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perturbazioni del supporto e della densit` a dei potenziali elastici di semplice e doppio strato

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(1)

Tesi di Laurea A.A. 2003-2004

Dipendenza reale analitica da

perturbazioni del supporto e della densit` a dei potenziali elastici di semplice e doppio strato

Relatore: Ch.mo Prof. Massimo Lanza de Cristoforis

Controrelatore: Ch.mo Dott. Paolo Ciatti

Laureando: Matteo Dalla Riva

Universit` a degli Studi di Padova Facolt` a di Scienze MM.FF.NN.

Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata

Corso di Laurea in Matematica

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Tesi di Laurea A.A. 2003-2004

Dipendenza reale analitica da

perturbazioni del supporto e della densit` a dei potenziali elastici di semplice e doppio strato

Relatore: Ch.mo Prof. Massimo Lanza de Cristoforis

Controrelatore: Ch.mo Dott. Paolo Ciatti

Laureando: Matteo Dalla Riva

Universit` a degli Studi di Padova Facolt` a di Scienze MM.FF.NN.

Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata

Corso di Laurea in Matematica

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a Tita, Gigi, Giulio, Andrea

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(7)

Indice

Introduzione vii

Ringraziamenti ix

1 Preliminari tecnici e notazioni 1

2 Analiticit` a reale dei potenziali elastici di strato 7 A Teoria del potenziale per le equazioni dell’elastostatica 25

B Il problema di Dirichlet 41

Bibliografia 51

v

(8)
(9)

Introduzione

Il proposito di questa Tesi `e di studiare la dipendenza dei potenziali elastici di semplice e doppio strato dall’ipersuperfice di integrazione, cio`e dal supporto. As- sumeremo che tale ipersuperficie di integrazione sia di tipo sfera. Ovvero che, posto che sia B n ≡ 

x ∈ R n

|x| < 1

la palla unitaria aperta in R n , con n ≥ 2, la nostra ipersuperficie sia individuata da un diffeomorfismo φ di ∂ B n su φ (∂ B n ) ⊆ R n . In questo modo φ (∂ B n ) sar`a una variet`a (n − 1)-dimensionale immersa in R n . Considereremo poi l’insieme A B

n

delle φ ammissibili (vedi Lemma 1.5), e lo spazio di Schauder C m,α (∂ B n , R n ). L’insieme C m,α (∂ B n , R n ) ∩ A ∂ B

n

`e aperto in C m,α (∂ B n , R n ) e possiamo pensare a φ come ad un punto di questo insieme.

Sia f ∈ C m,α (∂ B n , R n ), allora la funzione f ◦ φ ( −1) `e definita su φ (∂ B n ). Se A(∂ x )u + g = 0 `e l’equazione di equilibrio di un mezzo elastico omogeneo ed isotropo (u = (u 1 , . . . , u n ) si chiama vettore di spostamento e g = (g 1 , . . . , g n ) `e la forza che agisce sui punti di Ω, vedi Kupradze [KGBB, I, §12]) ha senso considerare il potenziale di semplice e doppio strato

v[φ, f ](ξ) ≡ Z

φ(∂ B

n

)

Γ (η − ξ) f ◦ φ (−1) (η) dσ η ∀ξ ∈ φ (∂B n ) , w[φ, f ](ξ) ≡

Z

φ(∂ B

n

)

 f ◦ φ (−1) (η) 

T dΓ (j) (η − ξ) 

φ (η)] 

j=1,...,n dσ η

∀ξ ∈ φ (∂B n ) ,

dove Γ( ·) `e la soluzione fondamentale dell’operatore A(∂ x ) in R n , T e Γ (j) sono definiti nel Capitolo 2 e ν φ `e la normale esterna dell’insieme I[φ] limitato da φ (∂ B n ) (vedi Capitolo 1). Possiamo poi considerare le funzioni

V [φ, f ](x) ≡ v[φ, f] ◦ φ(x) ∀x ∈ ∂B n , (0.1) W [φ, f ](x) ≡ w[φ, f] ◦ φ(x) ∀x ∈ ∂B n . (0.2) V [ ·, ·] `e allora un operatore di (C m,α (∂ B n , R n ) ∩ A ∂ B

n

) × C m −1,α (∂ B n , R n ) in C m,α (∂ B n , R n ) e manda (φ, f ) nella funzione V [φ, f ] ; W [ ·, ·] `e un operatore non lineare di (C m,α (∂ B n , R n ) ∩ A ∂ B

n

) × C m,α (∂ B n , R n ) in C m,α (∂ B n , R n ) e manda (φ, f ) nella funzione W [φ, f ].

Il proposito di questa Tesi `e di mostrare che questi operatori (non lineari) V [ ·, ·] e W [·, ·] sono reali analitici (vedi Teorema 2.11). Fatto questo calcoleremo il differenziale di ogni ordine di V e W (vedi Proposizione 2.13). Il problema qui

vii

(10)

viii

trattato `e gi`a stato risolto da Lanza e Rossi in [LR] per i potenziali di strato relativi all’operatore Laplaciano e noi seguiremo la traccia del loro lavoro.

Per primo considereremo l’operatore V [ ·, ·]. Infatti saremo in grado di esprimere l’operatore W [ ·, ·] tramite V [·, ·] e gli operatori corrispondenti a V [·, ·] e W [·, ·]

costruiti usando la soluzione fondamentale dell’operatore Laplaciano, in modo tale che l’analiticit`a di W [ ·, ·] potr`a essere dedotta da quella di V [·, ·], gi`a provata, e da quella dei corrispondenti operatori relativi all’operatore Laplaciano provata da Lanza e Rossi in [LR].

Descriviamo brevemente la nostra strategia.

Data una coppia (φ 0 , f 0 ) in (C m,α (∂ B n , R n ) ∩ A ∂ B

n

) × C m −1,α (∂ B n , R n ) esiste un 0 < δ < 1 ed un intorno aperto W 0 di φ 0 , tali che ogni φ appartenente a W 0 si pu`o estendere ad un diffeomormismo E φ

0

[φ], della stessa regolarit`a di φ, definito dall’anello

A δ ≡ 

x ∈ R n

1 − δ < |x| < 1 + δ su un intorno di φ(∂ B n ). Porremo

A + δ ≡ 

x ∈ R n ,

1 − δ < |x| < 1

, A δ ≡ 

x ∈ R n

1 < |x| < 1 + δ , e mostreremo che v[φ, f ] `e univocamente determinato da due funzioni v + e v definite su E φ

0

[φ]( A + δ ) e E φ

0

[φ]( A δ ) rispettivamente e tali che la coppia (v + , v ) `e l’unica soluzione di un problema accoppiato con dati al bordo (vedi Teorema 2.4).

Trasformeremo poi questo problema, che `e definito su un dominio che dipende da E φ

0

[φ], in un problema accoppiato con dati al bordo definito su un dominio fisso.

La soluzione di quest’ultimo sar`a una coppia di funzioni (V + , V ) che determina univocamente V [φ, f ] e tale che V + e V sono definite su A + δ e A δ rispettiva- mente. Il passo successivo sar`a di riformulare il problema con dato al bordo per (V + , V ) in un’equazione funzionale astratta in spazi di Banach e di analizzare questa tramite il Teorema della Funzione Implicita (sar`a fatto nella dimostrazione della Proposizione 2.10). Potremo cos`ı dedurre la reale analiticit`a di (V + , V ) e quindi di V [ ·, ·].

La Tesi `e organizzata come segue. Il Capitolo 1 `e un capitolo di preliminari e

notazioni il cui scopo `e di definire alcuni degli oggetti che verranno poi usati. Nes-

suna delle dimostrazioni `e qui svolta; essendo i risultati citati tutti gi`a conosciuti

verranno solo dati dei riferimenti bibliografici per le dimostrazioni. Nel capito-

lo 2 per prima cosa elencheremo alcune propriet`a dei potenziali elastici di strato

(Teorema 2.1), poi introdurremo i problemi con dato al bordo per (v + , v ) e per

(V + , V ) e quindi dimostreremo il nostro principale Teorema 2.11. Infine nella

Proposizione 2.13, calcoleremo il differenziale di ogni ordine di V e W . Nell’Ap-

pendice A dedurremo per comodit`a del lettore i risultati elencati nel Teorema 2.1

tramite la Teoria del Potenziale classica. Nell’Appendice B ci occuperemo della

risolubilit`a del problema di Dirichlet per l’operatore A(∂ x ).

