Espressioni con frazioni doppie e decimali (Q).

(1)

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Convenzione di scrittura 0, (3) = 0, 3̅

1. 0,5

1 + 0, 3̅

[3 8] soluzione

2. 2 + 0, 6̅

1 − 0,5

[16 3] 3. 1, 2̅

0,2 + 1∙ 9 11

[5 6] soluzione

4. (1 − 0, 5̅): (1 − 0,6) (2 + 0, 3̅) − (1 + 0,5)

[4 3]

5. 1

1, 2 ̅ : 2, 4̅

[2]

soluzione

6. 3, 8̅ ∶ 9, 5̅

2,5

[7 43] soluzione

7.

2 , 0 5 , 0 1

2 , 0



 ^[

2 7] soluzione

8. 0,125 ∙2 + 0, 6̅

1 − 0,5

[2 3] soluzione

9. 0,5 ∙1 − 0, 3̅

1 + 0, 3̅

[1 4] soluzione

10. 0, 7̅ ∙2 + 0,25 2 − 0,25

[1]

soluzione

11. (0,3 + 0,5 ∙ 7): 0,06̅

(0,305̅ ∙ 42 + 2) ∙ 6 

 89 57

soluzione

12. (4 + 2 ∶ 2, 6̅): 0,083̅

(4, 60̅̅̅̅ ∙ −7 ∶ 3, 6̅) ∙ 33 

 89 57

soluzione

(2)

 

  _ _

2

1 , 0 6 , 0 3 08 , 0 : 21 5 0 , 0 6 , 0 2 : 4 , 0

2     96

soluzione

14.

3 , 0 1

3 , 0 25 , 0 5 , 0 6 , 0

75 , 0 1



 



 

 16 17

soluzione

15.



⁰^,³⁷⁵^²^,⁰⁹¹^,⁵⁽

 

⁶^:⁾⁰^:⁵^,²⁵^,²⁵^⁰^,⁽³⁾



soluzione

16. (0,4 + 0, 7̅ − 0,15) ∙ 1,2 − 0,83̅

0, 1̅ ∙ 3,6 + 2, 1̅ ∶ 0,83̅ − 0,93̅

soluzione

17.

 



1,1(6) 0,2(7)



:0,(3) 0,(54) ) 2 ( , 1 ) 36 ( 1 , 0 : ) 45 ( , 0 1







 ^soluzione

18.

   

8 , 6 ) 6 ( , 0

5 , 1 5 , 32 ) 36 ( , 0 ) 4 ( 2 , 0 1

2

2 2







 ^soluzione

19. ² ²

) 6 ( 1 , 1

25 , 0 ) 3 ( , 0 )

6 ( 1 , 0

25 , 0 ) 3 ( ,

2 0 

 



 

 



 



 

 ^soluzione

20.

 

^:



²^,⁸ ⁰^,¹⁽³⁾



45

) 6 ( 41 , 0 : ) 6 ( , 2 ) 3 ( 8 , ) 6 3 ( 9 ,

0  

 ^soluzione

21. 1 + 0,2

(0,5 + 2): (1,25 − 1):0,4 1, 3̅

soluzione

22. 1 + 0, 2̅

1 + 1 0,12̅

∶0,12̅

0, 3̅

soluzione

(3)

0,5

1 + 0, 3̅= 0,5 1 + 0, (3)=

= 5 10 1 +3

9

=

= 1 2 1 +1

3

=

= 1 2 3 + 1

3

=

= 1 2 4 3

=

=1 2:4

3=

Trasformo la divisione in una moltiplicazione per l’inverso del divisore

=1 2∙3

4=3 8

0, 3̅ è un numero periodico semplice e il periodo è 3 (una sola cifra di periodo) 0, 3̅ =3 − 0

9

(4)

1, 2̅

0,2 + 1∙ 9

11= 1, (2) 0,2 + 1∙ 9

11=

=

12 − 1 9 2 10 + 1

∙ 9 11=

= 11

9 1 5+ 1

∙ 9 11=

= 11

9 1 + 5

5

∙ 9 11=

= 11

9 6 5

∙ 9 11=

=11 9 :6

5∙ 9 11=

=11 9 ∙5

6∙ 9 11= 5

6

9 = 11 9

0,2 è un numero decimale limitato con una sola cifra decimale 0,2 = 2

10= 1 5

(5)

