimi. Invece, per quanto riguarda il punto c, la sezione critica, per geometria conica, è la sezione di testa avendo l’area inferiore ed essendo il taglio costante con z, per geometria cilindrica, è invece indifferente verificare una o l’altra sezione perché sia il taglio che l’area sono costanti con z.

Prima di procedere è necessario fare qualche precisazione su quanto fatto. Nel caso di carico traverso, il fatto di verificare solo i tre punti indicati implica l’assunzione di un’altra approssimazione: si esclude cioè che combinazioni di taglio e momento flettente inferiori ai valori massimi possano essere più critici dei massimi delle singole caratteristiche di sollecitazione. Un’osservazione dovuta è che se il materiale ha caratteristiche di resistenza uguali in trazione e compressione basta verificare solo uno dei due punti a e b, perché chiaramente il risultato ottenuto sarà il medesimo. Poi la

verifica a taglio nel punto c è stata fatta per rendere il programma utilizzabile anche con altre geometrie (ad esempio travi corte e tozze); nel caso in esame, infatti, in cui la lunghezza è un ordine di grandezza superiore al diametro, il taglio è sempre trascurabile rispetto al momento flettente.

Tornando alla verifica di resistenza dopo aver inserito i moduli di rigidezza equivalenti, il carico e il momento flettente da esso provocato, si vuole definire una variabile discreta attraverso lo spessore , distinta da , in modo da poter tracciare gli andamenti di tensioni e deformazioni all’interno del laminato. Per far ciò si prende un numero abbastanza elevato di punti npt, si impone un indice ip che varia da 1 a

npt+1 e si ridefinisce un nuovo spessore HH leggermente inferiore ad H, in modo tale

che i punti che scandiscono lo spessore siano sempre all’interno di una lamina e evitare quindi di specificare se appartengono ad una o all’altra. Ora si può creare la variabile (3.30) e anche una variabile che serve ad indicare il numero della lamina corrispondente ad una certa (3.31).

ip z zl_k ip z lip ip z npt ip HH HH z_ip 1 2 − ⋅ + − = (3.30) 1 2 ₊ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = h z H floor l ip ip (3.31)

Il comando “floor” serve per eliminare la parte decimale di un numero, prendendo

solo quella intera.

Prima di passare alle tensioni e le deformazione provocate dal carico si calcolano quelle elastiche date dalla differenza di temperatura ΔT tra la temperatura di polimerizzazione e la temperatura di lavoro che, in questo caso, coincide con la temperatura ambiente . Si comincia inserendo i valori di e di e calcolando . Si effettua la trasformazione del vettore dei coefficienti di dilatazione termica dal sistema di riferimento del materiale a quello della struttura premoltiplicandolo per l’inverso della matrice di cambiamento di coordinate

P T A T T_P T_A T Δ

[ ]

T (3.32).

( )

[

]

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − 0 22 11 1 _α α θ α α α k k xy yy xx T (3.32)

[ ]

(

T T xy yy xx xy yy xx M N stack k k k , 1 0 0 0 ⋅ Ω = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ε ε ε

)

( 3.33)

Si calcola poi il carico e il momento termici equivalenti secondo le (3.12 e 3.14). Anche in questo caso si ricorre ad un filtro per eliminare i termini ritenuti troppo piccoli. Per ottenere le deformazioni membranali e le curvature del piano medio si premoltiplica per l’inverso di

[ ]

Ω il vettore formato dall’unione del carico e momento termici equivalenti e (3.33). Si nota che, se il laminato è simmetrico, si hanno solo deformazioni membranali e quelle flessionali sono nulle. Questa accortezza è fondamentale qualora si voglia evitare spiacevoli incurvamenti del laminato all’uscita dell’autoclave. Dalle deformazioni membranali e dalle curvature del piano medio si ricavano le deformazioni totali dovute a e per il punto ip-esimo mediante la (3.5). Si calcolano le deformazioni termiche come funzione di ip (3.34).

