Corso di Meccanica, Macchine e Impianti Termici CAPITOLO 7 TRASMISSIONE DEL MOTO CON - RUOTE DI FRIZIONE - RUOTE DENTATE - CINGHIE PIATTE E TRAPEZIOIDALI

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Anno Scolastico 2009/2010

Corso di Meccanica, Macchine e Impianti Termici CAPITOLO 7

TRASMISSIONE DEL MOTO CON - RUOTE DI FRIZIONE

- RUOTE DENTATE

- CINGHIE PIATTE E TRAPEZIOIDALI

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7. INTRODUZIONE

In questo capitolo ci si prefigge lo scopo di illustrare i principali metodi di trasmissione del moto tra due assi. In particolare si approfondirà la teoria delle ruote di frizione, delle ruote dentate e delle cinghie. Alla fine di ogni capitolo sono presenti degli esercizi svolti o delle procedure di calcolo che possono essere un valido aiuto alla comprensione delle metodologie di risoluzione.

7.1 RUOTE DI FRIZONE

Un esempio semplice di trasmissione tra due alberi non molto distanti tra loro e quello delle ruote di frizione.

Lateralmente è riportato lo schema di tale trasmissione, costituita da due ruote di diametri D1 e D2, la prima sull’albero motore con velocità angolare ωm e momento motore Mm, la seconda sull’albero condotto con velocità angolare ωu e momento resistente MR. Il moto può trasmettersi grazie all’aderenza che fa nascere una forza tangenziale T in seguito alla forza R con cui vengono spinte le ruote l’una contro l’altra, se f è il coefficiente d’attrito, sarà:

T = ⋅ f R Nella figura è indicato con

¹ ²

2 2

D D

I = + l’interasse, si pone in evidenza che, in assenza di slittamento, la velocità periferica del punto di contatto sulla ruota 1 è uguale a quella del punto di contatto sulla ruota 2.

1 2

V = V

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Quindi avremo che:

1 2

2 2

D D

ω ⋅ = ω ⋅ e cioè

¹ ²

2 1

i D

D ω

= ω =

Quindi il rapporto di trasmissione dipende dal diametro delle due ruote. Quest’ultima formula insieme a quella dell’interasse ci consente di dimensionare correttamente i diametri delle due ruote.

In pratica, le ruote di frizione hanno un campo d’impiego piuttosto limitato, pur avendo il vantaggio della silenziosità e della regolarità della trasmissione, poiché sono utilizzabili solo per potenze modeste. Infatti per potenze elevate deve risultare elevata la forza T = ⋅ ma, poiché il coefficiente d’attrito per i materiali comunemente impiegati f R (acciaio, ghisa) è piuttosto basso (f=0,10-0,15), occorrerebbero spinte R molto elevate con conseguenti eccessive sollecitazioni sugli alberi, sui perni, sui cuscinetti, ecc.

7.1.1 ESEMPIO DI CALCOLO DI DUE RUOTE DI FRIZIONE

Dimensionare una coppia di ruote di frizione, capaci di trasmettere una potenza di 2 kW tra due alberi paralleli distanti 0,5 m e ruotanti rispettivamente a n1=500 giri/min ed n2=330 giri/min.

SOLUZIONE:

Per l’interasse I = 0,5 m = 500 mm avremo:

1 2

2 2 500

D D

+ =

mentre per il rapporto di trasmissione

¹ ¹

2 2

500 1,515 330

i n

n ω

= ω = = = avremo:

2 1

1, 515 D

D =

Pertanto risolvendo i sistema:

1 2

1 2 1 1

2 2 1 2 1 2

1

500 1000 2, 515 1000 398

2 2

1, 515 1, 515 602

1, 515 D D

D D D D mm

D D D D D D mm

D

⎧ + =

⎪ ⎧ + = ⎧ ⋅ = ⎧ =

⎪ ⎨ ⎨ ⎩ = ⋅ ⎨ ⎩ = ⋅ ⎨ ⎩ =

⎪ =

⎪⎩

Per completare il dimensionamento, occorre determinare la larghezza b delle due ruote

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che supporremo di costruire in ghisa. Procediamo al calcolo del momento motore dalla formula della potenza:

1 1

N = M ⋅ con ω

₁

2

¹

52, 36 60

n rad

s ω = ^{⋅ ⋅} π =

Quindi:

1 1

2000 38,197 38197

52, 36

M N N m N mm

= ω = = ⋅ = ⋅

Occorre quindi una forza tangenziale

¹

1

2 2 38197

398 192

T M N

D

⋅ ⋅

= = =

Ipotizzando un coefficiente d’attrito f=0,15 dovremmo avere una forza premente:

192 1280 0,15

R T N

= f = =

Supponendo che la pressione specifica ammissibile lungo la generatrice di contatto sia

amm

20 p N

= mm possiamo ricavare la larghezza b delle ruote:

1280 64

amm

20 b R mm

= p = =

(5)

7.2 RUOTE DENTATE 7.2.1 GENERALITA’

Abbiamo visto che con le ruote di frizione si hanno dei limiti nella trasmissione di potenze elevate a causa delle proibitive sollecitazioni radiali cui devono essere sottoposte per garantire l’aderenza. A partire da due ruote di frizione ideali, rappresentate dalle circonferenze tratteggiate, immaginiamo di

ricavare sulle loro superfici esterne una serie di denti, alternati a spazi vuoti, che durante il moto si compenetrino facilmente; è evidente come, in tal caso, la trasmissione della potenza non è più affidata all’attrito ma alla spinta che ciascun dente della ruota motrice esercita su quelli della ruota condotta. In tal modo, purché si costruiscano denti sufficientemente robusti,

sarà possibile trasmettere potenze anche

grandi. Si definisce INGRANAGGIO un

meccanismo composto da due ruote dentate

una delle quali (motrice) trasmette il moto

all’altra (condotta). A seconda dell’andamento

dell’asse dei denti, la dentatura può essere

diritta (a), elicoidale (b) o bielicoidale (c). Con gli

ingranaggi si può trasmettere il moto, oltre che tra

due alberi con assi paralleli (con ruote cilindriche a

denti diritti e a denti elicoidali), anche tra alberi ad

assi concorrenti (utilizzando ruote coniche sia a

denti diritti che elicoidali), tra alberi ad assi

sghembi.

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Inoltre è possibile operare la trasformazione del moto da rotatorio a traslatorio con il meccanismo pignone/cremagliera. Dato un ingranaggio si definisce pignone la ruota dentata di diametro minore e ruota quella di diametro maggiore. Si definisce interasse la

distanza tra gli assi delle due ruote. Dette ω

₁

la velocità angolare del pignone ed ω

₂

la velocità angolare della ruota, si definisce rapporto di trasmissione il rapporto

¹

2

i ω

= ω .

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7.2.2 CARATTERISTICA DELLA DENTATURA Con riferimento alla seguente figura si definisce:

- diametro primitivo ( d ), il

_p

diametro della ruota di frizione fittizia capace di trasmettere il moto con lo stesso rapporto di trasmissione della ruota dentata;

- testa del dente, la parte di esso compresa tra la circonferenza primitiva e la circonferenza esterna (detta anche di troncatura o di testa);

- piede del dente, la parte di esso compresa tra la circonferenza interna (detta anche di fondo o di base) e la circonferenza primitiva;

- passo della dentatura (p), la distanza fra gli assi di due denti consecutivi, misurata in corrispondenza della circonferenza primitiva; se indichiamo con “z” il numero di denti della ruota, il passo della dentatura sarà dato da d

^p

p z

π ⋅

=

Perché l’ingranamento sia regolare il passo del pignone deve essere uguale al passo della rota

1 2

p p

d d

p p

z z

π ⋅ π ⋅

= = =

Ciò implica che

¹ ¹

2 2

p p

d z

d = z e quindi, per il rapporto di trasmissione valgono tutti i seguenti rapporti:

1 1 2 2

2 2 1 1

p p

n d z

i n d z

ω

= ω = = =

(8)

Con riferimento alla seguente figura:

Detta Ce la circonferenza esterna o di testa (con diametro d ), Ci la circonferenza

_e

interna o di piede (con diametro d ), Cp la circonferenza primitiva (con diametro

_i

d ),

_p

avremo ancora:

- altezza del dente,

2

e i

d d

h −

= ;

- addendum,

2

e p

a

d d

h −

= ;

- dedendum,

2

p i

d

d d

h −

= ;

- lo spessore “s” ed il vano “v”, rispettivamente le lunghezze, sulla primitiva, della parte piena del dente e della parte vuota tra un dente e l’altro (la loro somma è uguale al passo p=s+v).

