Dipartimento di Scienze politiche, della comunicazione e delle relazioni internazionali - a.a. 2013-2014

internazionali - a.a. 2013-2014

Esempio: lancio di 3 monete;

0 1 2 3 X

P(X) Ω X P(X)

TTT 3 ⅛ TTC 2 ⅛ TCT 2 ⅛ CTT 2 ⅛ TCC 1 ⅛ CTC 1 ⅛ CCT 1 ⅛ CCC 0 ⅛

Le variabili casuali

X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 2 ⅜ 3 ⅛

v.c. X= numero di teste uscite Ad una variabile casuale è associata una regola che assegna a ciascun valore c h e l a v a r i a b i l e p u ò assumere la corrispondente probabilità

Una variabile casuale è una regola che associa ad ogni evento un unico numero reale;

Una variabile casuale è una variabile che assume determinati

valori con determinate probabilità;

•  Variabile statistica: deriva dalla classificazione di dati rilevati, cioè viene definita empiricamente una volta conosciuti i dati ed averli classificati.

•  Variabile casuale (X): assume valori nello spazio dei numeri reali secondo una funzione di probabilità P(X)

Variabile statistica e variabile casuale

Il concetto di variabile casuale è strettamente legato a quello di esperimento, a quello, cioè, di una prova il cui risultato è incerto.

E’ diverso, dunque, dal concetto di variabile definita su una popolazione,

di cui io posso conoscere o meno il valore che questa assume sulle

singole unità, ma rispetto alla quale non c’è nulla di incerto.

Distribuzione di probabilità della v.c X:

Ä ad ogni possibile valore della v.c X si associa una probabilità

X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 2 ⅜ 3 ⅛

( ) ( )

f x = P X = x

v.c.

discreta

Assumono un numero finito di valori x

, x

, …, x

,

con probabilità p

, p

, …, p

Distribuzione di probabilità della v.c X:

Ä ad ogni possibile valore della v.c X si associa una probabilità

X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 2 ⅜ 3 ⅛

Ω X P(X) TTT… 50 ? TTC… 49 ? TCT… .. ? CTT… .. ? TCC… .. ? CTC… .. ? CCT… 1 ? CCC… 0 ?

Esistono delle formule algebriche che consentono di calcolare, per ciascun valore di una variabile casuale, la probabilità che esso si verifichi

( ) ( )

f x = P X = x

v.c.

discreta

Le variabili casuali discrete

Assumono un numero finito di valori x ₁ , x ₂ , …, x _n , con probabilità p ₁ , p ₂ , …, p _n

Nel caso discreto, la funzione f(x) definisce la funzione di probabilità della v.c. X che rappresenta quella funzione che associa ad ognuno dei possibili valori x

la corrispondente probabilità: f ( ) ( x

= P X = x

)

Esempio: Lancio di tre monete v.c. X Numero di teste uscite

( )

( ⁰ )

f x = P X = ^{= P C} ( ^{∩ ∩ C C} ) ^{1 1 1 1}

2 2 2 8

= × × =

( )

( ¹ )

f x = P X = ^{= P T ⎡} _⎣ ( ^{∩ ∩ C C} ) ( ^{∪ C ∩ ∩ T C} ) ( ^{∪ C ∩ ∩ C T} ) ^⎤ _⎦ ^{= 3} ₈ ( )

( ² )

f x = P X = ^{= P T ⎡} _⎣ ( ^{∩ ∩ T C} ) ( ^{∪ T ∩ ∩ C T} ) ( ^{∪ C ∩ ∩ T T} ) ^⎤ _⎦ ³

= 8

( )

( ³ )

f x = P X = ^{= P T} ( ^{∩ ∩ T T} ) ^{1 1 1 1}

2 2 2 8

= × × =

Le variabili casuali discrete

Esempio: Lancio di tre monete v.c. Numero di teste uscite

( )

( ⁰ )

f x = P X 1 1 1 = 1 2 2 2 8

= × × =

( )

( ¹ )

f x = P X = 3

= 8

( )

( ² )

f x = P X = 3

= 8

( )

( ³ )

f x = 1 1 1 P X = 1 2 2 2 8

= × × = _{0 1 2 3 X}

(numero di teste)

f(x)

( )

⁰

f x ≥ ( )

¹

i

f x =

∑

1. 2.

La funzione di probabilità f(x) di tipo discreto soddisfa le condizioni:

Le variabili casuali discrete

In molti casi, può essere necessario trovare la probabilità che la v.c. X assuma un valore inferiore o uguale ad un dato valore x

. Tale probabilità viene definita probabilità cumulata ed è descritta dalla funzione di ripartizione, che viene indicata con F(x

).

