8. IL METODO DI NEWTON 149
8. Il metodo di Newton
Il metodo di Newton (o metodo delle tangenti) permette di fornire delle approssima- zioni delle soluzioni di un’equazione f (x) = 0 sotto opportune ipotesi di regolarit`a della funzione f (x).
Supponiamo che f (x) sia funzione derivabile con derivata continua e positiva in un intervallo aperto I, convessa in I. Siano a < b in I tali che f (a) < 0 <
f (b). Dal Teorema di esistenza degli zeri la funzione ammette almeno uno zero
¯
x in [a, b] ed essendo funzione strettamente crescente (dato che f0(x) > 0 per ogni x 2 I) avremo che tale zero `e unico. Il metodo di bisezione utilizzato nella dimostrazione del Teorema di esistenza degli zeri ci permette di determinare una successione approssimante tale zero, vedremo ora un metodo alternativo.
Posto x0= b, consideriamo la retta tangente al grafico di f (x) in x0, y = f (x0) + f0(x0)(x x0), e sia x1l’ascissa del punto di intersezione con l’asse delle ascisse.
x y
x0
x1
¯ x
Avremo allora che
f (x0) + f0(x0)(x1 x0) = 0 , x1= x0 f (x0) f0(x0)
da cui, essendo f (x0) > 0 e f0(x0) > 0, segue x1 x0 = b. Essendo la funzione convessa abbiamo che f (x) f (x0) + f0(x0)(x x0) per ogni x 2 I e quindi in particolare che
f (x0) + f0(x0)(x1 x0) = 0 = f (¯x) f (x0) + f0(x0)(¯x x0)
essendo f0(x0) > 0 ne segue che x1 x > a. In particolare, dato che la funzione `e¯ strettamente crescente e che f (¯x) = 0, otteniamo che f (x1) 0. Abbiamo quindi provato che x12 [a, b], ¯x x1 x0 e f (x1) 0.
Ripetiamo il procedimento considerando la retta tangente al grafico di f (x) in x1. Sia quindi x2= x1 f (x1)
f0(x1) l’ascissa del punto di intersezione di tale retta con l’asse delle ascisse. Procedendo come sopra possiamo provare che x22 [a, b], ¯x x2 x1 e f (x2) 0.
x y
x0
x1
¯ x
x2
150 5. FUNZIONI DERIVABILI
Proseguendo in questo modo, avremo definito una successione xn 2 [a, b] tale che per ogni n2 N risulta
xn+1= xn f (xn)
f0(xn), (11)
f (xn) 0 e ¯x xn+1 xn. Ne segue allora che (xn)n2N`e successione monotona e limitata e dal Teorema di regolarit`a delle successioni monotone abbiamo che la successione risulta convergente: esiste ` 2 [a, b] tale che xn ! ` per n ! +1.
Essendo f (x) e f0(x) funzioni continue in [a, b], da (11) otteniamo
` = lim
n!+1xn+1= lim
n!+1xn f (xn)
f0(xn) = ` ff (⇠)0(⇠)
e dunque che f (`) = 0, da cui ` = ¯x, essendo ¯x l’unico zero di f (x) in [a, b].
Abbiamo quindi provato
Teorema 5.13. (Metodo di Newton)
Sia f (x) funzione derivabile con derivata continua e positiva in un intervallo aperto I, convessa in I. Se esistono a, b 2 I tali che f(a) < 0 < f(b) allora, posto x0= b, la successione definita per ricorrenza da
xn+1= xn f (xn)
f0(xn), 8n 2 N, risulta convergente all’unico zero ¯x di f (x) in I.
Vediamo come esempio di applicazione del precedente metodo di determinare un’ap- prossimazione dell’unico zero della funzione f (x) = x3+ 3x 1. Osserviamo infatti che lim
x!±+1f (x) = ±1 e f0(x) = 3x2+ 3 `e positiva inR. Ne segue quindi che la funzione `e strettamente crescente e ammette un unico zero ¯x. Osserviamo che poich´e f (0) = 1 < 0, tale zero risulta positivo.
