perturbazioni del supporto e della densit` a dei potenziali elastici di semplice e doppio strato

Tesi di Laurea A.A. 2003-2004

Dipendenza reale analitica da

perturbazioni del supporto e della densit` a dei potenziali elastici di semplice e doppio strato

Relatore: Ch.mo Prof. Massimo Lanza de Cristoforis

Controrelatore: Ch.mo Dott. Paolo Ciatti

Laureando: Matteo Dalla Riva

Universit` a degli Studi di Padova Facolt` a di Scienze MM.FF.NN.

Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata

Corso di Laurea in Matematica

Tesi di Laurea A.A. 2003-2004

Dipendenza reale analitica da

perturbazioni del supporto e della densit` a dei potenziali elastici di semplice e doppio strato

Relatore: Ch.mo Prof. Massimo Lanza de Cristoforis

Controrelatore: Ch.mo Dott. Paolo Ciatti

Laureando: Matteo Dalla Riva

Universit` a degli Studi di Padova Facolt` a di Scienze MM.FF.NN.

Dipartimento di Matematica Pura ed Applicata

Corso di Laurea in Matematica

a Tita, Gigi, Giulio, Andrea

Indice

Introduzione vii

Ringraziamenti ix

1 Preliminari tecnici e notazioni 1

2 Analiticit` a reale dei potenziali elastici di strato 7 A Teoria del potenziale per le equazioni dell’elastostatica 25

B Il problema di Dirichlet 41

Bibliografia 51

v

Introduzione

Il proposito di questa Tesi `e di studiare la dipendenza dei potenziali elastici di semplice e doppio strato dall’ipersuperfice di integrazione, cio`e dal supporto. As- sumeremo che tale ipersuperficie di integrazione sia di tipo sfera. Ovvero che, posto che sia B n ≡ 

x ∈ R ⁿ 

 |x| < 1

la palla unitaria aperta in R ⁿ , con n ≥ 2, la nostra ipersuperficie sia individuata da un diffeomorfismo φ di ∂ B n su φ (∂ B n ) ⊆ R ⁿ . In questo modo φ (∂ B ⁿ ) sar`a una variet`a (n − 1)-dimensionale immersa in R ⁿ . Considereremo poi l’insieme A _{∂ B}

delle φ ammissibili (vedi Lemma 1.5), e lo spazio di Schauder C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ). L’insieme C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) ∩ A ∂ B

`e aperto in C ^m,α (∂ B ⁿ , R ⁿ ) e possiamo pensare a φ come ad un punto di questo insieme.

Sia f ∈ C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ), allora la funzione f ◦ φ ^{( −1)} `e definita su φ (∂ B n ). Se A(∂ <sub>x</sub> )u + g = 0 `e l’equazione di equilibrio di un mezzo elastico omogeneo ed isotropo (u = (u ₁ , . . . , u _n ) si chiama vettore di spostamento e g = (g ₁ , . . . , g _n ) `e la forza che agisce sui punti di Ω, vedi Kupradze [KGBB, I, §12]) ha senso considerare il potenziale di semplice e doppio strato

v[φ, f ](ξ) ≡ Z

φ(∂ B

)

Γ (η − ξ) f ◦ φ ⁽⁻¹⁾ (η) dσ _η ∀ξ ∈ φ (∂B n ) , w[φ, f ](ξ) ≡

Z

φ(∂ B

)

 f ◦ φ ⁽⁻¹⁾ (η) 

T dΓ ^(j) (η − ξ) 

[ν _φ (η)] 

j=1,...,n dσ _η

∀ξ ∈ φ (∂B n ) ,

dove Γ( ·) `e la soluzione fondamentale dell’operatore A(∂ x ) in R <sup>n</sup> , T e Γ <sup>(j)</sup> sono definiti nel Capitolo 2 e ν <sub>φ</sub> `e la normale esterna dell’insieme I[φ] limitato da φ (∂ B n ) (vedi Capitolo 1). Possiamo poi considerare le funzioni

V [φ, f ](x) ≡ v[φ, f] ◦ φ(x) ∀x ∈ ∂B n , (0.1) W [φ, f ](x) ≡ w[φ, f] ◦ φ(x) ∀x ∈ ∂B n . (0.2) V [ ·, ·] `e allora un operatore di (C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) ∩ A ∂ B

) × C ^{m −1,α} (∂ B n , R ⁿ ) in C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) e manda (φ, f ) nella funzione V [φ, f ] ; W [ ·, ·] `e un operatore non lineare di (C ^m,α (∂ B ⁿ , R ⁿ ) ∩ A ∂ B

) × C ^m,α (∂ B ⁿ , R ⁿ ) in C ^m,α (∂ B ⁿ , R ⁿ ) e manda (φ, f ) nella funzione W [φ, f ].

Il proposito di questa Tesi `e di mostrare che questi operatori (non lineari) V [ ·, ·] e W [·, ·] sono reali analitici (vedi Teorema 2.11). Fatto questo calcoleremo il differenziale di ogni ordine di V e W (vedi Proposizione 2.13). Il problema qui

vii

viii

trattato `e gi`a stato risolto da Lanza e Rossi in [LR] per i potenziali di strato relativi all’operatore Laplaciano e noi seguiremo la traccia del loro lavoro.

Per primo considereremo l’operatore V [ ·, ·]. Infatti saremo in grado di esprimere l’operatore W [ ·, ·] tramite V [·, ·] e gli operatori corrispondenti a V [·, ·] e W [·, ·]

costruiti usando la soluzione fondamentale dell’operatore Laplaciano, in modo tale che l’analiticit`a di W [ ·, ·] potr`a essere dedotta da quella di V [·, ·], gi`a provata, e da quella dei corrispondenti operatori relativi all’operatore Laplaciano provata da Lanza e Rossi in [LR].

Descriviamo brevemente la nostra strategia.

Data una coppia (φ ₀ , f ₀ ) in (C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) ∩ A ∂ B

) × C ^{m −1,α} (∂ B n , R ⁿ ) esiste un 0 < δ < 1 ed un intorno aperto W ₀ di φ ₀ , tali che ogni φ appartenente a W ₀ si pu`o estendere ad un diffeomormismo E _φ

[φ], della stessa regolarit`a di φ, definito dall’anello

A δ ≡ 

x ∈ R ⁿ 

 1 − δ < |x| < 1 + δ su un intorno di φ(∂ B ⁿ ). Porremo

A ⁺ _δ ≡ 

x ∈ R ⁿ , 

 1 − δ < |x| < 1

, A ⁻ _δ ≡ 

x ∈ R ⁿ 

 1 < |x| < 1 + δ , e mostreremo che v[φ, f ] `e univocamente determinato da due funzioni v ⁺ e v ⁻ definite su E _φ

[φ]( A ⁺ δ ) e E _φ

[φ]( A ⁻ δ ) rispettivamente e tali che la coppia (v ⁺ , v ⁻ ) `e l’unica soluzione di un problema accoppiato con dati al bordo (vedi Teorema 2.4).

Trasformeremo poi questo problema, che `e definito su un dominio che dipende da E _φ

[φ], in un problema accoppiato con dati al bordo definito su un dominio fisso.

La soluzione di quest’ultimo sar`a una coppia di funzioni (V <sup>+</sup> , V <sup>−</sup> ) che determina univocamente V [φ, f ] e tale che V <sup>+</sup> e V <sup>−</sup> sono definite su A <sup>+</sup> δ e A <sup>−</sup> δ rispettiva- mente. Il passo successivo sar`a di riformulare il problema con dato al bordo per (V ⁺ , V ⁻ ) in un’equazione funzionale astratta in spazi di Banach e di analizzare questa tramite il Teorema della Funzione Implicita (sar`a fatto nella dimostrazione della Proposizione 2.10). Potremo cos`ı dedurre la reale analiticit`a di (V ⁺ , V ⁻ ) e quindi di V [ ·, ·].

La Tesi `e organizzata come segue. Il Capitolo 1 `e un capitolo di preliminari e

notazioni il cui scopo `e di definire alcuni degli oggetti che verranno poi usati. Nes-

suna delle dimostrazioni `e qui svolta; essendo i risultati citati tutti gi`a conosciuti

verranno solo dati dei riferimenti bibliografici per le dimostrazioni. Nel capito-

lo 2 per prima cosa elencheremo alcune propriet`a dei potenziali elastici di strato

(Teorema 2.1), poi introdurremo i problemi con dato al bordo per (v ⁺ , v ⁻ ) e per

(V ⁺ , V ⁻ ) e quindi dimostreremo il nostro principale Teorema 2.11. Infine nella

Proposizione 2.13, calcoleremo il differenziale di ogni ordine di V e W . Nell’Ap-

pendice A dedurremo per comodit`a del lettore i risultati elencati nel Teorema 2.1

tramite la Teoria del Potenziale classica. Nell’Appendice B ci occuperemo della

risolubilit`a del problema di Dirichlet per l’operatore A(∂ _x ).

Ringraziamenti

Il primo ringraziamento va ai miei genitori che mi hanno sostenuto per tutto il tempo necessario ad arrivare alla laurea.