T N M_T T N M_T

( )

[ ]

T T t t t ip l ip xy yy xx Δ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − 0 22 11 1 α α θ ε ε ε (3.34)

A questo punto è possibile ricavare le deformazioni elastiche sottraendo le deformazioni termiche a quelle totali. Con una formula analoga alla (2.18) si ricavano poi le tensioni del punto ip-esimo nello spessore dalle corrispettive deformazioni elastiche. Infine si graficizza l’andamento delle tensioni e delle tensioni elastiche date dalla differenza di temperatura in funzione di z_ip.

Terminata la sottosezione dedicata alle componenti termiche, si vuole trovare e “plottare” le componenti deformative e tensionali dovute ai carichi applicati prima descritti nei punti a, b e c o solo a e b, a seconda del caso in esame.

La procedura seguita per calcolare le tensioni elastiche nei due punti a, b (momento flettente massimo e taglio nullo) per le due geometrie e tipologie di carico è questa. Per prima cosa, utilizzando il sistema di riferimento e il modello di trave, si calcola la tensione esistente nei punti indicati. Nei i punti a e b si avrà una σ_zz (3.35) calcolabile

attraverso la formula di Navier e dipendente da y (raggio) e anche da ξ se il momento flettente Mx dipende dalla stessa coordinata (solo per il caso del carico)

( )

( )

_{( )}

ξ ξ ξ σ x x zz J y M y, = ⋅ (3.35)

Volendo riportare la tensione ricavata con (2.35) nel laminato, la si moltiplica per lo spessore H per ottenere la forza risultante lungo x nel sistema di riferimento del laminato (3.36). Tale operazione, oltre all’approssimazione dovuta all’utilizzo di un modello unidimensionale per il calcolo della tensione, implica anche l’assunzione che la forza risultante sia costante nello spessore, quando in realtà varierebbe linearmente in esso. La prima ipotesi è però giustificata dal fatto che la lunghezza degli elementi tubolari è superiore di un ordine di grandezza rispetto al raggio, la seconda dal fatto che lo spessore è un ordine di grandezza inferiore rispetto al raggio.

xx

N

( )

y

( )

y H

N_xx ,ξ =σ_zz ,ξ ⋅ (3.36) Si fissa le due variabili y e ξ a seconda della geometria e del carico applicato secondo quanto è stato detto prima e si formano i due vettori del carico

{

e momento

risultanti ponendo pari al valore trovato con la (3.36) e tutti gli altri termini uguali a 0. Con un’operazione del tutto simile alla (3.33) si calcolano le deformazioni membranali e le curvature del piano medio premoltiplicando per l’inverso di

}

N

{ }

M N_xx

[ ]

Ω l’unione dei due vettori

{ }

N e

{ }

M . Facendo ricorso alla (3.5) si trovano le

deformazione ip-esime attraverso lo spessore del laminato e da queste le corrispettive tensioni adoperando la (3.18). Infine si “plottano” gli andamenti di tensioni e deformazioni ip-esime in funzione di z_ip.

La procedura utilizzata per ottenere le tensioni e le deformazioni nel punto c (massimo taglio e momento flettente nullo) è quasi identica alla precedente, differisce da questa solo nella fase iniziale. La tensione di taglio σ _yz

viene calcolata, facendo uso del modello e del sistema di riferimento della trave, mediante la formula di Jouravki (3.37).

(

)

_{( )}

( )

b J Ss T x y yz ⋅ ⋅ = ξ ψ ξ ψ σ , (3.37)

Dove

(

)

_∫

_{( )}( )

_∫

− ⋅ = 2 2 2 cos , ξ ξ ψ ψ ψ ψ ξ ψ e i D D r dr d Ss (3.38) H b=2 (3.39) (Fig.3.5)

(

ψ,ξ

)