- la larghezza del dente “b”

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7.2.3 IL MODULO

Il passo, precedentemente definito, è un elemento caratteristico della dentatura che un tempo veniva utilizzato come riferimento per il dimensionamento di tutte le altre parti.

Tuttavia il passo presenta l’inconveniente di essere un numero con la virgola in quanto per il suo calcolo dobbiamo utilizzare il π. Allora è stato introdotto il modulo (m) definito come il rapporto tra il diametro primitivo e il numero dei denti:

d

p

m = z

Il calcolo delle ruote dentate si basa sul calcolo del modulo individuato il quale si passa al proporzionamento modulare secondo il seguente schema:

CARATTERISTICA FORMULA

Passo p = ⋅ π m

Diametro primitivo d

_p

= ⋅ m z

Diametro esterno d

_e

= d

_p

+ ⋅ = ⋅ + 2 m m z ( 2) Diametro interno d

_i

= d

_e

+ ⋅ = 2 h d

_e

+ 2, 25 ⋅ m

Addendum h

_a

= m

Dedendum h

_d

= 1, 25 ⋅ m

Altezza del dente h = h

_a

+ h

_d

= 2, 25 ⋅ m Spessore vano

2 s = = ⋅ v π m

Larghezza b = ⋅ λ m

Gioco

4 g = m

interasse

₁ ₂

2 z z a = ⋅ m +

b

λ = m viene assunto normalmente pari a 10 nelle ruote a denti dritti, mentre per ruote

elicoidali può assumere valori molto maggiori.

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7.2.4 CREAZIONE DELLE RUOTE E ANGOLO DI PRESSIONE

Nella costruzione delle ruote dentate, per evitare il più possibile il fenomeno dello strisciamento tra i fianchi a contatto dei denti, i denti delle ruote dentate devono essere costruiti con particolari profili, detti profili coniugati. Il profilo maggiormente usato per la costruzione delle ruote dentate è quello ad evolvente in quanto si ottiene più facilmente con le macchine utensili e inoltre tale profilo mantiene costante il rapporto di trasmissione anche se per difetto di montaggio varia la distanza tra i centri degli ingranaggi (interasse). Gli altri vantaggi del profilo ad evolvente sono la maggiore silenziosità e la maggiore resistenza alla flessione.

I denti della ruota motrice trasmettono ai denti della ruota condotta una spinta F che ha direzione tale da formare un angolo di pressione θ con la tangente comune alle due circonferenze.

La forza utile trasmessa dalla ruota motrice alla ruota condotta è la componente della

spinta S sulla tangente alle due circonferenze primitive.

(11)

La forza utile trasmessa dalla ruota motrice alla ruota condotta è la componente della spinta F sulla tangente alle due circonferenze

primitive e vale.

1 2

cos

^m ^R

T

C C

F F

R R

θ

= ⋅ = =

C

m

= Coppia motrice C

R

= Coppia resistente

La componente F , non è responsabile del

_R

moto e costituisce una sollecitazione sull’albero su cui sono calettate le ruote, è data da:

F

T

= ⋅ F sin θ

Se ne deduce che conviene rendere l’angolo di pressione θ molto piccolo per aumentare il valore della forza utile F .

_T

7.2.5 MINIMO NUMERO DI DENTI

Nella costruzione delle ruote dentate, non si può scendere sotto un certo numero di denti senza compromettere il corretto funzionamento.

Il valore dell’angolo di pressione influisce sul numero minimo di denti che una ruota può avere affinché il profilo del dente sia tutto coniugato. In pratica si assegna il numero di denti in funzione dell’angolo di pressione e del rapporto di trasmissione utilizzando la seguente formula:

min 2 2

2 (1 2 ) sin Z

i i θ i

= + + ⋅ −

Dove i = rapporto di trasmissione.

