COGNOME E NOME MATRICOLA FIRMA

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COGNOME E NOME MATRICOLA FIRMA

Simulazione prova d’esame scritta del corso di

ANALISI MATEMATICA I (12 CFU) - Canale A-L Anno Accademico 2015-16 Ingegneria Gestionale - Sapienza Universit` a di Roma .

ISTRUZIONI

1. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l’elaborato scritto solo su questi fogli.

2. Non ` e ammesso l’uso di appunti, libri e calcolatrici.

Esercizio 1 (4 punti)

Studiare continuit` a e derivabilit` a in 0 della funzione:

f (x) =



 



 



e ^x

− 1

3x ² x 6= 0;

1

3 x = 0.

. . . . Esercizio 2 (5 punti)

Data la funzione

f (x) = |2x ² − x − 1|e ^−x ,

determinarne l’insieme di definizione e il segno; stabilire se f (x) ` e una funzione pari, dispari, periodica o nessuna delle precedenti; studiare la continuit` a di f (x) nel suo insieme di definizione, calcolare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti, eventuali punti di non derivabilit` a, eventuali massimi e minimi relativi. Tracciare un grafico qualitativo della funzione.

. . . . Esercizio 3 (4 punti)

Studiare il carattere della serie

∞

X

k=1

k ² + k + 3

e ^2k .

. . . . Esercizio 4 (4 punti)

Scrivere la soluzione generale dell’equazione differenziale

x ⁰ = t ³ + t t + 1 x.

. . . . Esercizio 5 (4 punti)

Risolvere l’equazione nel campo dei numeri complessi

3z ⁶ − z ³ − 2 = 0.

. . . . Domanda 1 (4 punti) Definire la derivata parziale di una funzione a due variabili reali in un punto. Fornire un esempio di funzione a due variabili reali derivabile in (0, 0) e un esempio di funzione a due variabili non derivabile in (0, 0): motivare la risposta applicando la definizione di derivata parziale.

. . . . Domanda 2 (2 punti) Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale.

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Domanda 3 (3 punti) Dimostrare per induzione che 2 ⁿ⁻¹ ≤ n! per ogni n ≥ 1.