Analisi Matematica 2

Analisi Matematica 2

Ingegneria Industriale a.a. 2014–2015

Grafico della funzione f (x, y) := sin(2x²− y) cos(x − 2y²) in [−π/2, π/2]²

Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica 2 ” per Ingegneria classe Industriale Facolt`a di Ingegneria, Universit`a del Salento

Prova scritta di Analisi Matematica II 16 gennaio 2015, A

1. Studiare la sviluppabilit` a in serie di Fourier della funzione periodica di periodo 2π definita come segue:

f (x) = | sin x cos x| , e scrivere la sua serie di Fourier.

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

x

+ y

1 + x

+ y

dx dy , dove D = {(x, y) ∈ R

| x

+ y

≤ 1, y ≤ x}.

3. Determinare il massimo e il minimo assoluto della funzione:

f (x, y) = y

− 2xy

nel settore circolare del cerchio di centro 0 e raggio 1 contenuto nel primo quadrante e delimitato dalle rette y = 3x e x = 0.

4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:

y

− 5y

− 36y = e

.

Prova scritta di Analisi Matematica II 16 gennaio 2015, B

1. Studiare la sviluppabilit` a in serie di Fourier della funzione periodica di periodo 2π definita come segue:

f (x) = | cos 2x| , e scrivere la sua serie di Fourier.

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

x + y

1 + x

+ y

dx dy , dove D = {(x, y) ∈ R

| x

+ y

≤ 1, y ≥ 0}.

3. Determinare il massimo e il minimo assoluto della funzione:

f (x, y) = x

− 2xy nella corona circolare di centro 0 e raggi 1 e 2.

4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:

y

− 4y

+ 5y

− 4y

+ 4y = e

.

Prova scritta di Analisi Matematica II 6 febbraio 2015, A

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente succes- sione di funzioni:

f

(x) = nxe

, n ∈ N , x ∈ R . 2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

e

dx dy ,

dove D ` e il triangolo di vertici (0, 0), (2, 0) e (1, 2).

3. Determinare il massimo e il minimo assoluto della funzione:

f (x, y) = e

nell’insieme D = {(x, y) ∈ R

| x

≤ y ≤ 9}.

4. Trovare le soluzioni del seguente problema di Cauchy:

{ x y

− y = x sin x y

,

y(1) = 1 .

Prova scritta di Analisi Matematica II 6 febbraio 2015, B

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente succes- sione di funzioni:

f

(x) = x

n e

, n ≥ 1 , x ∈ R . 2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

e

dx dy ,

dove D ` e il triangolo di vertici (0, 0), (0, 2) e (2, 1).

3. Determinare il massimo e il minimo assoluto della funzione:

f (x, y) = e

nell’insieme D = {(x, y) ∈ R

| x

≤ y ≤ 9}.

4. Trovare le soluzioni del seguente problema di Cauchy:

{ y

+ x y = x

y

,

y(1) = 1 .

Prova scritta di Analisi Matematica II 19 febbraio 2015, B

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie di funzioni e calcolarne eventualmente la somma:

f

(x) =

+∞

∑

n=0

n x e

, x ∈ R .

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

log(x

+ y

)

x

(x

+ y

) dx dy ,

dove D = {(x, y) ∈ R

| x ≥ 0 , 0 ≤ y ≤ x , 1 ≤ x

+ y

≤ 4}.

3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione:

f (x, y) = 1 + x − y

1 + x

+ y

.

4. Trovare le soluzioni del seguente problema di Cauchy:

{ y

= 2x

(1 + y

) ,

y(0) = 1 .

Prova scritta di Analisi Matematica II 8 giugno 2015, A

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie di Fourier della funzione 2π-periodica:

f (x) = x |x| , −π < x ≤ π , e calcolarne i coefficienti.

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

x

y dx dy ,

dove D = {(x, y) ∈ R

| x

+ y

≤ 4 , x

+ y

− x ≥ 0}.

3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione:

f (x, y) = log |xy| − x .

4. Trovare le soluzioni del seguente problema di Cauchy:

 

 

 



y

− y

= x

,

y(0) = 1 ,

y

(0) = 0 ,

y

(0) = 0 .