Poi ringrazio tutti i professori che ho incontrato nei miei anni di universit`a: ognu- no di loro ha aggiunto qualcosa al mio amore per la Matematica, in particolare il Prof. M. Lanza de Cristoforis, che mi ha seguito con grande attenzione e premura nella stesura di questa Tesi.

Ringrazio anche coloro che, con le loro domande, osservazioni, congetture e piccole sfide, hanno reso pi` u avvincente la mia cariera di studente: Dario Benetti, Luca Prelli, Luca Mertens, Raffaele Marigo.

Infine ringrazio Andrea che con dolcezza e comprensione mi ha aiutato a non pren- dermi troppo sul serio.

Padova, settembre 2004 Matteo Dalla Riva

ix

Capitolo 1

Preliminari tecnici e notazioni

Denoteremo la norma dello spazio normato X con k · k ^X . Dati due spazi normati X e Y forniremo lo spazio prodotto X × Y della norma definita da k(x, y)k X ×Y ≡ kxk X + kyk Y per ogni (x, y) ∈ X × Y, mentre in R ⁿ useremo la norma euclidea. Per le definizioni standard di calcolo negli spazi normati faremo riferimento a Prodi e Ambrosetti [PA]. Il simbolo N indica l’insieme dei numeri naturali compreso lo 0. In tutta la Tesi n sar`a un elemento di N \ {0, 1}. La funzione inversa di una funzione invertibile f si denoter`a con f ^{( −1)} , mentre il reciproco di una funzione a valori complessi g, o l’inversa di una matrice A, saranno denotate con g ⁻¹ e A ⁻¹ , rispettivamente. Un puntino “ ·” denoter`a il prodotto scalare in R <sup>n</sup> . Se A `e una matrice, indicheremo con A ^t la matrice trasposta di A, con tr A la traccia di A, con det A il determinante di A e con A _ij l’elemento di posto (i, j) di A. Se inoltre A `e invertibile, porremo A ^−t ≡ A ⁻¹
t

. L’insieme delle matrici r × s ad elementi reali si indicher`a con M <sub>r ×s</sub> ( R). Se x ∈ R <sup>n</sup> , x <sub>j</sub> sar`a la j-esima coordinata di x, |x| la norma euclidea di x, porremo poi (x ⁰ , x _n ) ≡ x con x ⁰ ≡ (x 1 , . . . , x _n−1 ). Se x ∈ R ⁿ e A ∈ M n ×n ( R) scriveremo xA intendendo x ^t A, notiamo che tale scrittura non crea ambiguit`a. Se D ⊆ R <sup>n</sup> denoteremo con cl D la chiusura di D, se poi x ∈ R <sup>n</sup> sar`a dist(x, D) ≡ inf 

|y − x| 

 y ∈ D

. Se B ⊆ R ⁿ `e Lebesgue-misurabile indicheremo con |B| la sua misura n-dimensionale di Lebesgue. Per ogni R > 0 e x ∈ R <sup>n</sup> , B <sup>n</sup> (x, R) sar`a la palla {y ∈ R ⁿ | |y − x| < R}. Per brevit`a porremo B n ≡ B n (0, 1).

Sia Ω un sottoinsieme aperto di R ⁿ . Lo spazio delle funzioni a valori reali m volte differenziabili con continut`a si denoter`a con C ^m (Ω, R), o pi`u semplicemente con C <sup>m</sup> (Ω), se g ∈ C <sup>m</sup> (Ω) si indicher`a con ∇g il vettore gradiente di g e cio`e il vet- tore ( _∂x ^∂g

i

) i=1,...,n . D(Ω) denoter`a lo spazio delle funzioni di C <sup>∞</sup> (Ω) con supporto compatto. Il duale D <sup>0</sup> (Ω) denoter`a lo spazio delle distribuzioni in Ω, se g ∈ D ⁰ (Ω) e ϕ ∈ D(Ω) indicheremo con hg, ϕi la valutazione di g su ϕ; con δ 0 indicheremo la distribuzione delta di Dirac, definita da hg, ϕi = ϕ(0), per ogni ϕ ∈ D(Ω). Sia f ∈ C ^m (Ω, R ⁿ ) = (C ^m (Ω)) ⁿ . La s-esima componente di f si indicher`a con f <sub>s</sub> , e Df denoter`a la matrice gradiente 

∂f

∂x



s,l=1,...,n . Sia η ≡ (η 1 , . . . , η n ) ∈ N ⁿ ,

|η| ≡ η 1 + · · · + η n . Allora D ^η f sar`a ^∂

^f

∂x

...∂x

. Si denoter`a con C ^m (clΩ) il sot-

1

2 Preliminari tecnici

tospazio di C ^m (Ω) delle funzioni f estendibili con continuit`a a clΩ assieme alle loro derivate D <sup>η</sup> f di ordine |η| ≤ m. Il sottospazio di C <sup>m</sup> (clΩ) le cui funzioni han- no derivate di ordine m H¨older continue con esponente α ∈]0, 1], si denoter`a con C ^m,α (clΩ), (vedi ad esempio Gilbarg e Trudinger [GT, §4.1]). Sia D ⊆ R ⁿ . Allo- ra C ^m,α (clΩ, D) denoter`a 

f ∈ (C ^m,α (clΩ)) ⁿ 

 f(clΩ) ⊆ D

. C ^m,α (clΩ, M _{r ×s} ( R)) denoter`a lo spazio delle funzioni di clΩ in M _r×s ( R) le cui componenti sono di classe C ^m,α . Sia Ω un sottoinsieme aperto e limitato di R ⁿ . Allora C ^m (clΩ) con la norma kfk m ≡ P

|η|≤m sup _clΩ |D ^η f | `e uno spazio di Banach. Se f ∈ C <sup>0,α</sup> (clΩ), allora il suo quoziente di H¨older |f : Ω| α `e sup n

|f(x)−f(y)|

|x−y|

  x, y ∈ cl Ω, x 6= y o

. Lo spazio C ^m,α (clΩ) con la norma kfk m,α = kfk m + P

|η|=m |D ^η f | α , `e uno spazio di Banach.

Diremo che un sottoinsieme aperto e limitato di R ⁿ `e di classe C <sup>m</sup> o di classe C <sup>m,α</sup> se `e una variet`a con bordo immersa in R <sup>n</sup> di classe C <sup>m</sup> o C <sup>m,α</sup> , rispettivamente (vedi ad esempio Gilbarg e Trudinger [GT, §6.2]). Per rendere pi`u compatte le nostre notazioni porremo C ^m,0 ≡ C ^m .

Raccogliamo nella prossima proposizione alcune popriet`a conosciute degli spazi di Schauder di cui avremo bisogno nel seguito (vedi ad esempio Gilbarg e Trudinger [GT, §4.2] e Lanza [L, §2, Lemmi 3.1, 4.26, Teorema 4.28]).

Lemma 1.1 Siano m, r ∈ N, r > 0; α, β ∈]0, 1]. Siano Ω, Ω 1 aperti connessi e limitati R ⁿ di classe C ¹ . Allora

(i) Il prodotto puntuale `e continuo in C ^m,α (clΩ).

(ii) L’immersione di C ^m+1 (clΩ) in C ^m,1 (clΩ) `e continua.

(iii) Se α > β, l’immersione di C ^m,α (clΩ) in C ^m,β (clΩ) `e compatta.

(iv) Se m > 0 e (φ, ψ) ∈ C ^m,α (clΩ ₁ ) × C ^m,α (clΩ, clΩ ₁ ), allora φ ◦ ψ ∈ C ^m,α (clΩ).

(v) Se m > 0, φ ∈ C ^m,α (clΩ, R ⁿ ), φ `e iniettiva e detDφ 6= 0 in clΩ, allora la funzione inversa φ ^{( −1)} ∈ C ^m,α (clφ(Ω), R ⁿ ).

(vi) Il prodotto matriciale puntuale `e bilineare e continuo, e quindi reale analitico, dallo spazio C ^m,α (clΩ, M _r×r ( R))×C ^m,α (clΩ, M _r×r ( R)) nello spazio C ^m,α (clΩ, M _{r ×r} ( R)).

(vii) La mappa F 7→ F ⁻¹ `e reale analitica dall’insieme 

F ∈ C ^m,α (cl Ω, M _r×r ( R))   det F 6= 0 su clΩ} in se stesso, ed il suo differenziale in F 0 `e dato dalla mappa M 7→ −F ₀ ⁻¹ · M · F ₀ ⁻¹ .

Notiamo che nel seguito “analitico” significher`a sempre “reale analitico”. Per la definizione e le propriet`a degli operatori analitici facciamo riferimento a Prodi e Ambrosetti [PA, p. 89].

Come annunciato nell’Introduzione avremo a che fare con diffeomorfismi fra

sottoinsiemi aperti di R ⁿ . Ci servir`a il seguente Lemma (vedi [L, Corollario 4.24,

Prop. 4.29]).

3

Lemma 1.2 Sia Ω un sottoinsieme limitato e aperto di R ⁿ di classe C ¹ . Allora l’insieme

A _clΩ ≡ 

Φ ∈ C ¹ (clΩ, R ⁿ ) 

 Φ `e iniettiva, det DΦ(x) 6= 0, ∀x ∈ clΩ

`e aperto in C ¹ (clΩ, R ⁿ ).