Quindi, se x

, x

, …, x

sono i valori possibili di X ordinati in senso crescente, la probabilità cumulata sarà:

F x ( )

^{= f x} ( )

^{+ f x} ( )

^{+ ... + f x} ( )

Esempio: Lancio di tre monete v.c. Numero di teste uscite

( )

( ⁰ )

f x = P X 1 1 1 = 1 2 2 2 8

= × × =

( )

( ¹ )

f x = P X = 3

= 8

( )

( ² )

f x = P X = 3

= 8

( )

( ³ )

f x = 1 1 1 P X = 1 2 2 2 8

= × × =

( )

F x 1

= 8

1 3

= 8 8 +

1 3 3 8 8 8

= + +

1 3 3 1 8 8 8 8

= + + +

( )

F x

( )

F x

( )

F x

0 1 2 3 X

(numero di teste) F(x)

Le variabili casuali continue

Una variabile casuale continua è una v.c. che può assumere un numero infinito di valori compresi in un intervallo di ampiezza finita o infinita.

A differenza di quanto accade nel caso discreto, non è possibile ottenere la probabilità che la variabile assuma un qualsiasi valore interno all’intervallo sommando le probabilità dei singoli punti che lo compongono, in quanto i punti sono infiniti e una somma infinita di valori finiti non può dare l’unità.

Il c.d. paradosso della continuità viene risolto ricorrendo al concetto di

area, assegnando probabilità a singoli intervalli piuttosto che a singoli

punti e rappresentando le probabilità come delle aree su degli

intervalli.

Le variabili casuali continue

Funzione di densità di probabilità: la funzione matematica f(x) per cui l’area sottesa alla funzione, corrispondente ad un certo intervallo, è

uguale alla probabilità che X assuma un valore in quell’intervallo

Una variabile casuale X è, allora, continua se esiste una funzione f(x) tale che:

( ) _a ^b ( )

P a X ≤ ≤ b = ∫ f x dx

dove a e b sono numeri reali qualsiasi, con a<b.

Le variabili casuali continue

La funzione f(●) viene definita funzione di densità di probabilità (f.d.p.) o densità di probabilità di X. In questo caso, tuttavia, la funzione non può essere interpretata come la P(X=x), in quanto tale probabilità sarà sempre nulla, per v.c. di tipo continuo. Quindi, la probabilità di ottenere esattamente il risultato x è generalmente nulla anche se l’evento x non è strettamente impossibile.

E’ invece possibile definire la funzione di ripartizione:

che conserva il suo significato.

( ) ( )

( )

F x P X x f x dx

= ≤ = ∫

Le variabili casuali continue

Funzioni di densità e corrispondenti funzioni di ripartizione:

Le variabili casuali

( ) ∑ ( )

=

=

=

i

X

E X P

1

i

i

x

µ x

( ) ( )

∑

µ

−

=

σ

x

x

1 i

2 X 2

X

P

Valore atteso di una v.c discreta:

Varianza di una v.c discreta:

Valore atteso di una v.c continua:

Varianza di una v.c continua:

( ) ( )

X

E X x f x dx

µ

−∞

= = ∫

( ) ( )

2

X

x

f x dx

σ

µ

−∞

= ∫ −

Esempio

Un amico ci propone un gioco i cui risultati possono essere A, B o C con probabilità di realizzarsi pari, rispettivamente, a 0,1, 0,2 e 0,7. Se esce A, si vincono 20 euro, se esce B se ne vincono 10 mentre se esce C se ne perdono 10.

Ci si chiede quale sarà il guadagno, o la perdita, che ci si deve attendere per un numero elevato di giocate.

E’ chiaro che il risultato del gioco sarà dato dall’ammontare che si vince quando si presenta A o B, ognuno moltiplicato per le rispettive probabilità, sommato all’ammontare che si perde quando si presenta C, ponderato con la rispettiva probabilità.

Avremo dunque: ( ^{20 0,1 ×} ) ( ^{+ 10 0,2 ×} ) ( ^{− 10 0,7 ×} ) ^{= − 3}

Il gioco ha, cioè, un valore negativo, e più precisamente una perdita di 3€ a partita.