La funzione risulta convessa in I = (0, +1) e potremo applicare il metodo di Newton in tale intervallo per determinare delle approssimazioni di ¯x. Scelto x0= 1, abbiamo f (1) = 3 > 0 e sia x1il punto di intersezione della retta tangente al grafico della funzione in x0 con l’asse delle ascisse
x1= x0 f (x0)
f0(x0) = 1 36 = 12 = 0, 5
x1 1
0 x
y
8. IL METODO DI NEWTON 151
Sia quindi x2 il punto di intersezione della retta tangente al grafico della funzione in x1 con l’asse delle ascisse
x2= x1 f (x1)
f0(x1)= 12 (12)3+312 1
3(12)2+3 =13 = 0, 3 Procedendo in questo modo otteniamo
x3= x2 f (x2)
f0(x2)= 2990 = 0, 32 x4= x3 f (x3)
f0(x3)' 0, 322185355 x5= x4 f (x4)
f0(x4)' 0, 322185354 x6= x5 f (x5)
f0(x5)' 0, 322185354
e quindi che un’approssimazione dello zero cercato sar`a ¯x' 0, 32218535.
Come ulteriore applicazione vediamo di determinare un’approssimazione di p 2, gi`a ottenuta utilizzando il metodo di bisezione a pagina 104. Abbiamo che ¯x =p
2
`e l’unico zero positivo della funzione f (x) = x2 2, che risulta derivabile con derivata continua e positiva in I = (0, +1), convessa nel medesimo intervallo.
Determiniamone un’approssimazione con il metodo di Newton. Scelto x0 = 2, abbiamo f (2) = 2 > 0 e sia x1 il punto di intersezione della retta tangente al grafico della funzione in x0 con l’asse delle ascisse
x1= x0 f (x0)
f0(x0) = 2 24 = 32 = 1, 5
Sia dunque x2 il punto di intersezione della retta tangente al grafico della funzione in x1 con l’asse delle ascisse
x2= x1 f (x1)
f0(x1) =32 (32)2 2
2·32 = 1712 = 1, 416 Procedendo in questo modo otteniamo
x3= x2 f (x2)
f0(x2)' 1, 41515152 x4= x3 f (x3)
f0(x3)' 1, 41421387 x5= x4 f (x4)
f0(x4)' 1, 41421356 x6= x5 f (x5)
f0(x5)' 1, 41421356 Un’approssimazione dip
2 sar`a pertantop
2' 1, 41421356. Si osservi che la succes- sione approssimantep
2 determinata con il precedente metodo `e definita, partendo da x1>p
2, dalla formula xn+1= xn f (xn)
f0(xn)= xn x2n 2 2xn = 12Ä
xn+x2nä
, 8n 2 N,
ritroviamo quindi l’algoritmo di Erone (o metodo babilonese) per il calcolo delle radici quadrate.
Si noti inoltre la velocit`a di convergenza della successione approssimante p 2 otte- nuta con questo metodo rispetto a quella ottenuta con il metodo di bisezione. Os- serviamo in generale che per valutare la velocit`a di convergenza a ¯x della successione (xn)n2N, sottraendo ¯x da (11) otteniamo
xn+1 x =¯ f (xn)+ff00(x(xn)(¯x xn)
n) , 8n 2 N.
152 5. FUNZIONI DERIVABILI
Supponendo la funzione f (x) derivabile due volte con derivata seconda continua in I, dalla formula di Taylor centrata in xn con resto di Lagrange esiste ⇠n 2 [¯x, xn] tale che
0 = f (¯x) = f (xn) + f0(xn)(¯x xn) + f00(⇠n)(¯x x2n)2, 8n 2 N, Ne segue allora che
xn+1 ¯x = ff000(x(⇠nn)) (¯x xn)2
2 , 8n 2 N.
Posto M = maxx2[a,b] f00(x)
2f0(¯x) e osservato che, essendo la funzione convessa, risulta f0(xn) f0(¯x) otteniamo che
xn+1 x¯ M(¯x xn)2, 8n 2 N,
l’errore commesso al passo n+1-esimo `e minore del quadrato dell’errore commesso al passo precedente moltiplicato per una costante. Quindi partendo da un dato iniziale x0sufficientemente vicino a ¯x, il procedimento converger`a in modo rapidissimo.