(11)

Ringraziamenti

Il primo ringraziamento va ai miei genitori che mi hanno sostenuto per tutto il tempo necessario ad arrivare alla laurea.

Poi ringrazio tutti i professori che ho incontrato nei miei anni di universit`a: ognu- no di loro ha aggiunto qualcosa al mio amore per la Matematica, in particolare il Prof. M. Lanza de Cristoforis, che mi ha seguito con grande attenzione e premura nella stesura di questa Tesi.

Ringrazio anche coloro che, con le loro domande, osservazioni, congetture e piccole sfide, hanno reso pi` u avvincente la mia cariera di studente: Dario Benetti, Luca Prelli, Luca Mertens, Raffaele Marigo.

Infine ringrazio Andrea che con dolcezza e comprensione mi ha aiutato a non pren- dermi troppo sul serio.

Padova, settembre 2004 Matteo Dalla Riva

ix

(12)
(13)

Capitolo 1

Preliminari tecnici e notazioni

Denoteremo la norma dello spazio normato X con k · k X . Dati due spazi normati X e Y forniremo lo spazio prodotto X × Y della norma definita da k(x, y)k X ×Y ≡ kxk X + kyk Y per ogni (x, y) ∈ X × Y, mentre in R n useremo la norma euclidea. Per le definizioni standard di calcolo negli spazi normati faremo riferimento a Prodi e Ambrosetti [PA]. Il simbolo N indica l’insieme dei numeri naturali compreso lo 0. In tutta la Tesi n sar`a un elemento di N \ {0, 1}. La funzione inversa di una funzione invertibile f si denoter`a con f ( −1) , mentre il reciproco di una funzione a valori complessi g, o l’inversa di una matrice A, saranno denotate con g −1 e A −1 , rispettivamente. Un puntino “ ·” denoter`a il prodotto scalare in R n . Se A `e una matrice, indicheremo con A t la matrice trasposta di A, con tr A la traccia di A, con det A il determinante di A e con A ij l’elemento di posto (i, j) di A. Se inoltre A `e invertibile, porremo A −t ≡ A −1  t

. L’insieme delle matrici r × s ad elementi reali si indicher`a con M r ×s ( R). Se x ∈ R n , x j sar`a la j-esima coordinata di x, |x| la norma euclidea di x, porremo poi (x 0 , x n ) ≡ x con x 0 ≡ (x 1 , . . . , x n−1 ). Se x ∈ R n e A ∈ M n ×n ( R) scriveremo xA intendendo x t A, notiamo che tale scrittura non crea ambiguit`a. Se D ⊆ R n denoteremo con cl D la chiusura di D, se poi x ∈ R n sar`a dist(x, D) ≡ inf 

|y − x|

y ∈ D

. Se B ⊆ R n `e Lebesgue-misurabile indicheremo con |B| la sua misura n-dimensionale di Lebesgue. Per ogni R > 0 e x ∈ R n , B n (x, R) sar`a la palla {y ∈ R n | |y − x| < R}. Per brevit`a porremo B n ≡ B n (0, 1).

Sia Ω un sottoinsieme aperto di R n . Lo spazio delle funzioni a valori reali m volte differenziabili con continut`a si denoter`a con C m (Ω, R), o pi`u semplicemente con C m (Ω), se g ∈ C m (Ω) si indicher`a con ∇g il vettore gradiente di g e cio`e il vet- tore ( ∂x ∂g

i

) i=1,...,n . D(Ω) denoter`a lo spazio delle funzioni di C (Ω) con supporto compatto. Il duale D 0 (Ω) denoter`a lo spazio delle distribuzioni in Ω, se g ∈ D 0 (Ω) e ϕ ∈ D(Ω) indicheremo con hg, ϕi la valutazione di g su ϕ; con δ 0 indicheremo la distribuzione delta di Dirac, definita da hg, ϕi = ϕ(0), per ogni ϕ ∈ D(Ω). Sia f ∈ C m (Ω, R n ) = (C m (Ω)) n . La s-esima componente di f si indicher`a con f s , e Df denoter`a la matrice gradiente 

∂f

s

∂x

l



s,l=1,...,n . Sia η ≡ (η 1 , . . . , η n ) ∈ N n ,

|η| ≡ η 1 + · · · + η n . Allora D η f sar`a

|η|

f

∂x

η11

...∂x

ηnn

. Si denoter`a con C m (clΩ) il sot-

1

(14)

2 Preliminari tecnici

tospazio di C m (Ω) delle funzioni f estendibili con continuit`a a clΩ assieme alle loro derivate D η f di ordine |η| ≤ m. Il sottospazio di C m (clΩ) le cui funzioni han- no derivate di ordine m H¨older continue con esponente α ∈]0, 1], si denoter`a con C m,α (clΩ), (vedi ad esempio Gilbarg e Trudinger [GT, §4.1]). Sia D ⊆ R n . Allo- ra C m,α (clΩ, D) denoter`a 

f ∈ (C m,α (clΩ)) n

f(clΩ) ⊆ D

. C m,α (clΩ, M r ×s ( R)) denoter`a lo spazio delle funzioni di clΩ in M r×s ( R) le cui componenti sono di classe C m,α . Sia Ω un sottoinsieme aperto e limitato di R n . Allora C m (clΩ) con la norma kfk m ≡ P

|η|≤m sup clΩ |D η f | `e uno spazio di Banach. Se f ∈ C 0,α (clΩ), allora il suo quoziente di H¨older |f : Ω| α `e sup n

|f(x)−f(y)|

|x−y|

α

x, y ∈ cl Ω, x 6= y o

. Lo spazio C m,α (clΩ) con la norma kfk m,α = kfk m + P

|η|=m |D η f | α , `e uno spazio di Banach.

Diremo che un sottoinsieme aperto e limitato di R n `e di classe C m o di classe C m,α se `e una variet`a con bordo immersa in R n di classe C m o C m,α , rispettivamente (vedi ad esempio Gilbarg e Trudinger [GT, §6.2]). Per rendere pi`u compatte le nostre notazioni porremo C m,0 ≡ C m .

Raccogliamo nella prossima proposizione alcune popriet`a conosciute degli spazi di Schauder di cui avremo bisogno nel seguito (vedi ad esempio Gilbarg e Trudinger [GT, §4.2] e Lanza [L, §2, Lemmi 3.1, 4.26, Teorema 4.28]).

Lemma 1.1 Siano m, r ∈ N, r > 0; α, β ∈]0, 1]. Siano Ω, Ω 1 aperti connessi e limitati R n di classe C 1 . Allora

(i) Il prodotto puntuale `e continuo in C m,α (clΩ).

(ii) L’immersione di C m+1 (clΩ) in C m,1 (clΩ) `e continua.

(iii) Se α > β, l’immersione di C m,α (clΩ) in C m,β (clΩ) `e compatta.

(iv) Se m > 0 e (φ, ψ) ∈ C m,α (clΩ 1 ) × C m,α (clΩ, clΩ 1 ), allora φ ◦ ψ ∈ C m,α (clΩ).

(v) Se m > 0, φ ∈ C m,α (clΩ, R n ), φ `e iniettiva e detDφ 6= 0 in clΩ, allora la funzione inversa φ ( −1) ∈ C m,α (clφ(Ω), R n ).

(vi) Il prodotto matriciale puntuale `e bilineare e continuo, e quindi reale analitico, dallo spazio C m,α (clΩ, M r×r ( R))×C m,α (clΩ, M r×r ( R)) nello spazio C m,α (clΩ, M r ×r ( R)).