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

15° 21 25 26 27 28 28 29 29 29 29

20° 13 15 15 16 16 16 17 17 17 17

θ

25° 9 10 10 11 11 11 11 11 11 11

Numero minimo di denti in funzione dell’angolo di pressione e del rapporto di trasmissione

(12)

7.2.6 RUOTE A DENTI ELICOIDALI

Le ruote a denti diritti, a causa della brusca variazione dei carichi quando si passa da una coppia di denti in presa alla successiva, sono fonti di vibrazioni, urti e rumorosità sempre più evidenti all’aumentare della velocità. Si può risolvere l’inconveniente facendo in modo che l’ingranamento avvenga con maggiore gradualità. Ciò si può ottenere utilizzando ruote a denti elicoidali che garantiscono la massima gradualità dell’ingranamento con un sensibile aumento dell’arco d’azione ed il conseguente vantaggio della massima silenziosità oltre ad una efficace riduzione del numero minimo di denti. Come si vede, il

dente assume la direzione di un’elica di inclinazione α (normalmente variabile da 10° a 45°) rispetto alla direzione dell’asse della ruota. A causa di ciò, delle due componenti della forza che si scambiano i denti, quella tangenziale “F”, risulta perpendicolare all’asse dei

denti e quindi ulteriormente scomponibile nella componente utile, responsabile della coppia motrice F

_u

= ⋅ F cos α e in una componente assiale, che finisce per sollecitare sia gli alberi che i cuscinetti assialmente, F

_a

= ⋅ F sin α .

Quindi i vantaggi delle ruote elicoidali sono:

- Maggiore silenziosità di ingranamento;

- Riduzione del numero di denti minimo;

- Maggiore resistenza in quanto lo sforzo è scaricato su più coppie di denti in presa.

Gli svantaggi sono:

- Componente assiale Fa che si scarica sul cuscinetto;

- Minor rendimento meccanico.

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7.2.7 ROTISMI

Coppie di ruote dentate possono essere accoppiate tra loro in diversi modi allo scopo di soddisfare particolari condizioni di progetto:

- posizione degli assi di ingresso e di uscita del rotismo;

- senso di rotazione degli assi;

- rapporto di trasmissione;

La figura mostra un rotismo ordinario costituito dall’albero motore che ruota ad n giri al minuto, due alberi

₁

ausiliari intermedi che ruotano ad n

₂

ed n giri al minuto e un albero

₃

condotto che ruota ad n giri al

₄

minuto; su di essi sono calettate le ruote dentate di Z ,

₁

Z ,

2

Z ,

³

Z ,

4

Z , e

⁵

Z denti. Per ciascun ingranaggio del

6

rotismo si può determinare il rapporto di trasmissione:

1 2

1

2 1

n Z

i = n = Z

₂ ² ⁴

3 3

n Z

i = n = Z

³ ⁶

3

4 5

n Z i = n = Z Il rapporto di trasmissione totale:

3 6

1 2 2 4 1

1 2 3

2 3 4 1 3 5 4

TOTALE

n Z

n n Z Z n

i i i i

n n n Z Z Z n

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

(14)

7.2.8 CALCOLO A FLESSIONE SECONDO LEWIS

Secondo Lewis, il dente è da considerarsi come una trave a mensola caricato sul suo spigolo estremo. Si ipotizza una sola coppia di denti in presa, inoltre lo spessore sf della sezione resistente, la sua distanza hf dalla testa del dente e la larghezza b, sono tutte proporzionali al modulo m. Con queste ipotesi il modulo si calcola con la seguente formula:

3

10, 9

ad

m M

λ Z σ

= ⋅

⋅ ⋅

M = Massimo momento torcente da trasmettere [ ^{N m} ^⋅ ]

Z = Numero di denti Æ Deve essere Z > Z

_min

σ

ad

= Tensione ammissibile dinamica Æ 3

ad amm

3 σ = σ ⋅ V

+

σ

amm

= Tensione ammissibile del materiale N

₂

mm

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ Æ

_amm ^R

n σ = σ

σ

R

= Tensione di rottura del materiale n = coefficiente di sicurezza

V = Velocità periferica della ruota m s

⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ b

λ = m Æ λ = 10 15 − costruzione poco rigida 15 25

λ = − supporti scatolati 25 30

λ = − costruzione accurata e rigida

Se è noto lo spessore della ruota dentata da realizzare possiamo utilizzare questa formula:

10, 9

ad

m M

b z σ

= ⋅

⋅ ⋅

Dove al posto di λ è presento lo spessore b della ruota dentata.