Ss rappresenta il momento statico della sezione staccata che è funzione di ψ

e di ξ . È pari a 0 per ψ =0 ed è massimo per ψ =π/2 (corrisponde a c). invece rappresenta la lunghezza di contatto della sezione staccata e rimane invariata, essendo costante lo spessore H e avendo utilizzato un sistema di riferimento locale cilindrico. A questo punto, in maniera analoga a prima, si vuole trasformare la tensione di taglio calcolata col modello monodimensionale (3.37) nella rispettiva componente della forza risultante del laminato e lo si fa moltiplicandola per H.

b

(

)

(

)

H

Nxy ψ,ξ =σyz ψ,ξ ⋅ (3.37) In questo caso l’approssimazione è legata solo all’uso del modello di trave perché è costante con x. Da questo punto in poi si procede in maniera analoga a quanto spiegato precedentemente per i punti a e b, con l’unica accortezza di inserire nella sua giusta collocazione.

y

T

xy

N

Dopo aver calcolato le deformazioni e le tensioni elastiche dovute alla differenza di temperatura e al carico applicato per i tre (o due) punti scelti, le si somma per ottenere deformazioni e tensioni totali.

Per vedere se i carichi applicati hanno provocato qualche frattura all’interno del laminato si calcola, sempre nei tre punti scelti, il coefficiente di “failure” di Tsai-Hill definito nella (2.28). Si ricordi che se si mantiene inferiore a 1 non si ha alcuna rottura.

Invece per avere un’idea di quanto si possa aumentare il carico prima di arrivare alla frattura di una lamina, si definisce un coefficiente di sicurezza pari all’inverso della radice quadrata dell’indice di Tsai-Hill. Anche in questo caso il calcolo viene effettuato in tutti e tre i punti.

Come ultima sottosezione del “file” si è presa in considerazione la verifica a rigidezza dei pali, cioè si vuole trovare la freccia e la rotazione dell’estremità libera.

La freccia totale δTOT viene calcolata, sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti (essendo l’analisi lineare), come somma della freccia provocata solo dal momento flettente δ_F e solo dal taglio δ_T (3.38). I singoli contributi vengono determinati con il metodo dell’integrale di Mohr. Inizialmente si definisce un carico esploratore unitario P1 con direzione e verso del carico applicato. Le caratteristiche di sollecitazione prodotte da questo carico esploratore unitario sono taglio (3.39) e momento flettente (3.40). y T1 x M1 T F TOT δ δ δ = + (3.38) 1 1y =− T (3.39)

(

L P M1_x = 1⋅ ξ −

)

(3.40) Si può ora calcolare δ_F (3.41) e δ_T (3.42).

( )

( )

( )

ξ ξ ξ ξ δ d J E M M L x e x x F _⋅ ⋅ ⋅ =

_∫

0 1 (3.41)

( )

( )

ξ ξ χ ξ δ d Ar G T T L e y y F ⋅ ⋅ ⋅ =

∫

0 1 (3.42)

Dove χ

( )

ξ è il coefficiente di rigidezza a taglio che dipende solo dalla forma della sezione ed è un numero puro (3.43).

( )

( )

( )

(

)

(

(

)

)

( ) ( )

∫

⋅ ⋅

∫

⋅ ⋅ = 2 2 2 0 2 2 2 , 1 ξ ξ π ψ ξ ψ ξ ξ ξ χ e i D D x d Ss dr r J Ar b (3.43)

Per la sezione circolare, χ

( )

ξ è uguale a 2 per ogni valore di ξ. Si noti che il contributo del taglio potrebbe nel caso in esame anche essere trascurato dato che rappresenta solitamente circa l’1% del contributo flessionale.

Per trovare la freccia dell’estremità libera φ_F si considera solo il contributo flessionale. Si definisce un momento intorno a x esploratore unitario con stesso verso del momento applicato. Esso produce, come caratteristica di sollecitazione, solo il momento flettente (3.44). Il risultato espresso in radianti si trova sempre facendo ricorso all’integrale di Mohr (3.45).

x

1 2x = M (3.44)

( )

( )

ξ ξ ξ φ d J E M M L x e x x F _⋅ ⋅ ⋅ =

_∫

0 2 (3.45)