(vii) La mappa F 7→ F −1 `e reale analitica dall’insieme 

F ∈ C m,α (cl Ω, M r×r ( R)) det F 6= 0 su clΩ} in se stesso, ed il suo differenziale in F 0 `e dato dalla mappa M 7→ −F 0 −1 · M · F 0 −1 .

Notiamo che nel seguito “analitico” significher`a sempre “reale analitico”. Per la definizione e le propriet`a degli operatori analitici facciamo riferimento a Prodi e Ambrosetti [PA, p. 89].

Come annunciato nell’Introduzione avremo a che fare con diffeomorfismi fra

sottoinsiemi aperti di R n . Ci servir`a il seguente Lemma (vedi [L, Corollario 4.24,

Prop. 4.29]).

(15)

3

Lemma 1.2 Sia Ω un sottoinsieme limitato e aperto di R n di classe C 1 . Allora l’insieme

A clΩ ≡ 

Φ ∈ C 1 (clΩ, R n )

Φ `e iniettiva, det DΦ(x) 6= 0, ∀x ∈ clΩ

`e aperto in C 1 (clΩ, R n ).

Sia ora m ∈ N \ {0}, α ∈ [0, 1]. ` E ben noto che un sottoinsieme M di R n

`e una variet`a differenziale di dimensione s e classe C m,α immersa in R n se, per ogni P ∈ M, esistono un intorno W di P in R n , ed una parametrizzazione ψ ∈ C m,α (cl B s , R n ) tali che ψ `e un omeomorfismo di B s su W ∩ M, ψ(0) = P , e Dψ ha rango s in tutti i punti di cl B s . Se supponiamo inoltre che M sia compatta, esisteranno P 1 ,. . . ,P r ∈ M, e {ψ i } i=1,...,r , tali che, per ogni i = 1, . . . , r, ψ i ∈ C m,α (cl B s , R n ) sia la parametrizzazione di un intorno W i ∩ M di P i in M e che

r i=1 (W i ∩ M) = M. Denoteremo con C m,α (M ) lo spazio lineare delle funzioni f di M in R n tali che f ◦ ψ i ∈ C m,α (cl B s ) per ogni i = 1, . . . , r, e porremo

kfk C

m,α

(M ) ≡ sup

i=1,...,r kf ◦ ψ i k C

m,α

(cl B

s

) ∀f ∈ C m,α (M ) .

E ben noto che con diverse scelte della famiglia finita di parametrizzazioni locali ` si ottengono norme equivalenti. Inoltre lo spazio C m,α (M ) , k · k C

m,α

(M )

 `e com- pleto. Abbiamo allora il seguente (vedi ad esempio Troianiello [T, Teorema 1.3, Lemma 1.5])

Lemma 1.3 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈ [0, 1]. Sia Ω un aperto connesso e limitato di R n di classe C m,α . Allora

(i) ∂Ω `e una variet` a di classe C m,α e codimensione 1 e la mappa di restrizione

`e lineare e continua da C k,α (clΩ) in C k,α (∂Ω) per ogni k = 0, . . . , m.

(ii) Esiste un operatore di estensione F lineare e continuo definito da C m,α (∂Ω) in C m,α (cl Ω) tale che F[f ] |∂Ω = f per ogni f ∈ C m,α (∂Ω).

(iii) Sia R > 0 tale che clΩ ⊆ B n (0, R). Allora esiste un operatore lineare e continuo F R di C m,α (clΩ) in C m,α (cl B n (0, R)) tale che F R [f ] |clΩ = f per ogni f ∈ C m,α (clΩ).

Introduciamo ora la seguente variante di [L, Prop. 4.29] (la si pu`o ottenere con una leggera modifica della dimostrazione della Proposizione 4.29 [L]).

Lemma 1.4 Sia K un sottoinsieme compatto di R n . Sia C 0,1 (K, R n ) lo spazio delle funzioni Lipschitziane di K in R n e sia |f : K| 1 la costante di Lipschitz di f ∈ C 0,1 (K, R n ). Poniamo

l K [f ] ≡ inf

 |f(x) − f(y)|

|x − y|

x, y ∈ K, x 6= y 

∀f ∈ C 0,1 (K, R n ).

Allora l[ ·] `e una mappa continua definita da C 0,1 (K, R n ), dotato della seminorma

|· : K| 1 , in [0, + ∞[.

(16)

4 Preliminari tecnici

Il seguente Lemma `e una variante di [L, Teorema 4.18, Prop. 4.29] dimostrata in [LR, Lemma 2.5].

Lemma 1.5 Sia φ ∈ C 1 (∂ B n , R n ). Allora l B

n

[φ] > 0 se e solo se φ `e iniettiva ed il differenziale dφ(p) `e iniettivo per ogni p ∈ ∂B n . La mappa l B

n

[ ·] di C 1 (∂ B n , R n ) in [0, + ∞[ `e continua e l’insieme

A B

n

≡ 

φ ∈ C 1 (∂ B n , R n )

l B

n

[φ] > 0

`e aperto in C 1 (∂ B n , R n ).

Notiamo che, se φ ∈ A ∂ B

n

, allora, per il Teorema di separazione di Jordan-Leray (vedi ad esempio Deimling [D, Teorema 5.2]), l’insieme R n \φ(∂B n ) ha esattamente due componenti connesse. Denoteremo con I[φ] la componente limitata e con E[φ]

quella illimitata. Abbiamo allora il seguente (vedi [LR, Lemma 2.6])

Lemma 1.6 Siano m ∈ N \ {0} e α ∈ [0, 1]. Se φ ∈ C m,α (∂ B n , R n ) ∩ A ∂ B

n

, allora I[φ] `e un aperto limitato e connesso di R n di classe C m,α , e ∂I[φ] = φ(∂ B n ) =

∂E[φ].

Riportiamo qui di seguito le Proposizioni 2.7, 2.8 ed il Lemma 2.9 di [LR]. La prima Proposizione mostra che ogni φ ammissibile si pu`o estendere ad un diffeo- morfismo definito su un intorno anulare di ∂ B n . La seconda mostra l’esitenza locale di un operatore di estensione per diffeomorfismi. Il Lemma introduce l’insieme di diffeomorfismi A 0 cl A

δ

che ci servir`a in seguito.

Proposizione 1.7 Siano m ∈ N \ {0} e α ∈ [0, 1]. Se φ ∈ C m,α (∂ B n , R n ) ∩ A ∂ B

n

, allora esistono δ ∈]0, 1[ e Φ ∈ C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A cl A

δ

tali che

(i) Φ(x) = φ(x) per ogni x ∈ ∂B n . (ii) Φ A + δ 

`e un aperto limitato e connesso di R n di classe C m,α contenuto in I[φ], e ∂Φ A + δ

 = Φ ((1 − δ)∂B n ) ∪ Φ (∂B n ).

(iii) Φ A δ 

`e un aperto limitato e connesso di R n di classe C m,α contenuto in E[φ], e ∂Φ A δ

 = Φ (∂ B n ) ∪ Φ ((1 + δ)∂B n ).

Proposizione 1.8 Siano m ∈ N \ {0} e α ∈ [0, 1]. Se φ ∈ C m,α (∂ B n , R n ) ∩A ∂ B

n

, allora esistono δ ∈]0, 1[ e Φ 0 ∈ C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A cl A

δ

soddisfacenti (i), (ii), (iii) della Proposizione 1.7, un intorno aperto W 0 di φ 0 contenuto in C m,α (∂ B n , R n ) ∩ A B

n

ed un operatore di estensione lineare e continuo F 0 di C m,α (∂ B n , R n ) in C m,α (cl A δ , R n ) tali che la mappa E 0 di C m,α (∂ B n , R n ) in C m,α (cl A δ , R n ) definita da

E 0 [φ] ≡ Φ 0 + F 0 [φ − φ 0 ] ∀φ ∈ C m,α (∂ B n , R n ) (1.1)

mappa W 0 in C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A cl A

δ

, e soddisfa le seguenti condizioni.