(15)

Materiale

^R ²

N σ ^⎡ _⎢ mm ^⎤ _⎥

⎣ ⎦ Durezza HB

p

am

(N/mm

2

)

Ghisa sferoidale G 25 Acciaio fuso Fe 520 Acciaio fuso Fe 560 Acciaio da costruzione Fe 490 Acciaio da costruzione Fe 590 Acciaio da costruzione Fe 690

Acciaio bonificato C 40 Acciaio bonificato C 45 Acciaio bonificato C 50 Acciaio bonificato C 60 Acciai legati da bonifica Acciai al carbonio da cementazione

Acciai legati da cementazione Bronzi allo stagno in getti

260 520 600 490 590 690 700 740 800 840 750 ÷ 1500

500 800 ÷ 1400

200 ÷ 320

210 150 175 150 180 210 180 185 200 210 260 ÷ 400

640 650 90 ÷ 115

320 230 250 230 275 300 350 360 375 380 450 ÷ 700

1000 1000 140 ÷ 175 Caratteristiche dei principali materiali utilizzati per la realizzazione delle ruote dentate

0,5 0,75 1 1,125 1,25 1,375 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3 3,25 3,5 3,75 4 4,5 5 5,5

6 6,5 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20 22 25 28 32 36 40 45 50

Moduli unificati (UNI 6586-69)

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7.2.9 PROEDURA DI CALCOLO Si conoscono i seguenti dati:

- Potenza da trasmettere - ^{P W} [ ]

- Numero di giri delle ruote e rapporto di trasmissione.

1 Dalla potenza determiniamo la coppia Æ P

M ⁼ ω ^dove 2

60 π n ω = ^{⋅ ⋅}

[ ]

M N m ⋅ ^{P W} [ ]

min . n ⎡ giri ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

2 Scelgo l’angolo di pressione della mia ruota (15° - 20° - 25°)

3 Si stima il numero minimo di denti Z

_min

in funzione del rapporto di trasmissione e si sceglie, per il pignone, un numero di denti Z

₁

> Z

_min

tale che sulla ruota possa venire un numero di denti intero Z

₂

= ⋅ i Z

₁

min 2 2

2 (1 2 ) sin Z

i i θ i

= + + ⋅ −

4 Si fissa una velocità periferica di tentativo 3 4 m

V s

= − ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

5 Si fissa λ (oppure b) e σ

_amm

6 Si calcola la σ

_ad

³

ad amm

3 σ = σ ⋅ V

+

7 Si procede al calcolo del modulo e si sceglie quello immediatamente superiore tra quelli unificati.

3

10, 9

ad

m M

λ Z σ

= ⋅

⋅ ⋅

10, 9

ad

m M

b z σ

= ⋅

⋅ ⋅ 8 Si verifica che la velocità periferica

60 1000 n m z V = π ⋅ ⋅ ⋅

⋅ risulti minore o uguale a quella di tentativo scelta al punto 4. Se non viene verificato bisogna ritornare al punto 4 e rifare il calcolo con una velocità superiore.

9 Una volta calcolato il modulo necessario, si procede al calcolo di

dimensionamento di tutti i particolari della dentatura e dell’ingranaggio riportando

i valori su una tabella come la seguente:

(17)

CARATTERITICA FORMULA PIGNONE CREMAGLIERA Numero di denti

Z

1

e Z

₂

Addendum

h

a

= m

Dedendum h

_d

= 1, 25 ⋅ m

Altezza dente h = h

_a

+ h

_d

= 2, 25 ⋅ m

Larghezza dente b = ⋅ λ m

Diametro primitivo

D

p

= ⋅ m z

Diametro esterno D

_e

= D

_p

+ ⋅ 2 m

Diametro interno D

_i

= D

_e

− ⋅ 2 h

Passo p = ⋅ π m

Angolo di pressione θ

Rapporto di trasmissione

2 1

i Z

= Z

Interasse

1 2

( )

2 m Z Z I = ⋅ +

Infine si procede al proporzionamento delle restanti parti delle ruote dentate secondo le

regole empiriche riportate sulla manualistica come di seguito riporato.