Sia ora m ∈ N \ {0}, α ∈ [0, 1]. ` E ben noto che un sottoinsieme M di R ⁿ

`e una variet`a differenziale di dimensione s e classe C ^m,α immersa in R ⁿ se, per ogni P ∈ M, esistono un intorno W di P in R ⁿ , ed una parametrizzazione ψ ∈ C ^m,α (cl B s , R ⁿ ) tali che ψ `e un omeomorfismo di B s su W ∩ M, ψ(0) = P , e Dψ ha rango s in tutti i punti di cl B s . Se supponiamo inoltre che M sia compatta, esisteranno P ₁ ,. . . ,P _r ∈ M, e {ψ i } i=1,...,r , tali che, per ogni i = 1, . . . , r, ψ _i ∈ C ^m,α (cl B ^s , R ⁿ ) sia la parametrizzazione di un intorno W i ∩ M di P i in M e che

∪ ^r i=1 (W _i ∩ M) = M. Denoteremo con C ^m,α (M ) lo spazio lineare delle funzioni f di M in R ⁿ tali che f ◦ ψ i ∈ C ^m,α (cl B ^s ) per ogni i = 1, . . . , r, e porremo

kfk C

(M ) ≡ sup

i=1,...,r kf ◦ ψ i k C

(cl B

) ∀f ∈ C ^m,α (M ) .

E ben noto che con diverse scelte della famiglia finita di parametrizzazioni locali ` si ottengono norme equivalenti. Inoltre lo spazio C ^m,α (M ) , k · k C

(M )

`e com- pleto. Abbiamo allora il seguente (vedi ad esempio Troianiello [T, Teorema 1.3, Lemma 1.5])

Lemma 1.3 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈ [0, 1]. Sia Ω un aperto connesso e limitato di R ⁿ di classe C ^m,α . Allora

(i) ∂Ω `e una variet` a di classe C ^m,α e codimensione 1 e la mappa di restrizione

`e lineare e continua da C ^k,α (clΩ) in C ^k,α (∂Ω) per ogni k = 0, . . . , m.

(ii) Esiste un operatore di estensione F lineare e continuo definito da C ^m,α (∂Ω) in C ^m,α (cl Ω) tale che F[f ] _|∂Ω = f per ogni f ∈ C ^m,α (∂Ω).

(iii) Sia R > 0 tale che clΩ ⊆ B n (0, R). Allora esiste un operatore lineare e continuo F R di C ^m,α (clΩ) in C ^m,α (cl B ⁿ (0, R)) tale che F R [f ] _|clΩ = f per ogni f ∈ C ^m,α (clΩ).

Introduciamo ora la seguente variante di [L, Prop. 4.29] (la si pu`o ottenere con una leggera modifica della dimostrazione della Proposizione 4.29 [L]).

Lemma 1.4 Sia K un sottoinsieme compatto di R ⁿ . Sia C ^0,1 (K, R ⁿ ) lo spazio delle funzioni Lipschitziane di K in R ⁿ e sia |f : K| 1 la costante di Lipschitz di f ∈ C ^0,1 (K, R ⁿ ). Poniamo

l _K [f ] ≡ inf

 |f(x) − f(y)|

|x − y|

  x, y ∈ K, x 6= y 

∀f ∈ C ^0,1 (K, R ⁿ ).

Allora l[ ·] `e una mappa continua definita da C ^0,1 (K, R ⁿ ), dotato della seminorma

|· : K| 1 , in [0, + ∞[.

4 Preliminari tecnici

Il seguente Lemma `e una variante di [L, Teorema 4.18, Prop. 4.29] dimostrata in [LR, Lemma 2.5].

Lemma 1.5 Sia φ ∈ C ¹ (∂ B n , R ⁿ ). Allora l _{∂ B}

[φ] > 0 se e solo se φ `e iniettiva ed il differenziale dφ(p) `e iniettivo per ogni p ∈ ∂B n . La mappa l _{∂ B}

[ ·] di C ¹ (∂ B ⁿ , R ⁿ ) in [0, + ∞[ `e continua e l’insieme

A _{∂ B}

≡ 

φ ∈ C ¹ (∂ B ⁿ , R ⁿ ) 

 l _{∂ B}

[φ] > 0

`e aperto in C ¹ (∂ B ⁿ , R ⁿ ).

Notiamo che, se φ ∈ A ∂ B

, allora, per il Teorema di separazione di Jordan-Leray (vedi ad esempio Deimling [D, Teorema 5.2]), l’insieme R ⁿ \φ(∂B n ) ha esattamente due componenti connesse. Denoteremo con I[φ] la componente limitata e con E[φ]

quella illimitata. Abbiamo allora il seguente (vedi [LR, Lemma 2.6])

Lemma 1.6 Siano m ∈ N \ {0} e α ∈ [0, 1]. Se φ ∈ C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) ∩ A ∂ B

, allora I[φ] `e un aperto limitato e connesso di R ⁿ di classe C ^m,α , e ∂I[φ] = φ(∂ B n ) =

∂E[φ].

Riportiamo qui di seguito le Proposizioni 2.7, 2.8 ed il Lemma 2.9 di [LR]. La prima Proposizione mostra che ogni φ ammissibile si pu`o estendere ad un diffeo- morfismo definito su un intorno anulare di ∂ B n . La seconda mostra l’esitenza locale di un operatore di estensione per diffeomorfismi. Il Lemma introduce l’insieme di diffeomorfismi A ⁰ _{cl A}

δ

che ci servir`a in seguito.

Proposizione 1.7 Siano m ∈ N \ {0} e α ∈ [0, 1]. Se φ ∈ C ^m,α (∂ B ⁿ , R ⁿ ) ∩ A ∂ B

, allora esistono δ ∈]0, 1[ e Φ ∈ C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) ∩ A cl A

tali che

(i) Φ(x) = φ(x) per ogni x ∈ ∂B n . (ii) Φ A ⁺ _δ

`e un aperto limitato e connesso di R ⁿ di classe C ^m,α contenuto in I[φ], e ∂Φ A ⁺ δ

= Φ ((1 − δ)∂B n ) ∪ Φ (∂B n ).

(iii) Φ A ⁻ _δ

`e un aperto limitato e connesso di R ⁿ di classe C ^m,α contenuto in E[φ], e ∂Φ A ⁻ δ

= Φ (∂ B ⁿ ) ∪ Φ ((1 + δ)∂B n ).

Proposizione 1.8 Siano m ∈ N \ {0} e α ∈ [0, 1]. Se φ ∈ C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) ∩A ∂ B

, allora esistono δ ∈]0, 1[ e Φ 0 ∈ C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) ∩ A cl A

soddisfacenti (i), (ii), (iii) della Proposizione 1.7, un intorno aperto W 0 di φ 0 contenuto in C ^m,α (∂ B ⁿ , R ⁿ ) ∩ A _{∂ B}

ed un operatore di estensione lineare e continuo F ₀ di C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) in C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) tali che la mappa E ₀ di C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) in C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) definita da

E ₀ [φ] ≡ Φ 0 + F ₀ [φ − φ 0 ] ∀φ ∈ C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) (1.1)

mappa W ₀ in C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) ∩ A cl A

, e soddisfa le seguenti condizioni.

5

(i) E ₀ [φ] _|∂B

= φ, per ogni φ ∈ W 0 .

(ii) E ₀ [φ](x) = Φ ₀ (x), per ogni x ∈ (1 − δ)∂B n ∪ (1 + δ)∂B n e per ogni φ ∈ W 0 . (iii) E ₀ [φ] A ⁺ δ

`e un aperto connesso e limitato di R ⁿ di classe C ^m,α contenuto in I[φ], e ∂ E ₀ [φ] A ⁺ _δ

= Φ ₀ ((1 − δ)∂B n ) ∪ φ (∂B n ), per ogni φ ∈ W 0 . (iv) E ₀ [φ] A ⁻ δ

`e un aperto connesso e limitato di R ⁿ di classe C ^m,α contenuto in E[φ], e ∂ E ₀ [φ] A ⁻ _δ

= φ (∂ B n ) ∪ Φ 0 ((1 + δ)∂ B n ), per ogni φ ∈ W 0 .

Lemma 1.9 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈ [0, 1] e δ ∈]0, 1[. Allora (i) Se Φ ∈ A cl A

si ha φ ≡ Φ |∂B

∈ A ∂ B

.

(ii) L’insieme A ⁰ _{cl A}

≡ 

Φ ∈ A cl A

  Φ(A ⁺ _δ ) ⊆ I[Φ _|∂B

]

`e aperto in A _{cl A}

e Φ( A ⁻ _δ ) ⊆ E[Φ _|∂B

] per ogni Φ ∈ A ⁰ _{cl A}

.

(iii) Se Φ ∈ C ^m,α (cl A ^δ , R ⁿ ) ∩ A ⁰ _{cl A}

, allora sia Φ( A ⁺ δ ) che Φ( A ⁻ δ ) sono aperti di classe C ^m,α e

∂Φ A ⁺ δ

= Φ ((1 − δ)∂B n ) ∪ Φ (∂B n ) ,

∂Φ A ⁻ δ

= Φ ((1 + δ)∂ B ⁿ ) ∪ Φ (∂B n ) .