1

1, 2̅ ∶ 2, 4̅= 1

1, (2): 2, (4)=

= 1

12 − 1

9 ∶24 − 2 9

=

= 1

11 9 ∶

22 9

=

= 1

11 9 ∙

9 22

=

= 1 ∶1 2=

= 1 ∙2 1= 2

9 = 11 9

9 = 22 9

(6)

3, 8̅ ∶ 9, 5̅

2,5 = 3, (8): 9, (5)

2,5 =

=

38 − 3

9 ∶95 − 9 9 25 10

=

= 35

9 ∶ 86

9 5 2

=

= 35

9 ∙ 9 86 5 2

=

= (35 9 ∙ 9

86) ∶5 2=

= (35 9 ∙ 9

86) ∙2 5=

=35 86∙2

5= 7 43

9 = 35 9

9 = 86 9

(7)

7 2 7 10 5 1 10

7 5 1

10 2 5 10

5 1

5 1 2 1 1

5 1

10 2 10 1 5

10 2

2 , 0 5 , 0 1

2 , 0







 

 















 



0,2 è un numero decimale limitato 0,2 = 2

10= 1 5

0,5 è un numero decimale limitato 0,5 = 5

10= 1 2

(8)

0,125 ∙2 + 0, 6̅

1 − 0,5 =

3 2 1 2 3 8 8 1

2 1 3 8 8 1

2 1 2

3 2 6 8 1

2 1 1

3 2 2 40

5

10 1 5

9 2 6 1000

125

5 , 0 1

) 6 ( , 0 125 2 , 0











 









 





 



 

 

(9)

0,5 ∙1 − 0, 3̅

1 + 0, 3̅=

4 1 4 3 3 2 2 1

3 4 3 2 2 1

3 1 3

3 1 3 2 1

3 1 1

3 1 1 2 1

9 1 3

9 1 3 10

5

) 3 ( , 0 1

) 3 ( , 0 5 1 , 0











 









 





 



 

 

(10)

0, 7̅ ∙2 + 0,25 2 − 0,25=

7 1 4 4 9 9 7

4 7 4 9 9 7

4 1 8

4 1 8 9 7

4 2 1

4 2 1 9 7

100 2 25

100 2 25 9 7

25 , 0 2

25 , 0 ) 2 7 ( , 0











 









 





 



 

 

(11)

(0,3 + 0,5 ∙ 7): 0,06̅

(0,305̅ ∙ 42 + 2) ∙ 6=

89 57 89

1 3 2 8 3

6 6 89

1 15 10 38

6 6 12 77

1 15 10

35 3

6 2 2 0 4

0 9

5 7 2

15 : 1 2 7 10

3

6 2 900 42

30 305

90 : 6 10 7

5 10

3

19

7 6 0 03 8 1

11 5 5







 













 









 











 



 





 



 











  





 



 







 



   



 



  









0,06̅ è un numero periodico misto, con una cifra di antiperiodo, lo 0, e con una sola cifra di periodo, il 6

0,06̅ =6 − 0 90 = 6

90= 3 45= 1

15

0,305̅ è un numero periodico misto, con due cifre di antiperiodo, 3 e 0, e con una sola cifra di periodo, il 5.

0,305̅ =305 − 30

900 = 275

900=275: 25 900: 25 =11

36

(12)

(4 + 2 ∶ 2, 6̅): 0,083̅

(4, 60̅̅̅̅ ∙ −7 ∶ 3, 6̅) ∙ 33=

 







 ^



33 ) 6 ( , 3 : 7 ) 60 ( , 4

) 3 ( 08 , 0 : ) 6 ( , 2 : 2 4

89 57 33 33

89 57

33 33 63 152

1 2 1 4 19

11 33 21 33 152

1 12 4

3 16

3 33 3 7 9 9 9

6 5 4

5 7

0 0 9 4 2 2 9 4

9 33 3 :36 99 7

4 460

900 8 :83 9

2 :26 2 4

3 11 3

33 152

1 12

4 2 1 3 1







 









 



 







 





 





 



 





 



 







 







 

 



 



 







 









 



   

 



 



  





9 = 24 9 =8

3

0,083̅ è un numero periodico misto, con due cifre di antiperiodo, lo 0 e l’8, e con una sola cifra di periodo, il 3