(17)

5

(i) E 0 [φ] |∂B

n

= φ, per ogni φ ∈ W 0 .

(ii) E 0 [φ](x) = Φ 0 (x), per ogni x ∈ (1 − δ)∂B n ∪ (1 + δ)∂B n e per ogni φ ∈ W 0 . (iii) E 0 [φ] A + δ

 `e un aperto connesso e limitato di R n di classe C m,α contenuto in I[φ], e ∂ E 0 [φ] A + δ 

= Φ 0 ((1 − δ)∂B n ) ∪ φ (∂B n ), per ogni φ ∈ W 0 . (iv) E 0 [φ] A δ

 `e un aperto connesso e limitato di R n di classe C m,α contenuto in E[φ], e ∂ E 0 [φ] A δ 

= φ (∂ B n ) ∪ Φ 0 ((1 + δ)∂ B n ), per ogni φ ∈ W 0 .

Lemma 1.9 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈ [0, 1] e δ ∈]0, 1[. Allora (i) Se Φ ∈ A cl A

δ

si ha φ ≡ Φ |∂B

n

∈ A ∂ B

n

.

(ii) L’insieme A 0 cl A

δ

≡ 

Φ ∈ A cl A

δ

Φ(A + δ ) ⊆ I[Φ |∂B

n

]

`e aperto in A cl A

δ

e Φ( A δ ) ⊆ E[Φ |∂B

n

] per ogni Φ ∈ A 0 cl A

δ

.

(iii) Se Φ ∈ C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A 0 cl A

δ

, allora sia Φ( A + δ ) che Φ( A δ ) sono aperti di classe C m,α e

∂Φ A + δ

 = Φ ((1 − δ)∂B n ) ∪ Φ (∂B n ) ,

∂Φ A δ

 = Φ ((1 + δ)∂ B n ) ∪ Φ (∂B n ) .

Notiamo che, per come `e definito, l’operatore E 0 [ ·] della Proposizione 1.8 ha

valori in C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A 0 cl A

δ

.

(18)
(19)

Capitolo 2

Analiticit` a reale dei potenziali elastici di strato

Sia Γ la funzione di R n \ {0} in M n ×n ( R) definita da Γ ij (ξ) ≡ 3µ + λ

2µ(2µ + λ) δ ij S n (ξ) − µ + λ 2µ(2µ + λ)

1 σ n

ξ i ξ j

|ξ| n ∀ξ ∈ R n \ {0} , (2.1) dove S n `e la soluzione fondamentale dell’operatore Laplaciano, σ n denota la misura (n −1) dimensionale di ∂B n , λ e µ sono le costanti reali di Lam´e e devono soddisfare le condizioni

µ > 0 , 2µ + nλ > 0 . (2.2)

Allora Γ `e la soluzione fondamentale dell’operatore A(∂ x ) ≡ µ∆ + (µ + λ)∇div

(vedi Teorema A.1). Vedremo che le condizioni (2.2) sono necessarie e sufficenti perch´e la forma bilineare B[ ·, ·] canonicamente associata ad A(∂ x ) (vedi (2.15) e Teorema A.2) sia coerciva.

Sia T la mappa lineare di M n×n ( R) in se stesso definita da TA ≡ λ(trA)1 n + µ(A + A t ) ,

per ogni A ∈ M n ×n ( R). Se f `e una funzione differenziabile di R n in R n e {dx j } j=1,...,n `e la base canonica dello spazio delle 1-forme lineari su R n porremo

Tdf (x) ≡  X

j=1,...,n

(TDf (x)) ij dx j



i=1,...,n . (2.3)

Per ogni i = 1, . . . , n e per ogni ν ∈ R n risulter`a allora

(Tdf (x)) [ν] = λ divf (x) ν + µ Df (x) + Df (x) t 

ν , (2.4)

(vedi Kupradze [KGBB, I, §13]).

Raccogliamo nel seguente Teorema alcuni risultati dimostrati nell’Appendice A (vedi Teoremi A.6, A.12, A.13 e A.11).

7

(20)

8 Analiticit`a

Teorema 2.1 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈]0, 1[. Sia Ω un sottoinsieme aperto e limitato di R n di classe C m,α . Allora si verificano le seguenti proposizioni

(i) Se ϕ ∈ C m −1,α (∂Ω, R n ), allora la funzione v[ϕ] di R n in R n definita da v[ϕ](ξ) ≡

Z

∂Ω

Γ(ξ − η)ϕ(η) dσ η ∀ξ ∈ R n (2.5)

`e continua in R n e vale A(∂ x )v[ϕ] ≡ 0 in R n \ ∂Ω. La funzione v + ≡ v[ϕ] |clΩ appartiene a C m,α (clΩ, R n ) e la funzione v ≡ v[ϕ] |R

n

\Ω appartiene a C m,α (cl B n (0, R) \Ω, R n ) per tutti gli R > 0 tali che clΩ ⊆ B n (0, R). Inoltre, se ν (x) `e la normale esterna di ∂Ω in x,

(Tdv + (ξ))[ν (ξ)] − (Tdv (ξ))[ν (ξ)] = −ϕ(ξ) ∀ξ ∈ ∂Ω. (2.6) (ii) Sia ϕ ∈ C m,α (∂Ω, R n ) e sia w[ϕ] ≡ (w j [ϕ]) j=1,...,n la funzione di R n \ ∂Ω in

R n definita per ogni j = 1, . . . , n da w j [ϕ](ξ) ≡

Z

∂Ω

ϕ(η)(TdΓ (j) (η − ξ))[ν Ω (η)] dσ η ∀ξ ∈ R n \ ∂Ω (2.7) dove si `e posto Γ (j) ≡ (Γ ji ) i=1,...,n . Allora: A(∂ x )w[ϕ] ≡ 0 in R n \ ∂Ω, la restizione w[ϕ] |Ω ha un’unica estensione w + ∈ C m,α (clΩ, R n ), e la restrizione w[ϕ] |R

n

\clΩ ha un’unica estensione w ∈ C m,α ( R n \ Ω, R n ), inoltre

w + (ξ) − w (ξ) = ϕ(ξ) ∀ξ ∈ ∂Ω. (2.8) Se ξ ∈ ∂Ω, allora, per ogni j = 1, . . . , n,

w ± j (ξ) = ± 1

2 ϕ j (ξ) + Z

∂Ω

ϕ(η)(TdΓ (j) (η − ξ))[ν Ω (η)] dσ η , (2.9) dove l’integrale si intende in senso singolare (vedi ad esempio Mikhlin [M,

§5]).

(iii) Se ϕ ∈ C 1,α (∂Ω, R n ), v[ϕ] e w[ϕ] sono come in (2.5), (2.7), ripettivamente, e ˜ v[ϕ] , ˜ w[ϕ] sono definite, per ogni ξ ∈ R n , da

˜

v[ϕ](ξ) ≡ Z

∂Ω

S n (ξ − η)ϕ(η) dσ η , (2.10)

˜

w[ϕ](ξ) ≡ Z

∂Ω

ϕ(η) ∂

∂ν (η) S n (ξ − η) dσ η , (2.11) allora, se M (∂ η , ν (η)) `e definito come in (A.13),

w[ϕ](ξ) = ˜ w[ϕ](ξ) − ˜v[M (∂ η , ν (η))ϕ(η)](ξ) + 2µ v[M (∂ η , ν (η))ϕ(η)](ξ) ,

(2.12)

per ogni ξ ∈ R n .

(21)

9

Sia Ω un aperto limitato di R n e sia H 1 (Ω) lo spazio di Sobolev con norma kuk H

1

(Ω) =

 Z

Ω |u| 2 + X n

i=1

|∂ i u | 2 dx



12

.

