µ µnk sk ¶ La matrice T = µ si dice matrice di transizione

Ingegneria TLC INFXAE AA 07-08

Geometria Un esempio

Supponiamo che la popolazione di un paese, ad esempio l’Italia, migri da una zona all’altra nel modo seguente: ogni anno il 50% della popolazione del Nord si sposta al Sud, mentre solo il 25% della popolazione del Sud si sposta al Nord.

Se questo modello di migrazione continua, anno dopo anno, cosa succeder`a? La popolazione del Nord si sposter`a tutta a Sud o magari la situazione si stabilizzer`a prima che il Nord rimanga deserto?

Per rispondere a queste domanda, indichiamo con n_k e s_k le porzioni di popo- lazione rispettivamente del Nord e del Sud al termine del k-esimo anno, (quindi n_k+ s_k = 1 per ogni k) . Il modello descritto si pu`o riassumere come segue:

½ nk+1 = ¹₂nk+ ¹₄sk

sk+1 = ¹₂nk+ ³₄sk

che pu`o essere riscritto pi`u sinteticamente come µn_k+1

sk+1

¶

= µ₁

2 1

1 4

2 3

4

¶ µn_k sk

¶

La matrice

T = µ₁

2 1

1 4

2 3

4

¶

si dice matrice di transizione. Osserviamo che, posto

P_k = µnk

sk

¶

la popolazione nell’anno k, si ha in generale, Pk+1 = T^k+1P0

Per capire l’andamento della popolazione a lungo termine occorre quindi capire cosa succede alla matrice T^k quando k va all’infinito. Ora, il calcolo delle varie potenze di T non `e agevole. Possiamo per`o osservare che introducendo una matrice

C =

µ1 1 2 −1

¶

abbiamo la notevolissima propriet`a

C⁻¹T C = D dove D `e la matrice diagonale

D =

µ1 0 0 ¹₄

¶

1

2

(verificare!) e di conseguenza

CDC⁻¹ = T

Il vantaggio `e allora che per calcolare T<sup>k</sup> si pu`o procedere cos`ı:

T^k = (CDC⁻¹)(CDC⁻¹) · · · (CDC⁻¹) e poich´e C⁻¹C = I abbiamo

T^k = CD^kC⁻¹ Osserviamo infine che `e facile calcolare

D^k =

µ1 0 0 (¹₄)^k

¶

Quindi la popolazione a lungo termine, che indichiamo con P∞, potr`a essere calco- lata come segue:

D_∞ = limD^k =

µ1 0 0 0

¶

quindi

T∞ = CD∞C⁻¹ = µ₁

3 1

2 3

3 2

3

¶

(verificare) e infine

P∞ = T∞P0 = µ₁

3n0+ ¹₃s0 2

3n0+ ²₃s0

¶

= µ₁

32 3

¶

In conclusione, se questo schema di migrazione non varia, a lungo termine la popo- lazione si stabilizzer`a in modo tale che al nord ci sar`a un terzo della popolazione totale e al sud i due terzi.