Notiamo che, per come `e definito, l’operatore E 0 [ ·] della Proposizione 1.8 ha

valori in C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) ∩ A ⁰ _{cl A}

.

Capitolo 2

Analiticit` a reale dei potenziali elastici di strato

Sia Γ la funzione di R ⁿ \ {0} in M n ×n ( R) definita da Γ _ij (ξ) ≡ 3µ + λ

2µ(2µ + λ) δ _ij S _n (ξ) − µ + λ 2µ(2µ + λ)

1 σ _n

ξ i ξ j

|ξ| ⁿ ∀ξ ∈ R ⁿ \ {0} , (2.1) dove S _n `e la soluzione fondamentale dell’operatore Laplaciano, σ _n denota la misura (n −1) dimensionale di ∂B n , λ e µ sono le costanti reali di Lam´e e devono soddisfare le condizioni

µ > 0 , 2µ + nλ > 0 . (2.2)

Allora Γ `e la soluzione fondamentale dell’operatore A(∂ _x ) ≡ µ∆ + (µ + λ)∇div

(vedi Teorema A.1). Vedremo che le condizioni (2.2) sono necessarie e sufficenti perch´e la forma bilineare B[ ·, ·] canonicamente associata ad A(∂ x ) (vedi (2.15) e Teorema A.2) sia coerciva.

Sia T la mappa lineare di M _n×n ( R) in se stesso definita da TA ≡ λ(trA)1 n + µ(A + A ^t ) ,

per ogni A ∈ M n ×n ( R). Se f `e una funzione differenziabile di R <sup>n</sup> in R <sup>n</sup> e {dx j } j=1,...,n `e la base canonica dello spazio delle 1-forme lineari su R ⁿ porremo

Tdf (x) ≡  X

j=1,...,n

(TDf (x)) ij dx j



i=1,...,n . (2.3)

Per ogni i = 1, . . . , n e per ogni ν ∈ R ⁿ risulter`a allora

(Tdf (x)) [ν] = λ divf (x) ν + µ Df (x) + Df (x) ^t

ν , (2.4)

(vedi Kupradze [KGBB, I, §13]).

Raccogliamo nel seguente Teorema alcuni risultati dimostrati nell’Appendice A (vedi Teoremi A.6, A.12, A.13 e A.11).

7

8 Analiticit`a

Teorema 2.1 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈]0, 1[. Sia Ω un sottoinsieme aperto e limitato di R ⁿ di classe C ^m,α . Allora si verificano le seguenti proposizioni

(i) Se ϕ ∈ C ^{m −1,α} (∂Ω, R ⁿ ), allora la funzione v[ϕ] di R ⁿ in R ⁿ definita da v[ϕ](ξ) ≡

Z

∂Ω

Γ(ξ − η)ϕ(η) dσ η ∀ξ ∈ R ⁿ (2.5)

`e continua in R ⁿ e vale A(∂ _x )v[ϕ] ≡ 0 in R ⁿ \ ∂Ω. La funzione v ⁺ ≡ v[ϕ] _|clΩ appartiene a C ^m,α (clΩ, R ⁿ ) e la funzione v ⁻ ≡ v[ϕ] _|R

_\Ω appartiene a C ^m,α (cl B ⁿ (0, R) \Ω, R ⁿ ) per tutti gli R > 0 tali che clΩ ⊆ B n (0, R). Inoltre, se ν _Ω (x) `e la normale esterna di ∂Ω in x,

(Tdv ⁺ (ξ))[ν _Ω (ξ)] − (Tdv ⁻ (ξ))[ν _Ω (ξ)] = −ϕ(ξ) ∀ξ ∈ ∂Ω. (2.6) (ii) Sia ϕ ∈ C ^m,α (∂Ω, R ⁿ ) e sia w[ϕ] ≡ (w j [ϕ]) _j=1,...,n la funzione di R ⁿ \ ∂Ω in

R ⁿ definita per ogni j = 1, . . . , n da w _j [ϕ](ξ) ≡

Z

∂Ω

ϕ(η)(TdΓ ^(j) (η − ξ))[ν Ω (η)] dσ _η ∀ξ ∈ R ⁿ \ ∂Ω (2.7) dove si `e posto Γ ^(j) ≡ (Γ ji ) _i=1,...,n . Allora: A(∂ _x )w[ϕ] ≡ 0 in R ⁿ \ ∂Ω, la restizione w[ϕ] _|Ω ha un’unica estensione w ⁺ ∈ C ^m,α (clΩ, R ⁿ ), e la restrizione w[ϕ] _|R

_\clΩ ha un’unica estensione w ⁻ ∈ C ^m,α ( R ⁿ \ Ω, R ⁿ ), inoltre

w ⁺ (ξ) − w ⁻ (ξ) = ϕ(ξ) ∀ξ ∈ ∂Ω. (2.8) Se ξ ∈ ∂Ω, allora, per ogni j = 1, . . . , n,

w ^± _j (ξ) = ± 1

2 ϕ _j (ξ) + Z _∗

∂Ω

ϕ(η)(TdΓ ^(j) (η − ξ))[ν Ω (η)] dσ _η , (2.9) dove l’integrale si intende in senso singolare (vedi ad esempio Mikhlin [M,

§5]).

(iii) Se ϕ ∈ C ^1,α (∂Ω, R ⁿ ), v[ϕ] e w[ϕ] sono come in (2.5), (2.7), ripettivamente, e ˜ v[ϕ] , ˜ w[ϕ] sono definite, per ogni ξ ∈ R ⁿ , da

˜

v[ϕ](ξ) ≡ Z

∂Ω

S _n (ξ − η)ϕ(η) dσ η , (2.10)

˜

w[ϕ](ξ) ≡ Z

∂Ω

ϕ(η) ∂

∂ν _Ω (η) S _n (ξ − η) dσ η , (2.11) allora, se M (∂ η , ν _Ω (η)) `e definito come in (A.13),

w[ϕ](ξ) = ˜ w[ϕ](ξ) − ˜v[M (∂ η , ν _Ω (η))ϕ(η)](ξ) + 2µ v[M (∂ η , ν _Ω (η))ϕ(η)](ξ) ,

(2.12)

per ogni ξ ∈ R ⁿ .

9

Sia Ω un aperto limitato di R ⁿ e sia H ¹ (Ω) lo spazio di Sobolev con norma kuk H

(Ω) =

 Z

Ω |u| ² + X n

i=1

|∂ i u | ² dx



.

Diciamo che u ∈ H ¹ 0 (Ω) se e solo se esiste una successione {u j } j ∈N ⊂ D(Ω) tale che u j → u in H ¹ 0 (Ω). ` E noto che, con il prodotto

(u, v) = Z

Ω

u · v + tr(Du Dv ^t ) dx ∀ u, v ∈ (H ¹ 0 (Ω)) ⁿ , (2.13) (H ¹ ₀ (Ω)) ⁿ `e uno spazio di Hilbert (si veda, e.g, Brezis [B, IX.4]). Notiamo poi che, con una semplice applicazione della Disugualianza di Poincar´e (vedi ad esempio [B, IX.19 Disugualianza di Poincar´e]), possiamo verificare l’esistenza di c Ω > 0 tale che Z

Ω

u · u dx ≤ c Ω

Z

Ω

tr(Du Du ^t ) dx ∀ u ∈ (H ¹ 0 (Ω)) ⁿ . La norma indotta da (2.13) `e perci`o equivalente a quella indotta da

(u, v) ⁰ = Z

Ω

tr(Du Dv ^t ) dx ∀ u, v ∈ (H ¹ 0 (Ω)) ⁿ . (2.14) Ora, se A(∂ _x )u = 0 in [(H ¹ ₀ (Ω)) ⁿ ] ⁰ avremo R

Ω uA(∂ _x )v dx = 0 per ogni v ∈ D ⁿ (Ω) e questo implica che, se E `e definito come nel Teorema A.2,

B[u, v] ≡ Z

Ω

E(v, u) dx (2.15)

= Z

Ω

λ div u div v + µ

2 tr (Du + Du ^t )(Dv + Dv ^t )

dx = 0 ∀ v ∈ (H ¹ 0 (Ω)) ⁿ . Usando la Disugualianza di Korn (vedi ad esempio Valent [V, III, §1]) `e facile mostrare che, poich´e λ e µ soddisfano le condizioni 2.2, B `e una forma bilineare continua e coerciva; ovvero che esiste una costante c > 0, tale che

B[v, v] ≥ ckvk ² _H

_(Ω) ∀ v ∈ (H ¹ 0 (Ω)) ⁿ . (2.16) Possiamo allora dedurre la validit`a dei seguenti Lemmi, il primo dei quali `e di immediata verifica.

Lemma 2.2 Se Ω `e un aperto limitato di R <sup>n</sup> , l’unico elemento u ∈ (H <sup>1</sup> <sub>0</sub> (Ω)) <sup>n</sup> tale che A(∂ <sub>x</sub> )u = 0 in [(H <sup>1</sup> <sub>0</sub> (Ω)) <sup>n</sup> ] <sup>0</sup> `e u = 0.