Diciamo che u ∈ H 1 0 (Ω) se e solo se esiste una successione {u j } j ∈N ⊂ D(Ω) tale che u j → u in H 1 0 (Ω). ` E noto che, con il prodotto

(u, v) = Z

u · v + tr(Du Dv t ) dx ∀ u, v ∈ (H 1 0 (Ω)) n , (2.13) (H 1 0 (Ω)) n `e uno spazio di Hilbert (si veda, e.g, Brezis [B, IX.4]). Notiamo poi che, con una semplice applicazione della Disugualianza di Poincar´e (vedi ad esempio [B, IX.19 Disugualianza di Poincar´e]), possiamo verificare l’esistenza di c Ω > 0 tale che Z

u · u dx ≤ c Ω

Z

tr(Du Du t ) dx ∀ u ∈ (H 1 0 (Ω)) n . La norma indotta da (2.13) `e perci`o equivalente a quella indotta da

(u, v) 0 = Z

tr(Du Dv t ) dx ∀ u, v ∈ (H 1 0 (Ω)) n . (2.14) Ora, se A(∂ x )u = 0 in [(H 1 0 (Ω)) n ] 0 avremo R

Ω uA(∂ x )v dx = 0 per ogni v ∈ D n (Ω) e questo implica che, se E `e definito come nel Teorema A.2,

B[u, v] ≡ Z

E(v, u) dx (2.15)

= Z

λ div u div v + µ

2 tr (Du + Du t )(Dv + Dv t ) 

dx = 0 ∀ v ∈ (H 1 0 (Ω)) n . Usando la Disugualianza di Korn (vedi ad esempio Valent [V, III, §1]) `e facile mostrare che, poich´e λ e µ soddisfano le condizioni 2.2, B `e una forma bilineare continua e coerciva; ovvero che esiste una costante c > 0, tale che

B[v, v] ≥ ckvk 2 H

1

(Ω) ∀ v ∈ (H 1 0 (Ω)) n . (2.16) Possiamo allora dedurre la validit`a dei seguenti Lemmi, il primo dei quali `e di immediata verifica.

Lemma 2.2 Se Ω `e un aperto limitato di R n , l’unico elemento u ∈ (H 1 0 (Ω)) n tale che A(∂ x )u = 0 in [(H 1 0 (Ω)) n ] 0 `e u = 0.

Lemma 2.3 Sia m ∈ N \ {0, 1}, α ∈]0, 1[ ed Ω un aperto limitato di R n di classe C m,α . Siano f ∈ C m −2,α (clΩ, R n ) e g ∈ C m,α (∂Ω, R n ). Allora esiste ed `e unica u ∈ C m,α (clΩ, R n ) tale che

 A(∂ x )u = f in Ω,

u = g su ∂Ω.

(22)

10 Analiticit`a

Dimostrazione. Sia ˜ g una funzione di C m,α (clΩ, R n ) tale che ˜ g |∂Ω = g (vedi Lemma 1.3). Abbiamo osservato che, poich´e le costanti di Lam´e λ e µ soddisfano le condizioni (2.2), vale la (2.16) e quindi siamo nelle ipotesi di Valent [V, III, Teorema 7.2], esister`a allora una funzione u 0 ∈ C m,α (clΩ, R n ) tale che A(∂ x )u 0 = f −A(∂ x )˜ g in Ω ed u 0 |∂Ω = 0. ` E immediato verificare che la funzione cercata `e u ≡ u 0 + ˜ g.

L’unicit`a viene dal Lemma 2.2, infatti, se fosse u 0 un’altra soluzione, u 0 −u sarebbe una soluzione del problema omogeneo associato, e quindi u 0 − u = 0. 2 Mostriamo ora che la coppia (v + , v ) (vedi Teorema 2.1 (i)) `e l’unica soluzione di un problema accoppiato con dati al bordo.

Teorema 2.4 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈]0, 1[, δ ∈]0, 1[. Siano Φ ∈ C m,α (cl A δ , R n )

∩ A 0 clA

δ

, φ ≡ Φ |∂B

n

e sia ν φ la normale esterna di I[φ].

Allora, se f ∈ C m −1,α (∂ B n , R n ), il problema con dati al bordo

 

 

 

 

 

 

 

 

A(∂ ξ )v + = 0 in (D n Φ A + δ

  0 ,

A(∂ ξ )v = 0 in (D n Φ A δ

  0 ,

v + − v = 0 su φ (∂ B n ) ,

(Tdv + (ξ))[ν φ (ξ)] − (Tdv (ξ))[ν φ (ξ)] = −f ◦ φ ( −1) (ξ) ∀ ξ ∈ φ (∂B n ) , v + (ξ) = R

φ(∂ B

n

) Γ(ξ − η)f ◦ φ ( −1) (η) dσ η ∀ξ ∈ Φ ((1 − δ)∂B n ) , v (ξ) = R

φ(∂ B

n

) Γ(ξ − η)f ◦ φ (−1) (η) dσ η ∀ξ ∈ Φ ((1 + δ)∂B n ) , (2.17) ha un’unica soluzione (v + , v ) ∈ C m,α clΦ A + δ 

, R n 

× C m,α clΦ A δ  , R n 

e sar` a

v + (ξ) = R

φ(∂ B

n

) Γ(ξ − η)f ◦ φ (−1) (η) dσ η ∀ξ ∈ Φ A + δ 

, (2.18) v (ξ) = R

φ(∂ B

n

) Γ(ξ − η)f ◦ φ ( −1) (η) dσ η ∀ξ ∈ Φ A δ  .

Dimostrazione. Per le propriet`a dei potenziali di strato elencate nel Teorema 2.1 la coppia (v + , v ), con v + e v definite come in (2.18), `e una soluzione del problema (2.17). Dobbiamo mostrare che tale soluzione `e unica.

Supponiamo che esistano due coppie di soluzioni di (2.17):

(v + 1 , v 1 ) , (v + 2 , v 2 ) ∈ C m,α clΦ A + δ

 , R n 

× C m,α clΦ A δ

 , R n  .

Poniamo poi u + = v + 1 − v + 2 e u = v 1 − v 2 . Abbiamo allora u + = u su φ(∂ B n ) , u + ≡ 0 su Φ ((1 − δ)∂B n ), u ≡ 0 su Φ ((1 + δ)∂B n ), (Tdu + )[ν φ ] = (Tdu )[ν φ ] su φ(∂ B n ) , A(∂ x )u + ≡ 0 in Φ A + δ 

e A(∂ x )u ≡ 0 in Φ A δ 

. In particolare u + ed u sono ciascuna soluzione di un problema di Drichlet interno, perci`o, per il Teorema B.14, sar`a u + ∈ C 1 (clΦ A + δ 

, R n ) ∩ C (Φ A + δ 

, R n ) ed u ∈ C 1 (clΦ A δ

 , R n ) ∩ C (Φ A δ

 , R n ).

Sia ora u la funzione definita su Φ( A δ ) che coincide con u + su Φ( A + δ ) e con u su

(23)

11

Φ( A δ ). Allora per il Teorema A.2 e per le propriet`a di u + e u appena elencate calcoliamo che, per ogni v ∈ D n (Φ( A δ )),

hA(∂ x )u , v i = Z

Φ( A

δ

)

uA(∂ ξ )v dξ

= Z

Φ( A

+δ

)

u + A(∂ ξ )v dξ + Z

Φ( A

δ

)

u A(∂ ξ )v dξ

= Z

Φ( A

+δ

)

E(v, u + ) dξ + Z

Φ( A

δ

)

E(v, u ) dξ

= Z

Φ( A

+δ

)

vA(∂ ξ )u + dξ + Z

Φ( A

δ

)

vA(∂ ξ )u dξ = 0 ,

Poich´e D `e denso in H 1 0 , questo significa che A(∂ ξ )u = 0 in [(H 1 0 (Φ( A δ )) n ] 0 . Per il

Lemma 2.2 deve allora essere u = 0. 2

Il problema (2.17) `e definito su un dominio che dipende da Φ, a noi servir`a trasformarlo in un problema definito su un dominio fisso: su A δ . Dobbiamo per questo cambiare variabile in (2.17) tramite la funzione Φ ed abbiamo bisogno di sapere come si trasformano la normale e l’area di ipersuperfice: sar`a il contenuto del prossimo Lemma 2.5. C’`e per`o un problema. Infatti se m = 1 la mappa Φ `e differenziabile con continuit`a solo una volta, dobbiamo perci`o spiegare come intendiamo cambiare la variabile nell’operatore A(∂ ξ ) che compare in (2.17). Lo faremo nel successivo Lemma 2.6. Entrambi i lemmi sono di facile verifica.