I 3 euro non rappresentano l’ammontare che si perde in una singola giocata ma ciò

che si perderebbe in media, per partita, se si giocasse un numero elevato di volte

(infatti, nella singola giocata o si vincono 10 o 20 euro o se ne perdono 10, ma non

se ne potranno mai perdere 3). Questa somma, tuttavia, rappresenta una sintesi

dei diversi risultati del gioco, i quali portano a perdere, in media, 3 euro ogni

giocata, e quindi non si avrà interesse a giocare perché il gioco non è equo.

La variabile casuale di Bernoulli

E’ una v.c. che trae origine da una prova nella quale interessa verificare se l’evento E si è verificato o meno. E’

legata a prove di tipo dicotomico (o dicotomizzabili) i cui due possibili risultati vengono indicati con i termini

“ successo” (1) e “insuccesso” (0), (senza per questo intendere che l’evento successo sia necessariamente un evento piacevole!…)

( ) ^x ( ¹ ) ^{1 x}

P X = x = p − p ⁻

X ~ Ber(p)

Formalmente, una v.c. X discreta si definisce v.c. di Bernoulli

se assume il valore 1 con probabilità p e il valore 0 con

probabilità 1-p. La sua distribuzione di probabilità è:

La variabile casuale di Bernoulli

I suoi momenti caratteristici risultano essere:

( ) ^; ( ) ( ¹ ) ^;

E X = p Var X = p − p

X ~ Ber(p)

N.B. – La varianza della v.c. di Bernoulli assume

valore massimo (1/4) quando è p=1/2. E’ questo,

infatti, il caso di massima incertezza, in cui risulta più

difficile prevedere il risultato.

La v.c. binomiale

•  Esperimento binomiale: n prove bernoulliane (ogni prova può avere solo due possibili risultati) indipendenti, ognuna delle quali ha la stessa probabilità di successo

·   successo o insuccesso;

·   probabilità costante in tutte le prove

·   estrazioni indipendenti (estrazioni con ripetizione).

V.C. Binomiale X: numero di successi in n prove

p: probabilità di successo in una prova

1-p: probabilità di insuccesso in una prova

Un esempio

Da un collettivo di donne incinte ne sono state estratte a caso tre.

Ciascuna di loro aspetta un solo bambino.

La probabilità che nasca un maschio a ciascuna di loro è nota e pari a 0,503.

1) D1: possibili esiti à M o F 2) D2: possibili esiti à M o F 3) D3: possibili esiti à M o F

n=3 prove bernoulliane

1)  D1 ~ Ber(0,503) 2)  D2 ~ Ber(0,503) 3)  D3 ~ Ber(0,503)

⎩ ⎨

= ⎧

femmina una

nasce

0

maschio un

nasce

1 1 D

⎩ ⎨

= ⎧

femmina una

nasce

0

maschio un

nasce

2 1 D

⎩ ⎨

= ⎧

femmina una

nasce

0

maschio un

nasce

3 1

D

Un esempio

-qual è la probabilità che si abbiano 0 maschi?

-qual è la probabilità che si abbia 1 maschio?

-qual è la probabilità che si abbiano 2 maschi?

-qual è la probabilità che si abbiano 3 maschi?

Sequenza 1:

D1(femmina), D2(femmina), D3(maschio)

(1-p) × (1-p) × p= (1 - p)

× p= 0,124 Sequenza 2:

D1(femmina), D2(maschio), D3(femmina)

(1-p) × p ×(1-p) = (1 - p)

× p= 0,124 Sequenza 3:

D1(maschio), D2(femmina), D3(femmina)

p × (1-p) × (1-p) = (1 - p)

× p= 0,124

Un esempio

Numero di possibili sequenze di 1 maschio e 2 femmine: 3

P(1 maschio)= P(Sequenza 1 o Sequenza2 o Sequenza3)=

= 3 × p × (1 - p)

= 0,373

( ⁼ ) ^{= ⎛ ⎞} _{⎜ ⎟} ( ⁻ ) ^{− =} ( ) ( ⁻ ) ⁻

⎝ ⎠

n x n x

x x

n n!

x 1 1

x x! n-x !

P X p p p p

( ) ^{! 1 !} ( ) ^{3 3 ! 1 ! 3 2 2 1 1 3}

!

! =

⋅

⋅

= ⋅

= −

− x n

x

n

Numero di prove: n=3

Numero di successi: x=1

Coefficiente binomiale

Un esempio

Un sistema informativo aziendale deve raccogliere, processare, immagazzinare e distribuire informazione al fine di facilitare i processi di pianificazione, decisione e controllo. Uno dei compiti del sistema informativo consiste in una revisione degli ordini di vendita della società per individuare eventuali errori nella forma o nell’informazione contenuta.