Lemma 2.3 Sia m ∈ N \ {0, 1}, α ∈]0, 1[ ed Ω un aperto limitato di R ⁿ di classe C ^m,α . Siano f ∈ C ^{m −2,α} (clΩ, R ⁿ ) e g ∈ C ^m,α (∂Ω, R ⁿ ). Allora esiste ed `e unica u ∈ C ^m,α (clΩ, R ⁿ ) tale che

 A(∂ _x )u = f in Ω,

u = g su ∂Ω.

10 Analiticit`a

Dimostrazione. Sia ˜ g una funzione di C ^m,α (clΩ, R ⁿ ) tale che ˜ g _|∂Ω = g (vedi Lemma 1.3). Abbiamo osservato che, poich´e le costanti di Lam´e λ e µ soddisfano le condizioni (2.2), vale la (2.16) e quindi siamo nelle ipotesi di Valent [V, III, Teorema 7.2], esister`a allora una funzione u <sub>0</sub> ∈ C <sup>m,α</sup> (clΩ, R <sup>n</sup> ) tale che A(∂ <sub>x</sub> )u <sub>0</sub> = f −A(∂ x )˜ g in Ω ed u <sub>0 |∂Ω</sub> = 0. ` E immediato verificare che la funzione cercata `e u ≡ u 0 + ˜ g.

L’unicit`a viene dal Lemma 2.2, infatti, se fosse u <sup>0</sup> un’altra soluzione, u <sup>0</sup> −u sarebbe una soluzione del problema omogeneo associato, e quindi u <sup>0</sup> − u = 0. 2 Mostriamo ora che la coppia (v <sup>+</sup> , v <sup>−</sup> ) (vedi Teorema 2.1 (i)) `e l’unica soluzione di un problema accoppiato con dati al bordo.

Teorema 2.4 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈]0, 1[, δ ∈]0, 1[. Siano Φ ∈ C ^m,α (cl A δ , R ⁿ )

∩ A ⁰ _clA

, φ ≡ Φ _|∂B

e sia ν _φ la normale esterna di I[φ].

Allora, se f ∈ C ^{m −1,α} (∂ B ⁿ , R ⁿ ), il problema con dati al bordo

 

 

 

 



 

 

 

 

A(∂ _ξ )v ⁺ = 0 in (D ⁿ Φ A ⁺ δ

₀ ,

A(∂ _ξ )v ⁻ = 0 in (D ⁿ Φ A ⁻ δ

₀ ,

v ⁺ − v ⁻ = 0 su φ (∂ B ⁿ ) ,

(Tdv ⁺ (ξ))[ν _φ (ξ)] − (Tdv ⁻ (ξ))[ν _φ (ξ)] = −f ◦ φ ^{( −1)} (ξ) ∀ ξ ∈ φ (∂B n ) , v ⁺ (ξ) = R

φ(∂ B

) Γ(ξ − η)f ◦ φ ^{( −1)} (η) dσ η ∀ξ ∈ Φ ((1 − δ)∂B n ) , v ⁻ (ξ) = R

φ(∂ B

) Γ(ξ − η)f ◦ φ ⁽⁻¹⁾ (η) dσ _η ∀ξ ∈ Φ ((1 + δ)∂B n ) , (2.17) ha un’unica soluzione (v ⁺ , v ⁻ ) ∈ C ^m,α clΦ A ⁺ _δ

, R ⁿ

× C ^m,α clΦ A ⁻ _δ
, R ⁿ

e sar` a

v ⁺ (ξ) = R

φ(∂ B

) Γ(ξ − η)f ◦ φ ⁽⁻¹⁾ (η) dσ _η ∀ξ ∈ Φ A ⁺ _δ

, (2.18) v ⁻ (ξ) = R

φ(∂ B

) Γ(ξ − η)f ◦ φ ^{( −1)} (η) dσ _η ∀ξ ∈ Φ A ⁻ _δ
.

Dimostrazione. Per le propriet`a dei potenziali di strato elencate nel Teorema 2.1 la coppia (v <sup>+</sup> , v <sup>−</sup> ), con v <sup>+</sup> e v <sup>−</sup> definite come in (2.18), `e una soluzione del problema (2.17). Dobbiamo mostrare che tale soluzione `e unica.

Supponiamo che esistano due coppie di soluzioni di (2.17):

(v ⁺ ₁ , v ⁻ ₁ ) , (v ⁺ ₂ , v ₂ ⁻ ) ∈ C ^m,α clΦ A ⁺ δ

, R ⁿ

× C ^m,α clΦ A ⁻ δ

, R ⁿ
.

Poniamo poi u ⁺ = v ⁺ ₁ − v ⁺ ₂ e u ⁻ = v ⁻ ₁ − v ⁻ ₂ . Abbiamo allora u ⁺ = u ⁻ su φ(∂ B n ) , u ⁺ ≡ 0 su Φ ((1 − δ)∂B n ), u ⁻ ≡ 0 su Φ ((1 + δ)∂B n ), (Tdu ⁺ )[ν _φ ] = (Tdu ⁻ )[ν _φ ] su φ(∂ B ⁿ ) , A(∂ _x )u ⁺ ≡ 0 in Φ A ⁺ _δ

e A(∂ _x )u ⁻ ≡ 0 in Φ A ⁻ _δ

. In particolare u ⁺ ed u ⁻ sono ciascuna soluzione di un problema di Drichlet interno, perci`o, per il Teorema B.14, sar`a u ⁺ ∈ C ¹ (clΦ A ⁺ _δ

, R ⁿ ) ∩ C ^∞ (Φ A ⁺ _δ

, R ⁿ ) ed u ⁻ ∈ C ¹ (clΦ A ⁻ δ

, R ⁿ ) ∩ C ^∞ (Φ A ⁻ δ

, R ⁿ ).

Sia ora u la funzione definita su Φ( A δ ) che coincide con u ⁺ su Φ( A ⁺ δ ) e con u ⁻ su

11

Φ( A ⁻ _δ ). Allora per il Teorema A.2 e per le propriet`a di u ⁺ e u ⁻ appena elencate calcoliamo che, per ogni v ∈ D ⁿ (Φ( A ^δ )),

hA(∂ x )u , v i = Z

Φ( A

)

uA(∂ _ξ )v dξ

= Z

Φ( A

)

u ⁺ A(∂ _ξ )v dξ + Z

Φ( A

)

u ⁻ A(∂ _ξ )v dξ

= Z

Φ( A

)

E(v, u ⁺ ) dξ + Z

Φ( A

)

E(v, u ⁻ ) dξ

= Z

Φ( A

)

vA(∂ _ξ )u ⁺ dξ + Z

Φ( A

)

vA(∂ _ξ )u ⁻ dξ = 0 ,

Poich´e D `e denso in H ¹ ₀ , questo significa che A(∂ _ξ )u = 0 in [(H ¹ ₀ (Φ( A δ )) ⁿ ] ⁰ . Per il

Lemma 2.2 deve allora essere u = 0. 2

Il problema (2.17) `e definito su un dominio che dipende da Φ, a noi servir`a trasformarlo in un problema definito su un dominio fisso: su A δ . Dobbiamo per questo cambiare variabile in (2.17) tramite la funzione Φ ed abbiamo bisogno di sapere come si trasformano la normale e l’area di ipersuperfice: sar`a il contenuto del prossimo Lemma 2.5. C’`e per`o un problema. Infatti se m = 1 la mappa Φ `e differenziabile con continuit`a solo una volta, dobbiamo perci`o spiegare come intendiamo cambiare la variabile nell’operatore A(∂ _ξ ) che compare in (2.17). Lo faremo nel successivo Lemma 2.6. Entrambi i lemmi sono di facile verifica.

Lemma 2.5 Sia Ω un sottoinsieme aperto e limitato di R ⁿ di classe C ¹ . Sia ν _Ω la normale esterna di ∂Ω. Sia Φ ∈ C ¹ (clΩ, R ⁿ ) ∩A ⁰ clΩ e sia ν _Φ la normale esterna di ∂Φ(Ω). Allora:

(i) ν Φ (Φ(x)) = ^(DΦ(x))

^ν

^(x)

| ^(DΦ(x))

^ν

^(x) | per ogni x ∈ ∂Ω.

(ii) Se ω ∈ L ¹ (Φ(∂Ω)), allora Z

Φ(∂Ω)

ω(η) dσ _η = Z

∂Ω

ω ◦ Φ(y)σ n [Φ](y) dσ _y ,

dove σ _n [Φ] = | det DΦ|| (DΦ) ^−t ν _Ω |.

(iii) Se u ∈ C ¹ (clΦ (Ω)), x ∈ ∂Ω, allora

∂u

∂ν _Φ (Φ(x)) = D (u ◦ Φ) (x) (DΦ(x)) ⁻¹ (DΦ(x)) ^−t ν Ω

 (DΦ(x)) ^−t ν Ω

  ,

per ogni x ∈ ∂Ω.