Lemma 2.5 Sia Ω un sottoinsieme aperto e limitato di R n di classe C 1 . Sia ν la normale esterna di ∂Ω. Sia Φ ∈ C 1 (clΩ, R n ) ∩A 0 clΩ e sia ν Φ la normale esterna di ∂Φ(Ω). Allora:

(i) ν Φ (Φ(x)) = (DΦ(x))

−t

ν

(x)

| (DΦ(x))

−t

ν

(x) | per ogni x ∈ ∂Ω.

(ii) Se ω ∈ L 1 (Φ(∂Ω)), allora Z

Φ(∂Ω)

ω(η) dσ η = Z

∂Ω

ω ◦ Φ(y)σ n [Φ](y) dσ y ,

dove σ n [Φ] = | det DΦ|| (DΦ) −t ν |.

(iii) Se u ∈ C 1 (clΦ (Ω)), x ∈ ∂Ω, allora

∂u

∂ν Φ (Φ(x)) = D (u ◦ Φ) (x) (DΦ(x)) −1 (DΦ(x)) −t ν Ω

(DΦ(x)) −t ν Ω

,

per ogni x ∈ ∂Ω.

(24)

12 Analiticit`a

Lemma 2.6 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈]0, 1[ , Ω un aperto connesso e limitato di R n . Sia

Y m −1,α (Ω)



w = (w ij ) ∈ C m −1,α (clΩ, M n ×n ( R))

Z

tr(w Dψ t ) dx = 0 ∀ψ ∈ D n (Ω)

 , allora Y m−1,α (Ω) `e un sottospazio chiuso di C m−1,α (clΩ, M n ×n ( R)). Sia Π Ω la proiezione canonica di C m −1,α (clΩ, M n ×n ( R)) sullo spazio (di Banach) quoziente

Z m −1,α (Ω) ≡ C m −1,α (clΩ, M n×n ( R)) /Y m −1,α (Ω) .

Sia A[ ·, ·] la mappa definita da (C m,α (clΩ, M n ×n ( R)) ∩ A clΩ ) × C m,α (clΩ, R n ) in C m −1,α (clΩ, M n ×n ( R)) che a (Φ, v) associa

A[Φ, v] ≡ 

µDv (DΦ) −1 (DΦ) −t + (µ + λ) tr 

Du (DΦ) −1 

(DΦ) −t 

| det DΦ| . Sia (Φ, v) appartenente a (C m,α (clΩ, M n ×n ( R)) ∩ A clΩ ) ×C m,α (clΩ, R n ) e f ≡ (f ij ) appartenente a C m −1,α (clΩ, M n×n ( R)). Allora avremo

Π A[Φ, v] = Π [f ] (2.19)

se e solo se, per ogni i = 1, . . . , n ,



A(∂ x ) 

v ◦ Φ (−1) 

i = div 

f (i) ◦ Φ (−1)  

DΦ(Φ (−1) )  t

| det D(Φ (−1) ) |

 , (2.20) nel senso delle distribuzioni in Φ (Ω), cio`e in D 0 (Φ (Ω)) (f (i) `e la i-esima riga di f , ovvero f (i) ≡ (f ij ) j=1,...,n ).

Dimostrazione. Con un semplice argomento basato sulla convoluzione con una famiglia di mollificatori si pu`o mostrare che (2.19) `e equivalente all’equazione

Z

tr A[Φ, v] D(ϕ ◦ Φ) t  dx =

Z

tr f D(ϕ ◦ Φ) t 

dx ∀ϕ ∈ D n (Φ(Ω)) . (2.21) Usando le regole del cambio di variabile per gli integrali troviamo che

Z

tr A[Φ, v] D(ϕ ◦ Φ) t  dx

= Z

Φ(Ω)

µtr 

D(v ◦ Φ (−1) ) Dϕ t 

+ (µ + λ) (trDϕ) 

trD(v ◦ Φ (−1) )  dξ , per ogni ϕ ∈ D n (Φ (Ω)) e v ∈ C 1 (clΩ) , e che

Z

tr f D (ϕ ◦ Φ) t  dx

= Z

Φ(Ω)

tr 

f ◦ Φ (−1)t ◦ Φ (−1)  Dϕ t 

| det D(Φ (−1) ) | dξ ,

(25)

13

per ogni ϕ ∈ D n (Φ (Ω)) . Possiamo allora dedurre che (2.21) `e equivalente a (2.20).

2

Dal Teorema 2.4 e dai Lemmi 2.5, 2.6, segue immediatamente la validit`a del prossimo

Teorema 2.7 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈]0, 1[, δ ∈]0, 1[, sia Φ ∈ C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A 0 cl A

δ

e sia f ∈ C m −1,α (∂ B n , R n ). Allora la coppia (v + , v ) di C m,α clΦ A + δ

 , R n 

×C m,α clΦ A δ  , R n 

`e una soluzione di (2.17) se e solo se la coppia (V + , V ) ≡ (v + ◦Φ, v ◦Φ) appartenente a C m,α cl A + δ , R n 

×C m,α cl A δ , R n 

`e una soluzione del seguente problema con dati al bordo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Π A

+

δ

[A [Φ, V + ]] = 0 in Z m−1,α A + δ 

, Π A

δ

[A [Φ, V ]] = 0 in Z m −1,α A δ 

,

V + − V = 0 su ∂ B n ,

B 1 [V + , V , Φ]

≡ T(DΦ −t dV + )[ν Φ ] − T(DΦ −t dV )[ν Φ ] = −f su ∂B n , V + (x) = R

∂ B

n

Γ (Φ(x) − Φ(y)) f(y)σ n [Φ] (y)dσ y ∀x ∈ (1 − δ)∂B n , V (x) = R

∂ B

n

Γ (Φ(x) − Φ(y)) f(y)σ n [Φ] (y)dσ y ∀x ∈ (1 + δ)∂B n , (2.22) dove σ n [ ·], A[·, ·], Π A

+

δ

, Π A

δ

sono gi` a stati introdotti nei Lemmi 2.5, 2.6 mentre ν Φ `e definito da ν Φ|(D(Φ)) (D(Φ))

−t−t

ν ν

BnBn

| .

Esattamente come volevamo il problema (2.22) `e ora definito su un dominio fis- so. Come annunciato nell’introduzione il prossimo passo sar`a di riformulare (2.22) in un’equazione astratta in qualche spazio di Banach e di analizzarla tramite il Teorema della Funzione Implicita. Per fare questo abbiamo bisogno di verificare che le ipotesi del Teorema della Funzione Implicita sono verificate. In particolare vogliamo che i secondi membri delle ultime due equazioni di (2.22) dipendano ana- liticamente da Φ e da f . Questo `e il contenuto del prossimo Lemma che enunciamo senza dimostrare perch´e lo si pu`o ottenere ricalcando quanto gi`a fatto da Lanza e Rossi in [LR, Lemma 3.9] per il potenziale di semplice strato relativo all’operatore Laplaciano.

Lemma 2.8 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈]0, 1[, δ ∈]0, 1[, r ∈ [1 − δ, 1 + δ] \ {1} e sia Φ ∈ C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A 0 cl A

δ

. Allora la mappa V r di 

C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A 0 cl A

δ



× C m −1,α (∂ B n , R n ) in C m,α (r∂ B n , R n ) definita da

V r [Φ, f ](x) ≡ Z

∂B

n

Γ (Φ(x) − Φ(y)) f(y)σ n [Φ] (y) dσ y ∀x ∈ r∂B n ,

per ogni (Φ, f ) ∈ 

C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A 0 cl A

δ



× C m−1,α (∂ B n , R n ) `e reale analitica.