0,083̅ =83 − 8 900 = 75

900= 75: 25 900: 25= 3

36= 1 12

4, 60̅̅̅̅ è un numero periodico semplice e il periodo è 60 (due cifre di periodo) 4, 60̅̅̅̅ =460 − 4

99 = 456

99 =152 33

9 = 33 9 =11

3

(13)

 

  _ _

2

1 , 0 6 , 0 3 08 , 0

4 , 1 6 , 1 21: 5 5 , 0 : 5 0 , 0 6 , 0 2 : 4 , 0

2  



 



 

  _ _

^







 



 ² ₂

) 1 ( , 0 6 , 0 ) 3 ( 08 , 0

4 , 1 ) 6 ( , 1 21: 5 5 , 0 : ) 5 ( 0 , 0 ) 6 ( , 0 2 : ) 4 ( , 0 2

96 13 0 4

3 6 3

5 6

9 0 40 0 1 : 3 36

2 9 72

0 6

9 10

3 18 :

1 4 2 1

15 1 12

1 5 1 2 1 18 :

1 6 1

9 9 2 4

9 1 5 3 900

75

5 7 15

9 21

5 2 1 18 :

1 3 2 2 9: 2 4

9 1 10

6 900

8 83

10 14 9

1 :16 21

5 10

5 90 :

5 9

2 6 9: 2 4

8 1

12 13

3 1

2

20 3

2 4

1

1 1

2 2

 



 



 





 







 



 

 

  





 







 

 

  





 



 





 



 



 



 





 



  















  



 

 







 



   

 













  



 

 





(14)

3 , 0 1

3 , 0 25 , 0 5 , 0 6 , 0

75 , 0 1



 



16 17 16

7 24

16 7 2 3

3 : 4 6 :1 4 1

3 1 3

12 3 4

6 3 4

4 3 4

3 1 1

3 1 4 1

2 1 3 2

4 1 3

9 1 3

3 1 100

25

2 1 9 6

100 1 75

9 1 3

3 1 100

25

2 1 9 6

100 1 75

1

 











 





 



 



 







 



 





 



 





 



 

(15)



⁰^,³⁷⁵^²^,⁹¹⁰^,⁵⁶



^:^:



⁵⁰^,^,²⁵²⁵^⁰^,³



^



0,3750,5

 

: 0,250,(3)



^

25 , 5 : ) 6 ( 91 , 2

27 1 3 2 18

1 7 2 1 8

7 525

1 18 525

12 3 : 4 8

4 3

525 1 9 2625

9 3 4 : 1 0 1

5 0 0 0 1

5 7 3

525 0 0 1 0 0 9

291 2916

3

2

3 1

2 8 3













 





 



  



 



 

 





 







 



 







 



 







(16)

(0,4 + 0, 7̅ − 0,15) ∙ 1,2 − 0,83̅

0, 1̅ ∙ 3,6 + 2, 1̅ ∶ 0,83̅ − 0,93̅ =

 

_















) 3 ( 9 , 0 ) 3 ( 8 , 0 : ) 1 ( , 2 6 , 3 ) 1 ( , 0

) 3 ( 8 , 0 2 , 1 15 , 0 ) 7 ( , 0 4 , 0

5 1 2 1 30 12 2 30 12

15 30 30

25 37

15 14 38 6

6 5 30 37

15 14 15 38 5 2

6 5 5 6 0 8 1

5 8 1

15 14 5 6 9 19 5 2

6 5 5 6 180

27 140 72

90 84 75 90 9

2 21 5 18 9 1

90 75 5 6 20

3 9 7 5 2

90 9 93 90

8 83 9

2 21 10 36 9 1

90 8 83 10 12 100

15 9 7 10

4

6 0 3

37











 



 







 





 





















 



  





 











 



  



 

 

 





 





 



  





(17)

 

15 11 5 11 3 1 125

33 9 25

33 18 143

9 25

11 6 3 13

9 25

11 6 3 :1 18 26

9 11 36

11 6 3 :1 18

5 21

9 4 11

11 6 3 :1 18

5 6 7

9 11 22 : 3 11

6

11 6 3 :1 90 25 90 105

9 11 990 :135 11 1 5

99 54 9 :3 90

2 27 90

11 116

9 1 12 990

1 :136 99 1 45

) 54 ( , 0 ) 3 ( , 0 : ) 7 ( 2 , 0 ) 6 ( 1 , 1

) 2 ( , 1 ) 36 ( 1 , 0 : ) 45 ( , 0 1











 