12 Analiticit`a

Lemma 2.6 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈]0, 1[ , Ω un aperto connesso e limitato di R ⁿ . Sia

Y ^{m −1,α} (Ω)

≡



w = (w ij ) ∈ C ^{m −1,α} (clΩ, M n ×n ( R))    

Z

Ω

tr(w Dψ ^t ) dx = 0 ∀ψ ∈ D ⁿ (Ω)

 , allora Y ^m−1,α (Ω) `e un sottospazio chiuso di C ^m−1,α (clΩ, M _{n ×n} ( R)). Sia Π Ω la proiezione canonica di C ^{m −1,α} (clΩ, M n ×n ( R)) sullo spazio (di Banach) quoziente

Z ^{m −1,α} (Ω) ≡ C ^{m −1,α} (clΩ, M _n×n ( R)) /Y ^{m −1,α} (Ω) .

Sia A[ ·, ·] la mappa definita da (C ^m,α (clΩ, M _{n ×n} ( R)) ∩ A clΩ ) × C ^m,α (clΩ, R ⁿ ) in C ^{m −1,α} (clΩ, M n ×n ( R)) che a (Φ, v) associa

A[Φ, v] ≡ 

µDv (DΦ) ⁻¹ (DΦ) ^−t + (µ + λ) tr 

Du (DΦ) ⁻¹ 

(DΦ) ^−t 

| det DΦ| . Sia (Φ, v) appartenente a (C ^m,α (clΩ, M _{n ×n} ( R)) ∩ A ^clΩ ) ×C ^m,α (clΩ, R ⁿ ) e f ≡ (f ij ) appartenente a C ^{m −1,α} (clΩ, M _n×n ( R)). Allora avremo

Π _Ω A[Φ, v] = Π _Ω [f ] (2.19)

se e solo se, per ogni i = 1, . . . , n ,



A(∂ _x ) 

v ◦ Φ ⁽⁻¹⁾ 

i = div 

f ⁽ⁱ⁾ ◦ Φ ⁽⁻¹⁾  

DΦ(Φ ⁽⁻¹⁾ )  t

| det D(Φ ⁽⁻¹⁾ ) |

 , (2.20) nel senso delle distribuzioni in Φ (Ω), cio`e in D <sup>0</sup> (Φ (Ω)) (f <sup>(i)</sup> `e la i-esima riga di f , ovvero f ⁽ⁱ⁾ ≡ (f ij ) _j=1,...,n ).

Dimostrazione. Con un semplice argomento basato sulla convoluzione con una famiglia di mollificatori si pu`o mostrare che (2.19) `e equivalente all’equazione

Z

Ω

tr A[Φ, v] D(ϕ ◦ Φ) ^t
dx =

Z

Ω

tr f D(ϕ ◦ Φ) ^t

dx ∀ϕ ∈ D ⁿ (Φ(Ω)) . (2.21) Usando le regole del cambio di variabile per gli integrali troviamo che

Z

Ω

tr A[Φ, v] D(ϕ ◦ Φ) ^t
dx

= Z

Φ(Ω)

µtr 

D(v ◦ Φ ⁽⁻¹⁾ ) Dϕ ^t 

+ (µ + λ) (trDϕ) 

trD(v ◦ Φ ⁽⁻¹⁾ )  dξ , per ogni ϕ ∈ D ⁿ (Φ (Ω)) e v ∈ C ¹ (clΩ) , e che

Z

Ω

tr f D (ϕ ◦ Φ) ^t
dx

= Z

Φ(Ω)

tr 

f ◦ Φ ⁽⁻¹⁾ DΦ ^t ◦ Φ ⁽⁻¹⁾  Dϕ ^t 

| det D(Φ ⁽⁻¹⁾ ) | dξ ,

13

per ogni ϕ ∈ D ⁿ (Φ (Ω)) . Possiamo allora dedurre che (2.21) `e equivalente a (2.20).

2

Dal Teorema 2.4 e dai Lemmi 2.5, 2.6, segue immediatamente la validit`a del prossimo

Teorema 2.7 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈]0, 1[, δ ∈]0, 1[, sia Φ ∈ C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) ∩ A ⁰ _{cl A}

δ

e sia f ∈ C ^{m −1,α} (∂ B ⁿ , R ⁿ ). Allora la coppia (v ⁺ , v ⁻ ) di C ^m,α clΦ A ⁺ δ

, R ⁿ

×C ^m,α clΦ A ⁻ _δ
, R ⁿ

`e una soluzione di (2.17) se e solo se la coppia (V ⁺ , V ⁻ ) ≡ (v ⁺ ◦Φ, v ⁻ ◦Φ) appartenente a C ^m,α cl A ⁺ δ , R ⁿ

×C ^m,α cl A ⁻ δ , R ⁿ

`e una soluzione del seguente problema con dati al bordo

 

 

 

 

 



 

 

 

 

  Π _A

δ

[A [Φ, V ⁺ ]] = 0 in Z ^m−1,α A ⁺ _δ

, Π _A

δ

[A [Φ, V ⁻ ]] = 0 in Z ^{m −1,α} A ⁻ _δ

,

V ⁺ − V ⁻ = 0 su ∂ B n ,

B ₁ [V ⁺ , V ⁻ , Φ]

≡ T(DΦ ^−t dV ⁺ )[ν _Φ ] − T(DΦ ^−t dV ⁻ )[ν _Φ ] = −f su ∂B n , V ⁺ (x) = R

∂ B

Γ (Φ(x) − Φ(y)) f(y)σ n [Φ] (y)dσ _y ∀x ∈ (1 − δ)∂B n , V ⁻ (x) = R

∂ B

Γ (Φ(x) − Φ(y)) f(y)σ n [Φ] (y)dσ y ∀x ∈ (1 + δ)∂B n , (2.22) dove σ _n [ ·], A[·, ·], Π _A

δ

, Π _A

δ

sono gi` a stati introdotti nei Lemmi 2.5, 2.6 mentre ν <sub>Φ</sub> `e definito da ν _Φ ≡ _|(D(Φ)) ^(D(Φ))

^ν ν

| .

Esattamente come volevamo il problema (2.22) `e ora definito su un dominio fis- so. Come annunciato nell’introduzione il prossimo passo sar`a di riformulare (2.22) in un’equazione astratta in qualche spazio di Banach e di analizzarla tramite il Teorema della Funzione Implicita. Per fare questo abbiamo bisogno di verificare che le ipotesi del Teorema della Funzione Implicita sono verificate. In particolare vogliamo che i secondi membri delle ultime due equazioni di (2.22) dipendano ana- liticamente da Φ e da f . Questo `e il contenuto del prossimo Lemma che enunciamo senza dimostrare perch´e lo si pu`o ottenere ricalcando quanto gi`a fatto da Lanza e Rossi in [LR, Lemma 3.9] per il potenziale di semplice strato relativo all’operatore Laplaciano.

Lemma 2.8 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈]0, 1[, δ ∈]0, 1[, r ∈ [1 − δ, 1 + δ] \ {1} e sia Φ ∈ C ^m,α (cl A ^δ , R ⁿ ) ∩ A ⁰ _{cl A}

. Allora la mappa V _r di 

C ^m,α (cl A ^δ , R ⁿ ) ∩ A ⁰ _{cl A}



× C ^{m −1,α} (∂ B n , R ⁿ ) in C ^m,α (r∂ B n , R ⁿ ) definita da

V _r [Φ, f ](x) ≡ Z

∂B

Γ (Φ(x) − Φ(y)) f(y)σ n [Φ] (y) dσ _y ∀x ∈ r∂B n ,

per ogni (Φ, f ) ∈ 

C ^m,α (cl A ^δ , R ⁿ ) ∩ A ⁰ _{cl A}



× C ^m−1,α (∂ B ⁿ , R ⁿ ) `e reale analitica.

14 Analiticit`a

Il prossimo Lemma 2.9 generalizza il Lemma 2.3 e ci sar`a utile nella dimostra- zione del risultato principale della tesi, assieme al Lemma 2.3 servir`a a mostrare l’esistenza e l’unicit`a di una soluzione per il problema linearizzato associato a (2.22). La prova si basa sull’esistenza di una soluzione regolare per il problema di Dirichlet omogeneo, esistenza che dimostreremo nell’Appendice B grazie ad un metodo di Mikhlin [M] ed al teorema di regolarit`a per i potenziali di strato ottenuto da Miranda (vedi [Mi, Teorema 2.I]).

Lemma 2.9 Sia α ∈]0, 1[ ed Ω un aperto limitato di R ⁿ di classe C ^1,α . Siano f ∈ C ^0,α (clΩ, M _{n ×n} ( R)) e g ∈ C ^1,α (∂Ω, R ⁿ ), sia div f ≡ div f ⁽¹⁾ , . . . , div f ⁽ⁿ⁾

, con f ⁽ⁱ⁾ ≡ (f ij ) _j=1,...,n . Allora esiste ed `e unica u ∈ C ^1,α (clΩ, R ⁿ ) tale che

 A (∂ x ) u = div f in [D ⁿ (Ω)] ⁰ ,

u = g su ∂Ω. (2.23)

Dimostrazione. Sia ˜ f ∈ C ^0,α ( R ⁿ , R ⁿ ) una funzione a supporto compatto tale che ˜ f _|clΩ = f (vedi Troianiello [T, Teorema 1.3] ). Consideriamo la distribuzione (Γ ∗ div ˜ f), si verifica facilmente che A(∂ x )(Γ ∗ div ˜ f) = div ˜ f e

Γ ∗ div ˜ f = div (Γ ∗ ˜ f) .