Presso una casa farmaceutica la probabilità che un ordine

venga giudicato insoddisfacente dal sistema informativo è

stimata pari a 0,1. Sulla base di questa informazione, la

società vuole calcolare la probabilità che si abbia un certo

numero di segnalazioni in un dato campione di ordini di

vendita.

Un esempio

Per esempio se in un giorno vengono realizzati quattro ordini di vendita,

-qual è la probabilità che si abbiano 0 ordini scorretti?

-qual è la probabilità che si abbia 1 ordine scorretto?

-qual è la probabilità che si abbiano 2 ordini scorretti?

-qual è la probabilità che si abbiano 3 ordini scorretti?

-qual è la probabilità che si abbiano 4 ordini scorretti?

Primo

ordine Secondo

ordine Terzo

ordine Quarto ordine Segnalato Segnalato Non segnalato Segnalato p=0,1 p=0,1 1-p=0,9 p=0,1

Sequenza 1

P(3 ordini segnalati nella sequenza precedente)=

p × p × (1-p) × p = p

× (1 - p) = 0,009

Un esempio

Sequenza 1:

segnalato, segnalato, non segnalato, segnalato p × p × (1-p) × p = p

× (1 - p) = 0,009 Sequenza 2:

segnalato, segnalato, segnalato, non segnalato p × p × p × (1-p) = p

× (1 - p) = 0,009 Sequenza 3:

segnalato, non segnalato, segnalato, segnalato p × (1-p) × p × p = p

× (1 - p) = 0,009 Sequenza 4:

non segnalato, segnalato, segnalato, segnalato

(1-p) × p × p × p = p

× (1 - p) = 0,009

Un esempio

Numero di possibili sequenze: 4

P(3 ordini scorretti) = 4 × 0,0009 = 0,0036

La v.c. binomiale

Distribuzione di probabilità di X:

( ⁼ ) ^{= ⎛ ⎞} _{⎜ ⎟} ( ⁻ ) ^{− =} ( ) ( ⁻ ) ⁻

⎝ ⎠

n x n x

x x

n n!

x 1 1

x x! n-x !

P X p p p p

( ) ^{X np}

E = ^Var ( ) ^{X = np} ( ^{1 − p} )

numero di prove

effettuate proporzione di casi che realizzano un successo nella popolazione

(0<p<1)

numero di combinazioni in cui possono presentarsi x

successi in n prove.

X ~ Bin(n,p)

La v.c. binomiale relativa

proporzione di successi in n prove

n X

n p

E X ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ( )

n p p

n

Var X ⎟ = −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 1

( ) ( )

50 36 50 36

36 36

50 1 1 50! 1 1

36 1 1

36 2 2 36! 50-36 ! 2 2

P X

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ = ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠

•  Esperimento: 50 lanci di una moneta

•  v.c X: numero di teste uscite in 50 lanci

•  numero di prove effettuate: 50 (n)

•  probabilità di successo in un lancio: 1/2

( ^x ) ⁿ _x ^x ( ¹ ) ^{n x} _{x! n-x !} ( ) ^{n! x} ( ¹ ) ^{n x}

P X = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ p − p ⁻ = p − p ⁻

⎝ ⎠

La v.c. binomiale: un esempio

Dall'inventario di 48 automobili spedite ad un gruppo di rivenditori, risulta che 12 automobili avevano difetti nell'installazione della radio.

Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia ricevuto 8 automobili:

a) Le riceva tutte con radio difettose?

b) Non ne riceva nessuna con radio difettosa?

c) Ne riceva almeno una con radio difettosa?

•  8 automobili estratte a caso dalla produzione à esperimento binomiale

•  probabilità di successo (la radio è difettosa) à p=12/48

•  v.c X: numero di radio difettose in 8 auto estratte a caso dalla produzione

La v.c. binomiale: un esempio

a) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia ricevuto 8 automobili le riceva tutte con radio difettose?

•  P(X=8) ?

•  n= 8

•  p=12/48=0,25

•  1-p= 0,75

( ^x ) ⁿ _x ^x ( ¹ ) ^{n x} _{x! n-x !} ( ) ^{n! x} ( ¹ ) ^{n x}

P X = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ p − p ⁻ = p − p ⁻

⎝ ⎠

( ⁸ ) ⁸ ₈ ^{0,25 0,75 8} ( ) ^{8 8} _{8! 8-8 !} ( ) ^{8! 0,25 0,75 8} ( ) ^{8 8}

P X = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⁻ = ⁻

⎝ ⎠

b) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia ricevuto 8 automobili non ne riceva nessuna con radio difettosa?

