Analisi a priori Analisi a priori

LA DERIVABILIT

LA DERIVABILIT Á Á

Specializzandi:

Ing. Calogero Ciancimino Dott. Egle Galvano

Ing. Rosanna Masi Ing. Leonardo Pirrello Dott. Linda C. Zicari Docente:

Prof. Filippo Spagnolo

Laboratorio di Analisi Matematica

SISSIS SISSIS

UNIVERSITÁ DI PALERMO

Analisi a priori Analisi a priori

Data una situazione/problema si definisce analisi a priori l’insieme di:

z

Rappresentazioni storico- epistemologiche

z

Comportamenti ipotizzati

TEST TEST

Data la funzione y=sin|x-1|

z

La funzione è continua?

z

La funzione è derivabile nel punto x=1?

Motivare le risposte

Analisi a priori

Analisi a priori

Analisi delle possibili risposte Analisi delle possibili risposte

errate dello studente errate dello studente

z Lo studente traccia il grafico per punti e li unisce come se in x=1 ci fosse un minimo e risponde che la funzione è continua e

derivabile in x=1 , dando come motivazione il grafico stesso.

z Lo studente traccia il grafico della

funzione qualitativamente (mediante il

classico studio di funzione), ed essendo la funzione continua in x=1 ne deduce che è anche derivabile.

z Lo studente studia la funzione sin(x-1) non ponendosi il problema del valore assoluto, quindi deduce correttamente la continuità e la derivabilità della funzione in quel punto.

z Lo studente studia la funzione eliminando il valore assoluto nella derivata e deduce la continuità e la derivabilità.

z Lo studente calcola la derivata utilizzando le regole di derivazione di funzioni

composte, non accorgendosi che essa non è definita per x=1, quindi conclude che è

continua e derivabile.

z Lo studente scinde il problema in due

parti, considerando separatamente i casi x-1<0 e x-1>0, e studia così due funzioni entrambe continue e derivabili in x=1.

z Lo studente verifica la continuità. Per

quanto riguarda la derivabilità, dal calcolo del limite del rapporto incrementale ottiene una forma indeterminata del tipo 0/0,

conclude che la derivata non esiste.

z Lo studente sostituisce x=1

nell’espressione della funzione deducendo che la funzione y=0 è continua e derivabile

z Poiché la derivata non è definita in x=1, lo studente deduce che non è derivabile pur essendo continua. Ottiene, dunque,la

soluzione corretta pur avendo utilizzato un procedimento errato.

z Lo studente traccia il grafico ed individua nel punto x=1 un punto di minimo, allora deduce che la derivata, in quel punto, è zero. La

funziona risulta, quindi, continua e derivabile.

z Lo studente, tracciato il grafico, tenta di tracciare la tangente in x=1, osservando la simmetria rispetto all’asse y=1, e interpreta tale retta come unica tangente. La funzione è, quindi, a suo parere, continua e derivabile.

Possibili ragionamenti corretti Possibili ragionamenti corretti

dello studente dello studente

z Lo studente traccia il grafico correttamente per punti e deduce la continuità.

Osservando l’esistenza di due tangenti, nel punto in questione, ne deduce la non

derivabilità.

z Dopo lo studio analitico della funzione, lo studente traccia il grafico ed osservando l’esistenza di due tangenti, nel punto in questione, ne deduce la non derivabilità.

z Dopo aver osservato che la derivata non è definita in x=1, lo studente ne calcola il limite destro e sinistro ottenendo due risultati diversi, e deduce la non

derivabilità.

z Lo studente tenta di calcolare il limite del rapporto incrementale e osserva che questo limite non esiste.

Analisi dei comportamenti Analisi dei comportamenti

L’esercizio è stato somministrato ad un campione di otto persone, scelte fra gli

studenti degli ultimi anni di alcune facoltà tecnico-scientifiche (Architettura, Agraria, Biologia), e sono stati riscontrati i seguenti comportamenti:

z Nessuno degli otto studenti è stato in grado di risolvere correttamente l’esercizio.

z Due studenti hanno calcolato la derivata della funzione, applicando la regola di derivazione della funzione composta, e hanno concluso che la funzione è

derivabile.

z I rimanenti sei studenti sono rimasti

bloccati davanti all’esercizio. A questi è stata ricordata la definizione di derivabilità ed, in particolare, ci si è soffermati sul

fatto che una funzione è derivabile se esiste finito il limite del rapporto

incrementale

z Due studenti hanno osservato che il limite del rapporto incrementale non esiste,

avendo ottenuto una forma indeterminata

“0/0”.

z Un altro ragazzo ha cercato di risolvere il limite del rapporto incrementale

applicando il teorema di “De L’Hôpital”, ma non è stato in grado di osservare che il limite destro e il limite sinistro sono

diversi; di conseguenza non ha osservato la non derivabilità della funzione.

z Altri tre studenti non sono stati in grado di particolarizzare la definizione di rapporto incrementale alla funzione proposta

dall’esercizio.

Osserviamo, infine, che nessuno degli studenti ha utilizzato approcci di tipo grafico o geometrico al problema.

Situazione a

Situazione a - - didattica didattica

La nostra situazione a-didattica consiste nel fare eseguire agli studenti il

Kicking game al fine di introdurre agli allievi il concetto di non

derivabilità, distinguendolo da

quello di continuità.

Kicking

Kicking game game

Materiale occorrente

z Pallone da calcio;

z Gessetti colorati;

z Fettuccia metrica.

Luogo di svolgimento del gioco

z Pendio

Svolgimento del gioco

Svolgimento del gioco

Formalizzazione matematica Formalizzazione matematica

Su un grafico spazio Vs. tempo, riportiamo la curva

rappresentativa del moto della palla che sarà del tipo:

Il punto A è rappresentativo della posizione iniziale cioè quando l’insegnante lascia cadere la palla dal

punto più alto del pendio, la curva che rappresenta tale fase discendente è ovviamente un tratto di parabola, essendo tale moto uniformemente accelerato. Nel punto B invece si trova l’alunno che colpisce il

pallone imprimendogli una certa velocità iniziale v, nell’esempio di figura si sono schematizzati due tra i vari casi possibili. Come si può vedere il punto più

alto raggiunto è C o C’ a seconda dei casi. Il punto B è il punto su cui focalizzare l’attenzione facendo notare agli alunni che anche se la funzione è continua non è derivabile in tale punto in quanto la derivata sinistra è diversa da quella destra. Se poi facciamo notare che la tangente alla curva rappresenta la velocità li si può far riflettere sul fatto che se l’impatto tra palla e piede è istantaneo non esiste un valore unico di velocità

nell’istante del contatto.

Da quanto fin qui esposto si può notare come il punto più alto raggiunto da ognuno degli alunni non è significativo ai fini dello

studio della derivabilità della funzione ma ci è servito da stimolo per invogliare gli alunni a partecipare all’attività proposta.