(26)

14 Analiticit`a

Il prossimo Lemma 2.9 generalizza il Lemma 2.3 e ci sar`a utile nella dimostra- zione del risultato principale della tesi, assieme al Lemma 2.3 servir`a a mostrare l’esistenza e l’unicit`a di una soluzione per il problema linearizzato associato a (2.22). La prova si basa sull’esistenza di una soluzione regolare per il problema di Dirichlet omogeneo, esistenza che dimostreremo nell’Appendice B grazie ad un metodo di Mikhlin [M] ed al teorema di regolarit`a per i potenziali di strato ottenuto da Miranda (vedi [Mi, Teorema 2.I]).

Lemma 2.9 Sia α ∈]0, 1[ ed Ω un aperto limitato di R n di classe C 1,α . Siano f ∈ C 0,α (clΩ, M n ×n ( R)) e g ∈ C 1,α (∂Ω, R n ), sia div f ≡ div f (1) , . . . , div f (n) 

, con f (i) ≡ (f ij ) j=1,...,n . Allora esiste ed `e unica u ∈ C 1,α (clΩ, R n ) tale che

 A (∂ x ) u = div f in [D n (Ω)] 0 ,

u = g su ∂Ω. (2.23)

Dimostrazione. Sia ˜ f ∈ C 0,α ( R n , R n ) una funzione a supporto compatto tale che ˜ f |clΩ = f (vedi Troianiello [T, Teorema 1.3] ). Consideriamo la distribuzione (Γ ∗ div ˜ f), si verifica facilmente che A(∂ x )(Γ ∗ div ˜ f) = div ˜ f e

Γ ∗ div ˜ f = div (Γ ∗ ˜ f) .

Si avr`a allora (Γ ∗ div ˜ f) ∈ C 0,α ( R n , R n ) (vedi ad esempio Miranda [Mi, Teorema 3.II]). Poniamo u 0 ≡ (Γ∗div ˜ f) |clΩ , la soluzione di (2.23) cercata `e allora u ≡ u 0 +w con w soluzione del problema di Dirichlet omogeneo con dato al bordo g − u 0|∂Ω , (vedi Teorema B.14). L’unicit`a segue con un argomento standard dal Lemma 2.2

(vedi Lemma 2.3, Dimostrazione). 2

Introduciamo ora qualche notazione. Poniamo v + [φ, f ](ξ) ≡

Z

φ(∂ B

n

)

f ◦ φ ( −1) (η) Γ(η − ξ) dσ η ∀ξ ∈ I[φ], v [φ, f ](ξ) ≡

Z

φ(∂ B

n

)

f ◦ φ ( −1) (η) Γ(η − ξ) dσ η ∀ξ ∈ E[φ],

per ogni φ ∈ C m,α (∂ B n , R n ) ∩ A ∂ B

n

, ed f ∈ C m −1,α (∂ B n , R n ), w + [φ, f ](ξ) ≡

Z

φ(∂ B

n

)



f ◦ φ ( −1) (η)(TdΓ (j) (η − ξ))[ν φ (η)] 

j=1,...,n dσ η ∀ξ ∈ I[φ], w [φ, f ](ξ) ≡

Z

φ(∂ B

n

)



f ◦ φ ( −1) (η)(TdΓ (j) (η − ξ))[ν φ (η)] 

j=1,...,n dσ η ∀ξ ∈ E[φ],

per ogni φ ∈ C m,α (∂ B n , R n ) ∩ A ∂ B

n

, f ∈ C m,α (∂ B n , R n ) (Γ (j) `e definito come nel

Teorema 2.1 (ii)). Allora, per il Teorema 2.1, sappiamo che v + [φ, f ], w + [φ, f ], e

v [φ, f ], w [φ, f ] si possono estendere con continuit`a a clI[φ] e a clE[φ], rispet-

tivamente. Denoteremo le estensioni corrispondenti con lo stesso simbolo delle

(27)

15

funzioni da estendere.

La prossima Proposizione 2.10 implicher`a immediatamente il risultato principale della tesi (vedi Teorema 2.11).

Proposizione 2.10 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈]0, 1[, δ ∈]0, 1[. Allora valgono le seguenti proposizioni

(i) Per ogni (Φ, f ) ∈ 

C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A 0 cl A

δ



×C m −1,α (∂ B n , R n ) siano V + [Φ, f ] e V [Φ, f ] le estensioni continue a cl A + δ ed a cl A δ di v +|∂B

n

, f ] ◦ Φ |A

+δ

e di v |∂B

n

, f ] ◦ Φ |A

δ

, rispettivamente. Allora le mappe V + : C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A 0 cl A

δ

 × C m−1,α (∂ B n , R n ) −→ C m,α cl A + δ , R n  , V : C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A 0 cl A

δ

 × C m −1,α (∂ B n , R n ) −→ C m,α cl A δ , R n  che mandano (Φ, f ) in V + [Φ, f ] ed in V [Φ, f ], rispettivamente, sono reali analitiche.

(ii) Per ogni (Φ, f ) ∈ 

C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A 0 cl A

δ



×C m,α (∂ B n , R n ) siano W + [Φ, f ] e W [Φ, f ] le estensioni continue a cl A + δ ed a cl A δ di w +|∂B

n

, f ] ◦ Φ |A

+δ

e di w |∂B

n

, f ] ◦ Φ |A

δ

, rispettivamente. Allora le mappe W + : C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A 0 cl A

δ

 × C m,α (∂ B n , R n ) −→ C m,α cl A + δ , R n  , W : C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A 0 cl A

δ

 × C m,α (∂ B n , R n ) −→ C m,α cl A δ , R n  , che mandano (Φ, f ) in W + [Φ, f ] ed in W [Φ, f ], rispettivamente, sono reali analitiche.

Dimostrazione. Dimostriamo prima la proposizione (i).

Siano X ≡ C m,α (cl A δ , R n ) × C m −1,α (∂ B n , R n ) e Y ≡ C m,α cl A + δ , R n 

× C m,α cl A δ , R n 

. Sia Λ l’operatore (non lineare) di U ≡ (C m,α (cl A δ , R n ) ∩A 0 cl A

δ

) × C m−1,α (∂ B n , R n ) × Y nello spazio di Banach

Z ≡ Z m −1,α A + δ

 × Z m −1,α A δ

 × C m,α (∂ B n , R n ) × C m −1,α (∂ B n , R n )

×C m,α ((1 − δ)∂B n , R n ) × C m,α ((1 + δ)∂ B n , R n ) , definito da

Λ 

Φ, f, V + , V 

≡  Π A

+

δ

 A 

Φ, V + 

, Π A

− δ

 A 

Φ, V 

, V + − V , B 1 

V + , V , Φ  + f, V |(1−δ)∂B +

n

− V 1 −δ [Φ, f ], V |(1+δ)∂B

n

− V 1+δ [Φ, f ]  , per ogni (Φ, f, V + , V ) ∈ U, dove B 1 [V + , V , Φ] e V 1±δ [Φ, f ] sono stati introdotti in (2.22) e nel Lemma 2.8, rispettivamante. Per il Teorema 2.7, il grafico dell’ope- ratore (V + [ ·, ·], V [ ·, ·]) di 

C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A 0 cl A

δ



× C m−1,α (∂ B n , R n ) in Y con-

cide con l’insieme su cui si annulla Λ. Possiamo quindi dedurre l’analiticit`a reale

(28)

16 Analiticit`a

dell’operatore (V + [ ·, ·], V [ ·, ·]) mostrando che si pu`o applicare il Teorema del- la Funzione Implicita per gli operatori reali analitici (vedi ad esempio Prodi ed Ambrosetti [PA, Teorema 11.6]) all’equazione Λ [Φ, f, V + , V ] = 0 in un intorno di (Φ 1 , f 1 , V +1 , f 1 ], V 1 , f 1 ]), per ogni (Φ 1 , f 1 ) ∈ 

C m,α (cl A δ , R n ) ∩ A 0 clA

δ



× C m −1,α (∂ B n , R n ). Il dominio U di Λ `e chiaramente aperto in X ×Y. Per definizione, Π A

+

δ

, Π A

δ

sono lineari e continue. Per il Lemma 1.1 e la Proposizione 1.8, A[Φ, V ± ] e B 1 [V + , V , Φ] + f dipendono in modo reale analitico da (Φ, f, V + , V ). Infine per il Lemma 2.8, e per la linearit`a e continuit`a della mappa di restrizione pos- siamo concludere che Λ `e reale analitico. Sar`a quindi sufficente mostrare che il differenziale d (V

+

,V

) Λ [Φ 1 , f 1 , V + [Φ 1 , f 1 ], V [Φ 1 , f 1 ]] `e un omeomorfismo lineare.