Si avr`a allora (Γ ∗ div ˜ f) ∈ C <sup>0,α</sup> ( R <sup>n</sup> , R <sup>n</sup> ) (vedi ad esempio Miranda [Mi, Teorema 3.II]). Poniamo u <sub>0</sub> ≡ (Γ∗div ˜ f) <sub>|clΩ</sub> , la soluzione di (2.23) cercata `e allora u ≡ u 0 +w con w soluzione del problema di Dirichlet omogeneo con dato al bordo g − u _0|∂Ω , (vedi Teorema B.14). L’unicit`a segue con un argomento standard dal Lemma 2.2

(vedi Lemma 2.3, Dimostrazione). 2

Introduciamo ora qualche notazione. Poniamo v ⁺ [φ, f ](ξ) ≡

Z

φ(∂ B

)

f ◦ φ ^{( −1)} (η) Γ(η − ξ) dσ η ∀ξ ∈ I[φ], v ⁻ [φ, f ](ξ) ≡

Z

φ(∂ B

)

f ◦ φ ^{( −1)} (η) Γ(η − ξ) dσ η ∀ξ ∈ E[φ],

per ogni φ ∈ C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) ∩ A ∂ B

, ed f ∈ C ^{m −1,α} (∂ B n , R ⁿ ), w ⁺ [φ, f ](ξ) ≡

Z

φ(∂ B

)



f ◦ φ ^{( −1)} (η)(TdΓ ^(j) (η − ξ))[ν φ (η)] 

j=1,...,n dσ η ∀ξ ∈ I[φ], w ⁻ [φ, f ](ξ) ≡

Z

φ(∂ B

)



f ◦ φ ^{( −1)} (η)(TdΓ ^(j) (η − ξ))[ν φ (η)] 

j=1,...,n dσ η ∀ξ ∈ E[φ],

per ogni φ ∈ C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) ∩ A ∂ B

, f ∈ C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) (Γ ^(j) `e definito come nel

Teorema 2.1 (ii)). Allora, per il Teorema 2.1, sappiamo che v ⁺ [φ, f ], w ⁺ [φ, f ], e

v ⁻ [φ, f ], w ⁻ [φ, f ] si possono estendere con continuit`a a clI[φ] e a clE[φ], rispet-

tivamente. Denoteremo le estensioni corrispondenti con lo stesso simbolo delle

15

funzioni da estendere.

La prossima Proposizione 2.10 implicher`a immediatamente il risultato principale della tesi (vedi Teorema 2.11).

Proposizione 2.10 Siano m ∈ N \ {0}, α ∈]0, 1[, δ ∈]0, 1[. Allora valgono le seguenti proposizioni

(i) Per ogni (Φ, f ) ∈ 

C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) ∩ A ⁰ _{cl A}



×C ^{m −1,α} (∂ B n , R ⁿ ) siano V ⁺ [Φ, f ] e V ⁻ [Φ, f ] le estensioni continue a cl A ⁺ _δ ed a cl A ⁻ _δ di v ⁺ [Φ _|∂B

, f ] ◦ Φ _|A

e di v ⁻ [Φ _|∂B

, f ] ◦ Φ _|A

δ

, rispettivamente. Allora le mappe V ⁺ : C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) ∩ A ⁰ cl A

× C ^m−1,α (∂ B n , R ⁿ ) −→ C ^m,α cl A ⁺ _δ , R ⁿ
, V ⁻ : C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) ∩ A ⁰ cl A

× C ^{m −1,α} (∂ B n , R ⁿ ) −→ C ^m,α cl A ⁻ _δ , R ⁿ
che mandano (Φ, f ) in V ⁺ [Φ, f ] ed in V ⁻ [Φ, f ], rispettivamente, sono reali analitiche.

(ii) Per ogni (Φ, f ) ∈ 

C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) ∩ A ⁰ _{cl A}



×C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) siano W ⁺ [Φ, f ] e W ⁻ [Φ, f ] le estensioni continue a cl A ⁺ _δ ed a cl A ⁻ _δ di w ⁺ [Φ _|∂B

, f ] ◦ Φ _|A

e di w ⁻ [Φ _|∂B

, f ] ◦ Φ _|A

δ

, rispettivamente. Allora le mappe W ⁺ : C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) ∩ A ⁰ cl A

× C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) −→ C ^m,α cl A ⁺ δ , R ⁿ
, W ⁻ : C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) ∩ A ⁰ cl A

× C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) −→ C ^m,α cl A ⁻ δ , R ⁿ
, che mandano (Φ, f ) in W ⁺ [Φ, f ] ed in W ⁻ [Φ, f ], rispettivamente, sono reali analitiche.

Dimostrazione. Dimostriamo prima la proposizione (i).

Siano X ≡ C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) × C ^{m −1,α} (∂ B n , R ⁿ ) e Y ≡ C ^m,α cl A ⁺ δ , R ⁿ

× C ^m,α cl A ⁻ _δ , R ⁿ

. Sia Λ l’operatore (non lineare) di U ≡ (C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) ∩A ⁰ cl A

) × C ^m−1,α (∂ B ⁿ , R ⁿ ) × Y nello spazio di Banach

Z ≡ Z ^{m −1,α} A ⁺ δ

× Z ^{m −1,α} A ⁻ δ

× C ^m,α (∂ B n , R ⁿ ) × C ^{m −1,α} (∂ B n , R ⁿ )

×C ^m,α ((1 − δ)∂B n , R ⁿ ) × C ^m,α ((1 + δ)∂ B ⁿ , R ⁿ ) , definito da

Λ 

Φ, f, V ⁺ , V ⁻ 

≡  Π _A

δ

 A 

Φ, V ⁺ 

, Π _A

 A 

Φ, V ⁻ 

, V ⁺ − V ⁻ , B ₁ 

V ⁺ , V ⁻ , Φ  + f, V _{|(1−δ)∂B} ⁺

n

− V 1 −δ [Φ, f ], V _|(1+δ)∂B ⁻

n

− V 1+δ [Φ, f ]  , per ogni (Φ, f, V ⁺ , V ⁻ ) ∈ U, dove B 1 [V ⁺ , V ⁻ , Φ] e V _1±δ [Φ, f ] sono stati introdotti in (2.22) e nel Lemma 2.8, rispettivamante. Per il Teorema 2.7, il grafico dell’ope- ratore (V ⁺ [ ·, ·], V ⁻ [ ·, ·]) di 

C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) ∩ A ⁰ _{cl A}



× C ^m−1,α (∂ B n , R ⁿ ) in Y con-

cide con l’insieme su cui si annulla Λ. Possiamo quindi dedurre l’analiticit`a reale

16 Analiticit`a

dell’operatore (V ⁺ [ ·, ·], V ⁻ [ ·, ·]) mostrando che si pu`o applicare il Teorema del- la Funzione Implicita per gli operatori reali analitici (vedi ad esempio Prodi ed Ambrosetti [PA, Teorema 11.6]) all’equazione Λ [Φ, f, V ⁺ , V ⁻ ] = 0 in un intorno di (Φ ₁ , f ₁ , V ⁺ [Φ ₁ , f ₁ ], V ⁻ [Φ ₁ , f ₁ ]), per ogni (Φ ₁ , f ₁ ) ∈ 

C ^m,α (cl A δ , R ⁿ ) ∩ A ⁰ _clA



× C ^{m −1,α} (∂ B n , R ⁿ ). Il dominio U di Λ `e chiaramente aperto in X ×Y. Per definizione, Π _A

δ

, Π _A

δ

sono lineari e continue. Per il Lemma 1.1 e la Proposizione 1.8, A[Φ, V ^± ] e B 1 [V ⁺ , V ⁻ , Φ] + f dipendono in modo reale analitico da (Φ, f, V ⁺ , V ⁻ ). Infine per il Lemma 2.8, e per la linearit`a e continuit`a della mappa di restrizione pos- siamo concludere che Λ `e reale analitico. Sar`a quindi sufficente mostrare che il differenziale d _(V

_,V

) Λ [Φ 1 , f 1 , V ⁺ [Φ 1 , f 1 ], V ⁻ [Φ 1 , f 1 ]] `e un omeomorfismo lineare.

Poich´e poi d _(V

_,V

) Λ [Φ ₁ , f ₁ , V ⁺ [Φ ₁ , f ₁ ], V ⁻ [Φ ₁ , f ₁ ]] `e continuo, per il Teorema della Mappa Aperta baster`a mostrare che `e una biezione, ovvero che, per ogni (F <sup>+</sup> , F <sup>−</sup> , g, g 1 , h <sup>+</sup> , h <sup>−</sup> ) ∈ Z esiste ed `e unico (X ⁺ , X ⁻ ) ∈ Y tale che

 

 

 

 



 

 

 

  Π _A

δ

[A [Φ ₁ , X ⁺ ]] = F ⁺ in Z ^{m −1,α} A ⁺ _δ
, Π _A

δ

[A [Φ ₁ , X ⁻ ]] = F ⁻ in Z ^{m −1,α} A ⁻ _δ
, X ⁺ − X ⁻ = g su ∂ B n ,

B ₁ [X ⁺ , X ⁻ , Φ ₁ ] = g ₁ su ∂ B n , X ⁺ = h ⁺ su (1 − δ)∂B n , X ⁻ = h ⁻ su (1 + δ)∂ B n .