 

 

 

 



 

 

 

 



 

 

 

 

 

 



 

 

   

 

 

 

 



 





(18)

   

1 1 5 1 9 1 1 1 1 45

1

34 5 4 9 4 121 121

16 45 34

5 34 9 4

4 9 130 121

16 45 34

5 34 9 4

4 9 2 65 121

16 45 34

5 34 3 2

2 3 2 65 11

4 45 1 11

10 68 9 6

10 15 10 325 99

36 90

2 1 24

8 , 6 ) 6 ( , 0

5 , 1 5 , 32 ) 36 ( , 0 ) 4 ( 2 , 0 1

2

2 2

2

2 2

2

2 2















 



 









 



 





 



 















 



 





 



 







 

 



 



 















 



 





 



 







 



  



 







(19)

4 1 4 1 2 1

4 1 4 2 1

2 1 2

2 1

7 6 12

7 1

6 12 2 1

6 7 12

7

6 1 12

1 2

6 7

4 1 3 1

6 1

4 1 3 1 2

) 6 ( 1 , 1

25 , 0 ) 3 ( , 0 )

6 ( 1 , 0

25 , 0 ) 3 ( , 2 0

2 2













 



 







 







 



 



 

 



 



 













































 











 



 



 



 

 



 



 



(20)

   

10 7 8 3 75

4 15

7

05 2 : 42 45

1 5 12 6 25 15 14

15 2 5 : 14 45

5 12 6

16 41 45 42

90 12 10 : 28 45

12 : 5 9

4 2 0 9

5 1 6 90 84

90 1 13 10 : 28 45

900 41 :416 9

2 26 90

68 683 90

9 93

) 3 ( 1 , 0 8 , 2 45 :

) 6 ( 41 , 0 : ) 6 ( , 2 ) 3 ( 8 , ) 6 3 ( 9 , 0

3 8

6 41











 



 









 



 





 



 









 



 



 







 











 



 



 



 



   

 



 



Grazie a Alessandro B. e ad Anna G. per la segnalazione del 13.12.2007

(21)

1 + 0,2

(0,5 + 2): (1,25 − 1):0,4 1, 3̅= 1 + 2

10 (5

10 + 2) : ( 125 100 − 1)

: 4 10 13 − 1

9

=

1 +1 5 (1

2 + 2) : ( 5 4 − 1)

: 2 5 4 3

=

= 6 5 (5

2) : ( 1 4)

: (2 5∙3

4) =

= 6 5 (5

2) ∙ ( 4 1)

: 3 10=

= 6 5 10

1

∙10 3 =

=6² 5 ∙ 1

10∙10 3 = 2

5

(22)

1 + 0, 2̅

1 + 1 0,12̅

∶0,12̅

0, 3̅ = 1 + 0, (2)

1 + 1

0,1(2)

:0,1(2) 0, (3) =

= 1 +2 9 1 + 1 11

9 :

11 9 3 9

=

= 11

9 1 + 9

11 : (11

9 ∙3 1) =

= 11

9 20 11

: (11 3) =

=11 9 ∙11

20∙ 3 11= 11

60

(23)

Keywords

Matematica, Aritmetica, espressioni, frazioni, numeri razionali, razionali, insieme Q, Q, decimali,

periodici, periodo, antiperiodo, decimali limitati, decimali illimitati periodici, espressioni, addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni

Math, Arithmetic, Expression, Arithmetic Operations, Q, Rational numbers, Recurring Decimals, Arithmetic, Fraction, Expression, Periodic Decimal Expansions, Period, Aritmetic Operations Involving Fraction, Aritmetic Operations Involving Decimal Numbers

Matemática, Aritmética, fracción, Número racional, número decimal finito, número decimal periódico.

Mathématique, Arithmétique, nombre rationnel, périodique, développement décimal illimité Mathematik, Arithmetik, rationale Zahl, Brüche, Dezimalbruch, Binärbruch, gewöhnlicher Bruch, gemischter Bruch, Äquivalenzrelation

Espressioni con frazioni doppie e decimali (Q).

 

   



 



 





   

 





 





 

   

 

   











 



 

 

 

   

   

  _ _

  _ _

  _ _