Appendice
Analisi in frequenza dei segnali
1 - Segnali periodici
Fig.1.1 - Segnale sinusoidale: frequenza f = 50 Hz, ampiezza A = 10 V.
Fig.1.2 - Sovrapposizione di due segnali sinusoidali:
Primo segnale: frequenza f = 50 Hz, ampiezza A = 10 V.
Secondo segnale: frequenza f = 150 Hz, ampiezza A = 3 V.
Segnale risultante (in rosso).
Importanza della fase
Fig.1.3 - Importanza della fase nella sovrapposizione di due segnali sinusoidali:
Primo segnale: frequenza f = 50 Hz, ampiezza A = 10 V, fase ϕ = 0°.
Secondo segnale: frequenza f = 150 Hz, ampiezza A = 3 V, fase ϕ = 45°.
Segnale risultante (in rosso).
Fig.1.4 - Importanza della fase nella sovrapposizione di due segnali sinusoidali:
Primo segnale: frequenza f = 50 Hz, ampiezza A = 10 V, fase ϕ = 0°.
Secondo segnale: frequenza f = 150 Hz, ampiezza A = 3 V, fase ϕ = -180°.
Segnale risultante (in rosso).
Nelle Fig.1.3 e 1.4 si osserva che, benchè le ampiezze dei due segnali sinusoidali siano le stesse, l’aspetto del segnale risultante è molto diverso nei due casi: ciò è dovuto alle diverse fasi dei due segnali.
Sviluppo in serie di Fourier
Per i segnali periodici la rappresentazione più usata nel dominio della frequenza è costituita dalla scomposizione in serie di Fourier, mediante opportuni segnali sinusoidali.
Fig.1.5 - Esempio di un segnale periodico e delle sue sinusoidi componenti:
Fondamentale: frequenza f = 50 Hz, ampiezza A = 10 V, fase ϕ = 0°
+ 3a Armonica: frequenza f = 150 Hz, ampiezza A = 5 V, fase ϕ = 60°
+ 7a Armonica: frequenza f = 350 Hz, ampiezza A = 2 V, fase ϕ = -30°
Segnale risultante (in rosso).
Della scomposizione in serie di Fourier esistono diverse forme equivalenti: quella che ha il più immediato significato fisico è la somma di funzioni sinusoidali.
La forma forse più comoda per le elaborazioni matematiche è la serie esponenziale (somma di funzioni esponenziali complesse).
Ricordiamo nel seguito lo stretto legame tra una funzione sinusoidale nel tempo e le funzioni esponenziali nel piano complesso (Re, Im), rappresentate da vettori rotanti.
1) Relazione per mezzo di vettori unilateri: a un segnale sinusoidale di pulsazione ω corrisponde un vettore rotante con velocità angolare ω (Fig.1.6):
; (1.1)
] Re[
cos )
(t A t Aej t
s = ω = ω s(t)= Acos(ωt+ϕ)=Re[Aej(ωt+ϕ)]
Fig.1.6 - Relazione tra funzione sinusoidale ed esponenziale (unilatera).
2) Relazione per mezzo di vettori bilateri: a un segnale sinusoidale di pulsazione ω corrispondono due vettori controrotanti con velocità angolare ±ω (Fig.1.7):
[ej t e j t]
t A A t
s = ω = ω + − ω
cos 2 )
( ; [ ( ) ( )]
) 2 cos(
)
( = ω +ϕ = A ej ωt+ϕ +e−j ωt+ϕ t
A t
s (1.2)
Fig.1.7 - Relazione tra funzione sinusoidale ed esponenziale (bilatera).
In generale, un segnale periodico può essere caratterizzato nel seguente modo:
(1.3) )
( )
(t s t iT
s = +
L’indice i = 1, 2, 3 ... rappresenta la replica del segnale elementare che si succede identica nel tempo, ogni periodo di T secondi (vedi Fig.1.8).
Se T è il periodo, f1 = 1/T è frequenza fondamentale, ω1 = 2πf1 è pulsazione fondamentale.
Per i segnali periodici, la rappresentazione in serie di Fourier è costituita dalle sue componenti armoniche, a frequenze kf1, multiple della frequenza fondamentale f1.