(2.24)

Poich´e Π _A

δ

e Π _A

δ

sono suriettivi esisteranno f ⁺ ∈ C ^m−1,α cl A ⁺ _δ , M _{n ×n} ( R)
e f ⁻ ∈ C ^{m −1,α} cl A ⁻ δ , M n ×n ( R)

tali che Π _A

δ

[f ⁺ ] = F ⁺ e Π _A

δ

[f ⁻ ] = F ⁻ . Poniamo φ ₁ ≡ Φ _1|∂B

. Cambiando variabile tramite Φ ₁ (si vedano i Lemma 2.5 e 2.6), `e facile mostrare che (2.24) `e equivalente al seguente sistema

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



A (∂ _x ) 

X ⁺ ◦ Φ ⁽ 1 ⁻¹⁾

 = div b ⁺ in 

D ⁿ Φ ₁ A ⁺ _δ

 ₀ , A (∂ _x ) 

X ⁻ ◦ Φ ⁽ ₁ ⁻¹⁾ 

= div b ⁻ in 

D ⁿ Φ ₁ A ⁻ δ

 ₀ , X ⁺ ◦ Φ ⁽⁻¹⁾ 1 − X ⁻ ◦ Φ ⁽⁻¹⁾ 1 = g ◦ Φ ⁽⁻¹⁾ 1 su φ ₁ (∂ B n ) ,

Td(X ⁺ ◦ Φ ⁽ ₁ ⁻¹⁾ )[ν _φ

] − Td(X ⁻ ◦ Φ ⁽ ₁ ⁻¹⁾ )[ν _φ

]

= g ₁ ◦ Φ ⁽ 1 ⁻¹⁾ su φ ₁ (∂ B ⁿ ) ,

X ⁺ ◦ Φ ⁽⁻¹⁾ 1 = h ⁺ ◦ Φ ⁽⁻¹⁾ 1 su Φ ₁ ((1 − δ)∂B n ) , X ⁻ ◦ Φ ⁽ ₁ ⁻¹⁾ = h ⁻ ◦ Φ ⁽ ₁ ⁻¹⁾ su Φ ₁ ((1 + δ)∂ B n ) .

(2.25)

dove div b ^± ≡ (div b ^{± (1)} , . . . , div b ^{± (n)} ) e, posto che sia f ^{+ (i)} ≡ (f _ij ⁺ ) _j=1,...,n , f ^{− (i)} ≡ (f _ij ⁻ ) _j=1,...,n ,

b ^{± (i)} ≡ 

f ^{± (i)} ◦ Φ ⁽ 1 ⁻¹⁾

  DΦ ₁ (Φ ⁽ ₁ ⁻¹⁾ )  t   det 

D(Φ ⁽ ₁ ⁻¹⁾ )  

 . Proviamo l’esistenza di una soluzione per (2.25), poi l’unicit`a.

Sia (F ⁺ , F ⁻ , g, g ₁ , h ⁺ , h ⁻ ) ∈ Z. Per il Lemma 1.1, si vede facilmente che allora

17

b ^± ∈ C ^m−1,α clΦ ₁ A ^± δ

, M _{n ×n} ( R)

, g ◦ Φ ⁽ 1 ⁻¹⁾ ∈ C ^m,α (φ ₁ (∂ B ⁿ , R ⁿ )) , g ₁ ◦ Φ ⁽ 1 ⁻¹⁾ ∈ C ^{m −1,α} (φ ₁ (∂ B n )) , e h ^± ◦ Φ ⁽⁻¹⁾ 1 ∈ C ^m,α (Φ ₁ ((1 ∓ δ)∂B n ) , R ⁿ ) . Per i Lemmi 2.3 e 2.9, esisteranno a ⁻ ∈ C ^m,α clΦ ₁ A ⁻ δ

, R ⁿ

ed a ⁺ ∈ C ^m,α clΦ ₁ A ⁺ δ

, R ⁿ
tali

che (

A (∂ _x ) a ⁻ = div b ⁻ in 

D ⁿ Φ ₁ A ⁻ _δ

 ₀ , a ⁻ = h ⁻ ◦ Φ ⁽ ₁ ⁻¹⁾ su Φ 1 ((1 + δ)∂ B ⁿ ) ,

e 

 

 

A (∂ _x ) a ⁺ = div b ⁺ in 

D ⁿ Φ ₁ A ⁺ δ

 ₀ , a ⁺ = a ⁻ + g ◦ Φ ⁽⁻¹⁾ 1 su Φ ₁ (∂ B n ) = φ ₁ (∂ B n ) , a ⁺ = h ⁺ ◦ Φ ⁽ ₁ ⁻¹⁾ su Φ ₁ ((1 − δ)∂B n ) ,

Sia ϕ = g 1 ◦ Φ ⁽ ₁ ⁻¹⁾ − (Tda ⁺ )[ν _φ

] + (Tda ⁻ )[ν _φ

], allora ϕ ∈ C ^{m −1,α} (φ 1 (∂ B ⁿ ) , R ⁿ ), e, per il Teorema 2.4, v ^± [φ ₁ , ϕ ◦ φ 1 ] ∈ C ^m,α clΦ ₁ A ^± _δ ,

, R ⁿ

. Si verifica allora che il sistema (2.25) ha una soluzione (X ⁺ , X ⁻ ) ∈ Y se e solo se il sistema

 

 

 

 



 

 

 

 

A (∂ _x ) ˜ X ⁺ = 0 in 

D ⁿ Φ ₁ A ⁺ δ

 ₀ ,

A (∂ x ) ˜ X ⁻ = 0 in 

D ⁿ Φ 1 A ⁻ δ

 ₀ , X ˜ ⁺ − ˜ X ⁻ = 0 su φ ₁ (∂ B n ) ,

(Td ˜ X ⁺ )[ν _φ

] − (Td ˜ X ⁻ )[ν _φ

] = 0 su φ ₁ (∂ B n ) ,

X ˜ ⁺ = v ⁺ [φ ₁ , ϕ ◦ φ 1 ] su Φ ₁ ((1 − δ)∂B n ) , X ˜ ⁻ = v ⁻ [φ ₁ , ϕ ◦ φ 1 ] su Φ ₁ ((1 + δ)∂ B n ) .

(2.26)

ammette una soluzione ( ˜ X ⁺ , ˜ X ⁻ ) ∈ C ^m,α clΦ ₁ A ⁺ δ

, R ⁿ

×C ^m,α clΦ ₁ A ⁻ δ

, R ⁿ
, ed in tal caso vale

X ˜ ⁺ = X ⁺ ◦ Φ ⁽ 1 ⁻¹⁾ − a ⁺ + v ⁺ [φ ₁ , ϕ ◦ φ 1 ] X ˜ ⁻ = X ⁻ ◦ Φ ⁽⁻¹⁾ 1 − a ⁻ + v ⁻ [φ ₁ , ϕ ◦ φ 1 ] Infine il sistema (2.26) ha soluzione

( ˜ X ⁺ , ˜ X ⁻ ) ∈ C ^m,α clΦ ₁ A ⁺ δ

, R ⁿ

× C ^m,α clΦ ₁ A ⁻ δ

, R ⁿ

se e solo se esiste ˜ X ∈ C ^m,α (clΦ ₁ ( A δ ) , R ⁿ ) tale che

 



A (∂ _x ) ˜ X = 0 in [D ⁿ (Φ ₁ ( A δ ))] ⁰ , X = v ˜ ⁺ [φ ₁ , ϕ ◦ φ 1 ] su Φ ₁ ((1 − δ)∂B n ) , X = v ˜ ⁻ [φ 1 , ϕ ◦ φ 1 ] su Φ 1 ((1 + δ)∂ B ⁿ ) ,

(2.27)

ed in tal caso vale ˜ X _|clΦ

( A

) = X ˜ ⁺ , ˜ X _|clΦ

( A

) = X ˜ ⁻ . Infatti, se ˜ X `e una soluzione di (2.27) ( ˜ X _|clΦ

1

( A

), X ˜ _|clΦ

1

( A

)) `e una soluzione

di (2.27). Viceversa, sia ( ˜ X ⁺ , ˜ X ⁻ ) una soluzione regolare di (2.26) e sia ˜ Y la

funzione definita su clΦ 1 ( A δ ) che coincidte con ˜ X ⁺ su clΦ 1 ( A ⁺ δ ) e con ˜ X ⁻ su

clΦ ₁ ( A ⁻ _δ ), allora `e possile mostrare con un argomento che si basa sul Teorema A.2

(vedi Teorema 2.4, Dimostrazione), che ˜ Y soddisfa le equazioni del sistema (2.27).