Poich´e poi d (V

+

,V

) Λ [Φ 1 , f 1 , V +1 , f 1 ], V 1 , f 1 ]] `e continuo, per il Teorema della Mappa Aperta baster`a mostrare che `e una biezione, ovvero che, per ogni (F + , F , g, g 1 , h + , h ) ∈ Z esiste ed `e unico (X + , X ) ∈ Y tale che

 

 

 

 

 

 

 

  Π A

+

δ

[A [Φ 1 , X + ]] = F + in Z m −1,α A + δ  , Π A

δ

[A [Φ 1 , X ]] = F in Z m −1,α A δ  , X + − X = g su ∂ B n ,

B 1 [X + , X , Φ 1 ] = g 1 su ∂ B n , X + = h + su (1 − δ)∂B n , X = h su (1 + δ)∂ B n .

(2.24)

Poich´e Π A

+

δ

e Π A

δ

sono suriettivi esisteranno f + ∈ C m−1,α cl A + δ , M n ×n ( R)  e f ∈ C m −1,α cl A δ , M n ×n ( R) 

tali che Π A

+

δ

[f + ] = F + e Π A

δ

[f ] = F . Poniamo φ 1 ≡ Φ 1|∂B

n

. Cambiando variabile tramite Φ 1 (si vedano i Lemma 2.5 e 2.6), `e facile mostrare che (2.24) `e equivalente al seguente sistema

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A (∂ x ) 

X + ◦ Φ ( 1 −1)

 = div b + in 

D n Φ 1 A + δ  0 , A (∂ x ) 

X ◦ Φ ( 1 −1) 

= div b in 

D n Φ 1 A δ

 0 , X + ◦ Φ (−1) 1 − X ◦ Φ (−1) 1 = g ◦ Φ (−1) 1 su φ 1 (∂ B n ) ,

Td(X + ◦ Φ ( 1 −1) )[ν φ

0

] − Td(X ◦ Φ ( 1 −1) )[ν φ

0

]

= g 1 ◦ Φ ( 1 −1) su φ 1 (∂ B n ) ,

X + ◦ Φ (−1) 1 = h + ◦ Φ (−1) 1 su Φ 1 ((1 − δ)∂B n ) , X ◦ Φ ( 1 −1) = h ◦ Φ ( 1 −1) su Φ 1 ((1 + δ)∂ B n ) .

(2.25)

dove div b ± ≡ (div b ± (1) , . . . , div b ± (n) ) e, posto che sia f + (i) ≡ (f ij + ) j=1,...,n , f − (i) ≡ (f ij ) j=1,...,n ,

b ± (i) ≡ 

f ± (i) ◦ Φ ( 1 −1)

  DΦ 1( 1 −1) )  t det 

D(Φ ( 1 −1) ) 

 . Proviamo l’esistenza di una soluzione per (2.25), poi l’unicit`a.

Sia (F + , F , g, g 1 , h + , h ) ∈ Z. Per il Lemma 1.1, si vede facilmente che allora

(29)

17

b ± ∈ C m−1,α clΦ 1 A ± δ

 , M n ×n ( R) 

, g ◦ Φ ( 1 −1) ∈ C m,α1 (∂ B n , R n )) , g 1 ◦ Φ ( 1 −1) ∈ C m −1,α1 (∂ B n )) , e h ± ◦ Φ (−1) 1 ∈ C m,α1 ((1 ∓ δ)∂B n ) , R n ) . Per i Lemmi 2.3 e 2.9, esisteranno a ∈ C m,α clΦ 1 A δ

 , R n 

ed a + ∈ C m,α clΦ 1 A + δ

 , R n  tali

che (

A (∂ x ) a = div b in 

D n Φ 1 A δ  0 , a = h ◦ Φ ( 1 −1) su Φ 1 ((1 + δ)∂ B n ) ,

e 

 

 

A (∂ x ) a + = div b + in 

D n Φ 1 A + δ

 0 , a + = a + g ◦ Φ (−1) 1 su Φ 1 (∂ B n ) = φ 1 (∂ B n ) , a + = h + ◦ Φ ( 1 −1) su Φ 1 ((1 − δ)∂B n ) ,

Sia ϕ = g 1 ◦ Φ ( 1 −1) − (Tda + )[ν φ

1

] + (Tda )[ν φ

1

], allora ϕ ∈ C m −1,α (φ 1 (∂ B n ) , R n ), e, per il Teorema 2.4, v ±1 , ϕ ◦ φ 1 ] ∈ C m,α clΦ 1 A ± δ , 

, R n 

. Si verifica allora che il sistema (2.25) ha una soluzione (X + , X ) ∈ Y se e solo se il sistema

 

 

 

 

 

 

 

 

A (∂ x ) ˜ X + = 0 in 

D n Φ 1 A + δ

 0 ,

A (∂ x ) ˜ X = 0 in 

D n Φ 1 A δ

 0 , X ˜ + − ˜ X = 0 su φ 1 (∂ B n ) ,

(Td ˜ X + )[ν φ

1

] − (Td ˜ X )[ν φ

1

] = 0 su φ 1 (∂ B n ) ,

X ˜ + = v +1 , ϕ ◦ φ 1 ] su Φ 1 ((1 − δ)∂B n ) , X ˜ = v 1 , ϕ ◦ φ 1 ] su Φ 1 ((1 + δ)∂ B n ) .

(2.26)

ammette una soluzione ( ˜ X + , ˜ X ) ∈ C m,α clΦ 1 A + δ

 , R n 

×C m,α clΦ 1 A δ

 , R n  , ed in tal caso vale

X ˜ + = X + ◦ Φ ( 1 −1) − a + + v +1 , ϕ ◦ φ 1 ] X ˜ = X ◦ Φ (−1) 1 − a + v 1 , ϕ ◦ φ 1 ] Infine il sistema (2.26) ha soluzione

( ˜ X + , ˜ X ) ∈ C m,α clΦ 1 A + δ

 , R n 

× C m,α clΦ 1 A δ

 , R n 

se e solo se esiste ˜ X ∈ C m,α (clΦ 1 ( A δ ) , R n ) tale che

 

A (∂ x ) ˜ X = 0 in [D n1 ( A δ ))] 0 , X = v ˜ +1 , ϕ ◦ φ 1 ] su Φ 1 ((1 − δ)∂B n ) , X = v ˜ [φ 1 , ϕ ◦ φ 1 ] su Φ 1 ((1 + δ)∂ B n ) ,

(2.27)

ed in tal caso vale ˜ X |clΦ

1

( A

+δ

) = X ˜ + , ˜ X |clΦ

1

( A

δ

) = X ˜ . Infatti, se ˜ X `e una soluzione di (2.27) ( ˜ X |clΦ

1

( A

+δ

), X ˜ |clΦ

1

( A

δ

)) `e una soluzione

di (2.27). Viceversa, sia ( ˜ X + , ˜ X ) una soluzione regolare di (2.26) e sia ˜ Y la

funzione definita su clΦ 1 ( A δ ) che coincidte con ˜ X + su clΦ 1 ( A + δ ) e con ˜ X su

clΦ 1 ( A δ ), allora `e possile mostrare con un argomento che si basa sul Teorema A.2

(vedi Teorema 2.4, Dimostrazione), che ˜ Y soddisfa le equazioni del sistema (2.27).

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