Prova scritta di Analisi Matematica II 8 giugno 2015, B

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie di Fourier della funzione 2π-periodica:

f (x) = x + |x| , −π < x ≤ π , e calcolarne i coefficienti.

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

xy

dx dy ,

dove D = {(x, y) ∈ R

| x ≥ 0 , x

+ y

≥ 1 ,

+ y

≤ 1}.

3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione:

f (x, y) = log |xy| − y .

4. Trovare le soluzioni del seguente problema di Cauchy:

 

 

 



y

− y

= x

,

y(0) = 1 ,

y

(0) = 0 ,

y

(0) = 0 .

Prova scritta di Analisi Matematica II 22 giugno 2015, A

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie di funzioni:

+∞

∑

n=0

( −1)

arctan

x n + 1

e calcolarne la somma nell’insieme di convergenza.

2. Calcolare la lunghezza della curva φ : [π/6, π/3] → R

definita ponen- do, per ogni t ∈ [0, 1]:

φ(t) = (log(sin t), t) .

3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione:

f (x, y) = sin(2x − y)

nel dominio D = {(x, y) ∈ R

| 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ x} . 4. Trovare le soluzioni del seguente problema di Cauchy:

{ y

− y = x

y

,

y(0) = 1 .

Prova scritta di Analisi Matematica II 22 giugno 2015, B

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie di funzioni:

+∞

∑

n=1

( −1)

n sin

x . e calcolarne la somma nell’insieme di convergenza.

2. Calcolare la lunghezza della curva φ : [π/6, π/3] → R

definita ponen- do, per ogni t ∈ [0, 1]:

φ(t) = (log(cos t), t) .

3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione:

f (x, y) = cos(2x − y)

nel dominio D = {(x, y) ∈ R

| 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 − x} . 4. Trovare le soluzioni del seguente problema di Cauchy:

{ y

+ y = xy

,

y(0) = 1 .

Prova scritta di Analisi Matematica II 7 luglio 2015, B

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente succes- sione di funzioni:

f

(x) = arctan x

n − arctan(nx) , n ≥ 1 , x ∈ R .

2. Calcolare la lunghezza della curva φ : [0, 2π] → R

definita ponendo, per ogni t ∈ [0, 2π]:

φ(t) = (t, t sin t, t cos t) .

3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione:

f (x, y) = x

y e

nel quadrato di vertici (−1, −1), (1, −1), (1, 1) e (−1, 1) . 4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:

y

− y = xy

.

Prova scritta di Analisi Matematica II 8 settembre 2015, B

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente succes- sione di funzioni:

f

(x) =

 



n

x

, x ∈ [ 0,

]

, 1

n

x

, x ∈ ]

n

, + ∞ [ .

Dire se si pu` o usare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale negli intervalli [0, 1] e [1, 2].

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

x

y dx dy ,

dove D ` e il sottoinsieme limitato di R

delimitato dall’asse x e dalla parabola y = −x

+ 4.

3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione:

f (x, y) = |x| e

nel triangolo di vertici (0, 1), (−2, −1), (2, −1) .

4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale:

y

= y

− x

xy .

Prova scritta di Analisi Matematica II 23 settembre 2015, B

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente succes- sione di funzioni:

f

(x) = x sin

x , x ∈ [−π, π] . 2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

x √

x

+ y

dx dy , dove D = {(x, y) ∈ R

| x

+ y

≤ 1 , −x ≤ y ≤ √

3x }.

3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione:

f (x, y) = x e

in R

.

4. Trovare le soluzioni del seguente problema di Cauchy:

{ x

y

= −xy − 2y

,

y(1) = 1 .

Prova scritta di Analisi Matematica II 26 ottobre 2015, B

1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente succes- sione di funzioni:

f

(x) = 4

arctan

x

π

, x ∈ R .

2. Calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫

D

x

y dx dy ,

dove D = {(x, y) ∈ R

| − 1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 − x

}.

3. Determinare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della funzione:

f (x, y) = x log(x

+ y

)

nella corona circolare compresa dalle circonferenze di centro 0 e raggi 1 e 2.

4. Trovare le soluzioni del seguente problema di Cauchy:

 

 

 



y

− 2y

+ y = e

, y(1) = 1 ,

y

(1) = 0 ,

y

(1) = 0 .