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7.3 TRASMISSIONE A CINGHIA

7.3.1 GENERALITA’

- Sono utilizzate per trasmettere potenza a lunga distanza;

- Ideali per trasmissioni con urti e vibrazioni;

- Non adatte per trasmissioni di elevata potenza;

- Non è garantita la costanza del rapporto di trasmissione a causa di piccoli scorrimenti (ad esclusione elle cinghie dentate).

Le cinghie devono la flessibilità al materiale di cui sono fatte. Le catene devono la flessibilità al moto relativo tra gli elementi che le compongono.

7.3.2 TIPI DI CINGHIE

Le trasmissione con cinghie e pulegge sfruttano prevalentemente aderenza e attrito.

- Cinghie piatte: a) sezione rettangolare su pulegge piane o leggermente bombate.

- Cinghie trapezoidali: b) sezione trapezia. Costituite da una serie di cavi immersi in sezione cuneiforme in elastomero. Commercializzate in lunghezze unificate e di sezione unificate Z-A-B-C-D-E.

- Cinghie dentate: c) costituite, come le trapezoidali, da una serie di cavi immersi in

rivestimento di neoprene. Dotate di denti che alloggiano in opportuni vani realizzati

sulle pulegge.

(19)

7.3.2 LA TENSIONE NELLE CINGHIE

- Da A a B = arco di aderenza a tensione costante massima pari a T.

- Da B a C = tratto di cinghia in cui la tensione gradualmente decresce da T a t mentre la cinghia si dilata.

- Da C a D = tratto rettilineo in cui regna la tensione costante minima t e la cinghia è dilatata.

- Da D ad E = arco di aderenza a tensione costante minima pari a t.

- Da E ad F = tratto di cinghia in cui la tensione gradualmente cresce da t a T mentre la cinghia si assottiglia.

- Da F ad A = tratto rettilineo in cui regna la tensione costante massima T e la cinghia è assottigliata.

- α e α = angoli di avvolgimento: α ' + α ' =360°

- β e β ' = angoli di scorrimento (presenza di scorrimento elastico per la cinghia che si deforma).

La tensione di montaggio è la media tra T e t:

m

2 T t

T = +

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La differenza tra T e t è la forza equilibrante il momento motore, facendo l’equilibrio alla rotazione sulla puleggia motrice avremo:

2 2 0

m

d d

M − ⋅ + ⋅ = T t Æ ( ) ⁰

m

2 M − ⋅ d T − = t Æ ( ^T ^t ) ^M

^m

²

d

− = ⋅

Il rapporto tra le tensioni dipende inoltre in modo esponenziale dal coefficiente d’attrito f e dall’angolo di avvolgimento α:

T

f

t e

⋅α

=

Se con F

_u

si indica la forza utile che produce il moto rotatorio, avremo:

2

_m

2

_R

u

M M

F P

V d D

⋅ ⋅

= = =

Dove P è la potenza trasmessa, V la velocità della cinghia, d la puleggia motrice e D la puleggia condotta.

Poiché F

_u

= − T t e T

^f

t e

α

=

⋅

avremo:

1

f

u f

T F e e

α α

⋅

= ⋅

⋅

− ^e

1

u f

1 t F

e

^⋅^α

= ⋅

−

Dalle quali si possono ricavare le tensioni nella cinghia noti la potenza, l’angolo di avvolgimento e il

coefficiente d’attrito.

(21)

7.3.3 DIMENSIONAMENTO DELLA CINGHIA PIATTA Si conoscono i seguenti dati:

- Potenza da trasmettere - ^{P W} [ ]

- Numero di giri delle pulegge e rapporto di trasmissione.

- Coefficiente di attrito – f (da un minimo di 0,5 a un massimo di 0,75) - Interasse delle pulegge – I

- σ

_amm

= da 3 a 4 N

₂

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