•  P(X=0) ?

•  n= 8

•  p=12/48=0,25

•  1-p= 0,75

( ^x ) ⁿ _x ^x ( ¹ ) ^{n x} _{x! n-x !} ( ) ^{n! x} ( ¹ ) ^{n x}

P X = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ p − p ⁻ = p − p ⁻

⎝ ⎠

( ⁰ ) ⁸ ₀ ^{0,25 0,75 0} ( ) ^{8 0} _{0! 8-0 !} ( ) ^{8! 0,25 0,75 0} ( ) ^{8 0}

P X = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⁻ = ⁻

⎝ ⎠

c) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia ricevuto 8 automobili ne riceva almeno una con radio difettosa?

• n= 8

•  p=12/48=0,25

•  1-p= 0,75

P(X>=1) =P(X=1)+P(X=2)+…P(X=8)=1-P(X=0)

La variabile casuale di Poisson

Si consideri una prova che può avere solo due possibili esiti chiamati, successo e insuccesso. Si è interessati a contare quante volte si verifica l’evento successo in un certo arco temporale prefissato (oppure anche in un certo ambito spaziale: ad esempio un’area prefissata).

Es.:

•  Clienti ad uno sportello bancario in un giorno

•  Telefonate al centralino VV.FF. in un ’ ora

•  Auto al casello autostradale ogni ora

•  n° di globuli rossi per mm

di sangue

•  n° di errori tipografici per pagina stampata

•  … anche… ma

La v.c. di Poisson misura la probabilità di ottenere x successi

riferendosi però non più a n prove bernoulliane ma ad un ambito

circoscritto, temporale o spaziale.

La variabile casuale di Poisson

Una v.c. di Poisson soddisfa i seguenti postulati che valgono per qualsiaisi sottointervallo considerato

La probabilità del manifestarsi dell ’ evento è costante su tutta la durata dell’osservazione (in qualsiasi sottointervallo).

1.

L’intervallo può essere suddiviso in sottointervalli sui quali la probabilità del verificarsi di un evento è piccola e la probabilità del manifestarsi di più di un successo in un sottointervallo (o in una sottoarea) è trascurabile (di fatto possiamo porla pari a zero) rispetto alla probabilità che se ne verifichi uno solo 2.

Il manifestarsi di un evento in un sottointervallo non influenza la probabilità del manifestarsi di un evento in un altro sottointervallo. Gli eventi sono, cioè, indipendenti.

3.

La variabile casuale di Poisson

Al centralino dei Vigili del Fuoco di Macerata arrivano in media 2 chiamate in un’ora

V.C di Poisson: numero di chiamate che arrivano al centralino dei Vigili del Fuoco di Macerata in un’ora

X

0 1 2 3 ………

1 ora P(x) 0.135335 0.270671 0.270671 0.180447044

1 minuto P(x) 0.967216 0.032241 0.000537 0.00000597

La variabile casuale di Poisson ^{X ~ Po( l )}

( )

_!

P X x e

x

λ λ

= =

⋅

Definizione:

Una v.c. X, discreta, segue una distribuzione di Poisson con parametro λ se X assume i valori 0,1,2,… con probabilità definite dalla funzione:

( ) ^{= λ ;} ( ) ^{= λ}

E X Var X

In una v.c. di Poisson gli eventi si manifestano al tasso costante λ.

Se si osserva un processo di Poisson, il numero di eventi che si manifestano in ogni intervallo è una v.c. di Poisson. Se tali eventi si manifestano al tasso costante λ, il valore di λ indicherà il numero di eventi che, in media, si manifesterà per ogni sottointervallo.

(e è il numero di Nepero, pari a 2.7183)

Esercizio:

In un centro commerciale, tra le 18 e le 20 arrivano, in media, 7 clienti al minuto. Supponendo che il numero di clienti si distribuisca secondo una legge di Poisson, si calcoli:

•  la probabilità che in un minuto arrivino 3 clienti

•  la probabilità che in un minuto arrivino meno di 2 clienti

•  la probabilità che in tre minuti arrivino 20 clienti

La variabile casuale di Poisson ^{X ~ Po( l )}

( )

_!

