UNIVR – Facolt`a di Economia – Corso di Matematica – Sede di Vicenza 2
Osservazione Un punto di massimo (minimo) globale `e anche di massimo (minimo) locale. Non vale il viceversa.
Non `e comunque una novit`a: questo vale anche per le funzioni di una sola variabile. Si pensi ad esempio alla funzione x7→ 2x3− 3x2+ 1, definita in tutto R. Essa ha in 0 un punto di massimo locale e in 1 un punto di minimo locale, ma non ha punti n´e di massimo n´e di minimo globali. Pu`o essere un utile esercizio di ripasso verificare il tutto con un semplice studio della funzione in questione.
Esempi La funzione f : R2→ R, definita da f (x, y) = x2+ y2, ha in x0= (0, 0) un punto di minimo globale.1 La funzione f : R2→ R, definita da f (x, y) = e−x2−y2, ha in x0= (0, 0) un punto di massimo globale (si consideri che f `e una funzione radiale, con profilo la funzione f0: [0, +∞) → R definita da f0(t) = e−t2).
Diamo ora un’altra importante definizione, che non dovrebbe sorprendere lo studente che ricorda le cose viste con le funzioni di una sola variabile.
Definizione Sia f : A ⊂ Rn→ R una funzione di classe C1in un insieme aperto A.2 Diciamo che il punto x0∈ A `e un punto stazionario di f se ∇f (x0) = 0.
Osservazione Lo studente non confonda i concetti di punto di massimo (minimo) e di punto stazionario. Si noti che nelle definizioni di punto di massimo (minimo) non si fa nessuna ipotesi sulla derivabilit`a, e che invece nella definizione di punto stazionario la derivabilit`a `e ovviamente necessaria. Si ricordi a tale proposito che ad esempio la funzione (di una variabile) f (x) = |x| ha in 0 un punto di minimo (locale e globale) ma non `e in tale punto derivabile.
Per comprendere e ricordare meglio i risultati che ora enuncer`o, lo studente potrebbe rivedere rapidamente gli analoghi risultati visti nella seconda parte del corso per le funzioni definite in R.
Proposizione Se f `e una funzione di classe C1 nell’aperto A e f ha in x0un punto di massimo (o minimo) locale, allora x0 `e un punto stazionario di f .
Osservazione Tale risultato viene talvolta indicato come la condizione necessaria del primo ordine per l’esistenza di un punto di massimo o di minimo locali (per funzioni derivabili).3
Osservazione Ricordo che non vale il viceversa della proposizione appena vista. Non `e vero cio`e che, se x0 `e stazionario, allora esso sia necessariamente o di massimo o di minimo. Si ricordi il classico controesempio (in una variabile) dato da x 7→ x3, che in x0= 0 ha un punto stazionario, che per`o non `e n´e di massimo n´e di minimo.
Esempio Come controesempio in R2 possiamo considerare la funzione f (x, y) = x2− y2. Si vede facilmente che l’origine x0 = (0, 0) `e un punto stazionario di f . Infatti f `e certamente di classe C1 e si ha ∇f (x, y) = (2x, −2y).
Pertanto risulta ∇f (x0) = ∇f (0, 0) = (0, 0). Possiamo vedere altrettanto facilmente che l’origine non `e punto n´e di massimo n´e di minimo di f . A tale proposito ci possono tornare utili le restrizioni di f . Se consideriamo la restrizione di f alla retta (t, 0), con t ∈ R, otteniamo la funzione
f1(t) = t2,
per cui x0= (0, 0) non pu`o essere punto di massimo. Se invece consideriamo la restrizione di f alla retta (0, t), con t∈ R, otteniamo la funzione
f2(t) = −t2, per cui x0= (0, 0) non pu`o essere nemmeno punto di minimo.
Osservazione Possiamo in generale fare uso di un fatto abbastanza intuitivo: se f ha in x0 un punto di massimo (minimo) locale, allora ogni restrizione “passante per x0” deve avere anch’essa un punto di massimo (minimo) locale.4 Osservazione Per la ricerca dei punti di massimo o di minimo, valendo la condizione del primo ordine, conviene cercare intanto gli eventuali punti stazionari (si parla sempre di funzioni derivabili). La condizione per`o non consente di decidere se i punti stazionari trovati siano di massimo o di minimo (o nessuna delle due). Si osservi che non `e una novit`a: anche con le funzioni di una variabile si procede nello stesso modo. Anche con quelle, inoltre, sapere che f′(x0) = 0 non ci consente di dire nulla sul punto x0. Con una variabile occorre studiare o il segno della derivata prima in prossimit`a di x0 oppure la derivata seconda in x0. Anche per le funzioni di pi`u variabili un aiuto per poter dire
1Il risultato si trova immediatamente pensando che la funzione assume sempre valori non negativi e si annulla nell’origine.
Alternativamente si pu`o osservare che f `e una funzione radiale, con profilo la funzione f0: [0, +∞) → R definita da f0(t) = t2.
2Ricordo che dicendo che f `e di classe C1 in A si intende che f ha derivate continue in A. Pi`u avanti, dicendo che f `e di classe C2in A si intende che f ha derivate seconde continue in A.
3Il risultato esprime infatti che la stazionariet`a, cio`e l’annullarsi della derivata, `e condizione necessaria per avere un punto di massimo o di minimo. Dicendo primo ordine ci si riferisce all’ordine di derivazione: qui si usa infatti la derivata prima.
4Pi`u precisamente, se f ha in x0 un punto di massimo (minimo) locale e se γ `e una curva tale che γ(t0) = x0, allora la restrizione f ◦ γ ha in t0un punto di massimo (minimo) locale.
