1.FornireunaparametrizzazionediΣ.2.Calcolareilmassimoeminimoassolutodellafunzione f ( x,y,z )=2 x + y + z sull’insiemeΣ.Soluzione:1 { ( x,y,z ) ∈ R : z − x − y =0 , 0 ≤ z ≤ 1 } Esercizio1 SiconsiderilasuperficieΣ ∈ R definitadaΣ= 6settembre2016 AnalisiMatem

COGNOME NOME Matr.

Analisi Matematica 2

6 settembre 2016 Esercizio 1

Si consideri la superficie Σ ∈ R³ definita da

Σ = {(x, y, z) ∈ R³: z²− x²− y² = 0, 0 ≤ z ≤ 1}

1. Fornire una parametrizzazione di Σ.

2. Calcolare il massimo e minimo assoluto della funzione f (x, y, z) = 2x + y + z sull’insieme Σ.

Soluzione:

1

Esercizio 2

Si calcoli l’integrale triplo ^{R R R}Ωf(x, y, z)dxdydz dove f : R³ → R `e la funzione f (x, y, z) = xy + z e Ω ⊂ R<sup>3</sup> `e la piramide di vertici (0,0,0), (0,0, 2), (1,-1,0) e (1,1,0).

Soluzione:

2

Esercizio 3 Si calcoli il flusso del campo vettoriale F (x, y, z) = (2, 1, 0) attraverso la superficie Σ = {(x, y, z) ∈ R³ : x² + y² + z² = 1, z ≤ 2x + 3y} orientata in modo tale che per ogni punto (x, y, z) ∈ Σ il versore normale ˆn in un quel punto soddisfi la diseguaglianza ˆn· (x, y, z) > 0.

Soluzione:

3

Esercizio 4

Calcolare versore tangente, versore normale, versore binormale e curvatura della curva parametrizzata da

α(t) = (2t, t³− 1, t⁴), t∈ (0, 1).

Soluzione:

4