P X x e

x

λ λ

= =

⋅

Esercizio:

Un libro di 200 pagine contiene 10 errori di stampa. Scegliendo a caso una pagina, si calcoli:

•  la probabilità che ci siano 2 errori

•  la probabilità che ci siano più di 2 errori

La variabile casuale di Poisson ^{X ~ Po( l )}

Approssimazione della distribuzione di Poisson alla Binomiale

Quando n ∞ la distribuzione di Poisson con parametro λ=np può servire come approssimazione alla legge binomiale di parametri n e p

Differenza tra la distribuzione di Poisson e la binomiale

Per una distribuzione binomiale il numero n di prove è finito e il numero x di successi non può superare n.

Per una distribuzione di Poisson, il numero di prove è essenzialmente

infinito e il numero di successi può essere infinitamente grande anche se la probabilità di avere x successi diventa molto piccola al crescere di x

→

Esercizio:

La probabilità che una persona sia allergica ad un farmaco è pari a 0,002.

Scegliendo a caso un gruppo di 1000 persone, determinare:

•  la probabilità che più di 2 persone siano allergiche

•  la probabilità che nessuna sia allergica

Approssimazione della distribuzione di

Poisson alla Binomiale

La v.c. normale

Spessore di 10000 rondelle di ottone prodotte da un ’ azienda

Spessori (in cm)

Frequenze relative

<0.0180 0.0048

Da 0.0180 a 0.0182 0.0122 Da 0.0182 a 0.0184 0.0325 Da 0.0184 a 0.0186 0.0695 Da 0.0186 a 0.0188 0.1198 Da 0.0188 a 0.0190 0.1664 Da 0.0190 a 0.0192 0.1896 Da 0.0192 a 0.0194 0.1664 Da 0.0194 a 0.0196 0.1198 Da 0.0196 a 0.0198 0.0695 Da 0.0198 a 0.0200 0.0325 Da 0.0200 a 0.0202 0.0122

> 0.0202 0.0048

Totale 10000

La v.c. normale

La v.c. normale

1. Curva degli errori casuali nella misurazione di una grandezza fisica

2. Distribuzione di una caratteristica di una popolazione

3. Dimensione effettiva di oggetti prodotti in serie, che si cerca di produrre in modo identico

La distribuzione Normale

Una variabile casuale X segue una distribuzione Normale, con media m e varianza s

, se la sua funzione di densità di probabilità è data da:

( ) ^{( )}

2 2

1 2 2

1 2

x

f x e

µ σ

πσ

− −

= ⋅

m m + s m-s

1. Forma campanulare e simmetrica 2. Media, mediana e moda coincidenti

3. Punto di flesso a distanza s dalla media

X

f(x) Caratteristiche della distribuzione Normale

La distribuzione Normale

Una variabile casuale X segue una distribuzione Normale, con media m e varianza s

, se la sua funzione di densità di probabilità è data da:

( ) ^{( )}

2 2

1 2 2

1 2

x

f x e

µ σ

πσ

− −

= ⋅

m m + s m-s

68%

1. Forma campanulare e simmetrica 2. Media, mediana e moda coincidenti

3. Punto di flesso a distanza s dalla media

4. Circa il 68% dei casi è compreso nell’intervallo m±s

X

f(x) Caratteristiche della distribuzione Normale

La distribuzione Normale

Una variabile casuale X segue una distribuzione Normale, con media m e varianza s

, se la sua funzione di densità di probabilità è data da:

( ) ^{( )}

2 2

1 2 2

1 2

x

f x e

µ σ

πσ

− −

= ⋅

m

Caratteristiche della distribuzione Normale

m +2 s m +2 s

95%

1. Forma campanulare e simmetrica 2. Media, mediana e moda coincidenti

3. Punto di flesso a distanza s dalla media

4. Circa il 68% dei casi è compreso nell’intervallo m±s 5. Circa il 95% dei casi è compreso nell’intervallo m±2s

X

f(x)

La distribuzione Normale

Una variabile casuale X segue una distribuzione Normale, con media m e varianza s

, se la sua funzione di densità di probabilità è data da:

( ) ^{( )}

2 2

1 2 2

1 2

x

f x e

µ σ

πσ

− −

= ⋅

m

1. Forma campanulare e simmetrica 2. Media, mediana e moda coincidenti

3. Punto di flesso a distanza s dalla media

Caratteristiche della distribuzione Normale

4. Circa il 68% dei casi è compreso nell’intervallo m±s 5. Circa il 95% dei casi è compreso nell’intervallo m±2s

m +3 s

m- 3 s

99%

X

f(x)

La distribuzione Normale

Una variabile casuale X segue una distribuzione Normale, con media m e varianza s

, se la sua funzione di densità di probabilità è data da:

