Esempio di equazioni Stiff.
Alvise Sommariva
Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica
Esempio di equazione di tipo Stiff.
Si consideri il problema di Cauchy di tipo Stiff y0(x ) = f (x , y (x )), x > 0 x0 = 0; y (x0) = 1. (1) con f (x , y (x )) = −15y (x ). La soluzione esatta `e y (x ) = exp (−15x ).
Metodo di Eulero esplicito.
Supponiamo sia xk = x0+ k h, con k = 1, 2, . . .
Il metodo diEulero esplicito`e definito da
y (xn+1) = y (xn) + hf (xn, y (xn)).
Nel nostro caso particolare, essendo f (x , y (x )) = −15 · y (x ) la successione generata `e
y (xn+1) = y (xn) + h · (−15y (xn))
Metodo di Eulero implicito.
Supponiamo sia xk = x0+ k h, con k = 1, 2, . . .
Il metodo diEulero implicito`e definito da
y (xn+1) = y (xn) + hf (xn+1, y (xn+1)).
Nel nostro caso particolare, essendo f (x , y (x )) = −15 · y (x ) la successione generata `e
y (xn+1) = y (xn) + h · (−15y (xn+1)) (3)
da cui si ottiene subito
Metodo Trapezoidale.
Supponiamo sia xk = x0+ k h, con k = 1, 2, . . . Il metodo di
trapezoidale`e definito da
y (xn+1) = y (xn) + h
2(f (xn, y (xn)) + f (xn+1, y (xn+1))) .
Nel nostro caso particolare, essendo f (x , y (x )) = −15 · y (x ) la successione generata `e
y (xn+1) = y (xn) +
h
2 · (−15y (xn) − 15y (xn+1)) (4)
da cui si ottiene subito
Esercizio.
1 Risolvere numericamente l’equazione
y0(x ) = f (x , y (x )), x > 0 x0 = 0; y (x0) = 1. (5) con f (x , y (x )) = −15y (x ).
con il metodo di tipo Eulero esplicito, Eulero implicito e
trapezoidale per h = 1/4 e valutare la soluzione in x400= 100.
2 Discutere la qualit`a dell’approssimazione, con quanto noto
dalla teoria.
3 Rieseguire l’esercizio con h = 1/20 e valutare la soluzione nel
Esercizio facoltativo.
Applicare il metodo di Newton per risolvere ad ogni passo l’equazione proposta da Eulero implicito. In altre parole, considerando il problema di Cauchy
y0(x ) = f (y (x )), x > 0 x0 = 0; y (x0) = 1.
(6) visto che Il metodo diEulero implicito`e definito da
y (xn+1) = y (xn) + hf (y (xn+1))
posto X = y (xn+1), C = y (xn), ad ogni iterazione del metodo di
Eulero implicito necessita risolvere col metodo di Newton l’equazione F (X ) = 0 dove