( ) ^{( )}

2 2

1 2 2

1 2

x

f x e

µ σ

πσ

− −

= ⋅

m

1. Forma campanulare e simmetrica 2. Media, mediana e moda coincidenti

3. Punto di flesso a distanza s dalla media

Caratteristiche della distribuzione Normale

4. Circa il 68% dei casi è compreso nell’intervallo m±s

5. Circa il 95% dei casi è compreso nell’intervallo m±2s 6. Circa il 99% dei casi è compreso nell’intervallo m±3s

X f(x)

7. Un aumento o una diminuzione della media determina uno slittamento, a parità di forma, della curva sull ’ asse delle X.

m m

La distribuzione Normale

Una variabile casuale X segue una distribuzione Normale, con media

m

s

( ) ^{( )}

2 2

1 2 2

1 2

x

f x e

µ σ

πσ

− −

= ⋅

m

1. Forma campanulare e simmetrica 2. Media, mediana e moda coincidenti

3. Punto di flesso a distanza s dalla media

Caratteristiche della distribuzione Normale

4. Circa il 68% dei casi è compreso nell’intervallo m±s

5. Circa il 95% dei casi è compreso nell’intervallo m±2s 6. Circa il 99% dei casi è compreso nell’intervallo m±3s

X f(x)

7. Un aumento o una diminuzione della media determina uno slittamento della curva, a parità di forma, sull ’ asse delle X.

8. Un aumento o una diminuzione della varianza determina,

rispettivamente, una minore o una maggiore concentrazione di valori

attorno al valore medio.

Proprietà:

•  m =media; s = sqm

•  f(x) è simmetrica intorno a m

•  il massimo di f(x) (moda) si ha in corrispondenza di x= m

•  punti di flesso: m±s

•  m = Mo = Me

•  i valori della curva normale dipendono da m e s

( ) ^{µ , σ}

N

~ X

( ) ⁽

⁾

2

2

2

1

π σ

−

−

=

x

e x

f

La v.c. normale

La distribuzione Normale

Una macchina produce biscotti il cui peso si distribuisce come una Normale, con media pari a 5 grammi e scarto quadratico medio pari a 0,2 grammi.

Scegliendo a caso un biscotto, qual è la probabilità che abbia un peso è compreso tra 5,12 grammi e 5,30 grammi?

5

X

f(x)

( )²

2 2

1 2

x

y e

µ

σ π

− −

= ⋅

⋅

X ~ N(5;0,04)

m = 5 s = 0,2

( )

2

5,30

2 5,12

1 2

x

e

µ

σ π σ

− −

= ⋅

∫ ⋅

( ^{5,12 5,30} )

P ≤ X ≤

Qualsiasi distribuzione Normale può essere

ricondotta ad una distribuzione con media nulla e varianza unitaria mediante la trasformazione:

Z X µ σ

= −

La distribuzione Normale standardizzata

X f(x)

m

( )

E Z x

E µ

σ

⎛ − ⎞

= ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ^{= 0 Var Z} ( ) ^{= Var ⎛} _⎜ ^x _σ ^{− µ ⎞} _⎟

⎝ ⎠ ^{= 1} Una macchina produce biscotti il cui peso si distribuisce come una Normale, con media pari a 5 grammi e scarto quadratico medio pari a 0,2 grammi.

Scegliendo a caso un biscotto, qual è la probabilità che abbia un peso è compreso tra 5,12 grammi e 5,30 grammi?

Z ~ N m = 0 s

= 1

Le aree sotto la curva Normale standardizzata possono essere calcolate e

tabulate una volta per tutte!

La tavola della distribuzione normale

standardizzata

σ µ

= X −

Z ^{X ~ 0 N} ( ) ^,1

( ) ^{2 1}

2

1 e ^Z x

f = ⁻

π

Proprietà:

•  m = 0

•  s = 1

•  il massimo di f(x) si ha per x=0

•  punti di flesso: x=±1

•  i valori della curva normale standardizzata sono tabulati

La v.c. normale

5

X ~ N m = 5 s = 0,2

Qual è la probabilità che il biscotto pesi tra 5,12 e 5,30 grammi?

5,12 5,30

( ^{5,12 5,30} )

Fr ≤ X ≤

0,6 1,5

m = 0 s = 1 Z X µ

σ

= − ~ N

Quali sono i valori standardizzati di X₁=5,12 e X₂=5,30?

1 1

Z X µ σ

= − 5,12 5

0,2

= − = 0,6

2 2

Z X µ

σ

= − 5,30 5

0,2

= − = 1,5

X f(x)

0 ^Z

f(x)

La distribuzione Normale standardizzata

P

5

X ~ N m = 5 s = 0,2

5,12 5,30

( ^{5,12 5,30} )

Fr ≤ X ≤

0

^Z

m = 0 s = 1

Qual è la probabilità compresa tra Z₁=0,6 e Z₂=1,5?

( ^{0,6 1,5} )

Fr ≤ Z ≤

Z X µ σ

= − ~ N

0, 4332 0,2257

= − = 0,2075

0,2075

=

Quali sono i valori standardizzati di X₁=5,12 e X₂=5,30?

La distribuzione Normale standardizzata

X f(x)

f(x)

Qual è la probabilità che il biscotto pesi tra 5,12 e 5,30 grammi?

P

P

Un ’ impresa produce pomodori ed il processo di inscatolamento è stato regolato in modo tale che in ogni barattolo venga introdotta, in media, una quantità di pomodori pari a 13 etti. Lo s.q.m. del peso netto effettivo è 0,1 etti e si suppone che i pesi siano distribuiti normalmente.

Si determini la probabilità che un barattolo preso a caso contenga una quantità di pomodori compresa tra 13 e 13,2 etti.

•  X: peso inscatolato X~ N(13; 0,1)

• 

•  P(13<X<13,2) ??

N(0,1) ,1 ~

0

− 13

= X Z

La distribuzione Normale standardizzata

( ) ( ^{0 2} )

1 , 0

13 2 , 13 1

, 0

13 2 13

, 13

13 ⎟ = < <

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − < < −

=

<

< X P Z P Z

P

La distribuzione Normale standardizzata

L ’ altezza di un gruppo di ragazzi è distribuita normalmente con media 180cm e scarto quadratico medio 10cm. Calcolare la probabilità che un ragazzo scelto a caso dal gruppo abbia una statura superiore a 190cm.

La distribuzione Normale standardizzata

La distribuzione Normale

I parametri m e s sono noti, si vuole conoscere la probabilità che la v.c. X assuma valori compresi all ’ interno dell ’ intervallo a, b (a<b).

( a X b ) P a X b P ( z a Z z b )

P ⎟ = < <

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − < − < −

=

<

< σ

µ σ

µ σ

µ

Se n è grande

X ( )

~ 0,1 Z np Z

npq

= −

( ) ^X n p ~ _{( )} 0,1

Z Z

pq n

= −

Approssimazione della distribuzione binomiale

Esempio: determinare la probabilità che, lanciando 400 volte un dado, la faccia 5 compaia almeno 60 volte

•  Lancio di un dado à esperimento binomiale

•  probabilità di successo (la faccia uscita è il 5) à p=1/6=0,17

•  v.c X: numero di uscite della faccia 5 in 400 lanci

( ) ( ^{1 , 06} )

83 , 0 17 , 0 400

17 , 0 400

60 60 = > −

⎟⎟⎠ ⎞

⎜⎜⎝ ⎛

⋅

⋅

⋅

> −

=

> P Z P Z

X P

Approssimazione della distribuzione binomiale

Esercizio 1

Esercizio 2

Esercizio 2

Esercizio 2

Esercizio 3

Soluzione punto 1

Soluzione punto 3

Soluzione punto 2

Dove e come studiare

File “ esercizi variabili casuali e distribuzioni campionarie.pdf ”

•  S. Borra, A. Di Ciaccio (2008) – Statistica – Metodologie per le scienze economiche e sociali – McGraw-Hill. Cap. 9 (escluso paragrafi 9.6, 9.8.3, 9.8.4, 9.8.5, 9.11).

•  D. Piccolo (2004) – Statistica per le decisioni – Il Mulino. Cap. 9

(escluso paragrafi 9.7, 9.8, 9.9), Cap. 10.

Le variabili casuali

ü  Variabili casuali discrete

ü  Funzione di probabilità ü  Funzione di ripartizione ü  Valore atteso

ü  Varianza

ü  Variabili casuali continue

ü  Funzione di densità di probabilità ü  Funzione di ripartizione

ü  Valore atteso ü  Varianza

ü  Distribuzione di Bernoulli, binomiale, binomiale relativa ü  Distribuzione di Poisson

ü  Approssimazione della distribuzione di Poisson alla Binomiale ü  Distribuzione Normale

ü  Distribuzione Normale standardizzata

ü  Approssimazione della distribuzione standardizzata alla Binomiale

Riepilogo