Fig.1.8 - Segnale periodico s(t) e coefficienti Sk dello sviluppo in serie di Fourier.
Iniziamo considerando la serie esponenziale di Fourier, definita nella forma:
(1.4)
t kf j k
ke S t
s( ) 2π 1
∞
−∞
∑=
=
Valutazione dei coefficienti dello sviluppo in serie
I coefficienti Sk dello sviluppo in serie esponenziale di Fourier possono essere determinati moltiplicando membro a membro l’Eq.1.4 per la funzione exp(-j2πk’f1t) e mediando nel periodo T.
Al secondo membro risulteranno pertanto termini del tipo exp[j2π(k-k’)f1t].
Valutiamo quindi la media di questi termini nel periodo T.
Se k’ è diverso da k, la media di una funzione sinusoidale in un tempo multiplo intero del periodo T è sempre nulla. Se viceversa k’ = k, otterremo un risultato diverso da zero e pari a uno. Tenuto conto di questi fatti si ha:
] , [ ] Im[
] Re[
) 2 sin(
) 1 ( )
2 cos(
) 1 (
) 1 (
1 1
2 1
k k k k
T T
T
t kf j k
S S j S
dt t kf t
T s j dt t kf t
T s
dt e
t T s S
ϕ
= +
=
= π
− π
=
=
=
∫ ∫
∫ − π
(1.5)
Spettro bilatero
I coefficienti Sk dello sviluppo in serie di Fourier risultano quindi quantità complesse.
L’insieme di tali coefficienti, rappresentati in funzione delle frequenze discrete kf1 o più semplicemente in funzione dell’ordine k della generica armonica, è lo spettro a righe del segnale periodico s(t).
Lo spettro di parte reale Re[Sk] è una funzione pari della frequenza: Re[S-k] = Re[Sk].
Lo spettro di parte immaginaria Im[Sk] è una funzione dispari: Im[S-k] = - Im[Sk].
Dalla conoscenza degli spettri di parte reale ed immaginaria si deducono anche gli spettri di modulo e fase, |Sk| e ϕk, che presentano le stesse caratteristiche di simmetria.
Tali condizioni di simmetria si possono anche esprimere brevemente, introducendo la forma coniugata, indicata con l’asterisco (*):
(1.6)
* k
k S
S− =
La serie esponenziale utilizza anche le frequenze negative. Tali frequenze sono tuttavia prive di significato fisico. Il loro impiego nella pratica costituisce solamente una rappresentazione analitica comoda e compatta. Per tale serie si usa spesso il termine di spettro bilatero.
Sviluppo in serie trigonometrica
Lo spettro bilatero presenta caratteristiche di simmetria, valide sia per la rappresentazione con parte reale ed immaginaria (Re[Sk] Im[Sk]), sia per la rappresentazione in modulo e fase (|Sk| ϕk). Tenendo conto di queste proprietà si ottengono sviluppi con funzioni trigonometriche.
Fig.1.9 - Rappresentazioni vettoriali dei coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier.
Infatti, osservando la Fig.1.9A, dove è data un’interpretazione vettoriale di una generica coppia di termini della serie esponenziale, per le frequenze ± ωk = ± 2πkf1, si deduce che:
∑∞
=
ϕ + ω +
=
1
0 2 cos( )
) (
k
k k
k t
S S
t
s (1.7)
che contiene solo indici k positivi.
Inoltre, ricordando l’Eq 1.5, se poniamo:
∫
∫
π
=
−
=
π
=
=
k T k
k T k
dt t kf t
T s S B
dt t kf t
T s S A
) 2 sin(
) 2 ( ] Im[
2
) 2 cos(
) 2 ( ] Re[
2
1 1
(1.8)
e osserviamo la Fig.1.9B, si ottiene il noto sviluppo in termini di seno e coseno:
(1.9)
∑∞ [
=
ω +
ω +
=
1
0 cos sin
) (
k
k k k
k t B t
A S
t
s ]
Segnale a onda rettangolare
Come esempio di rappresentazione in frequenza di un segnale periodico, si consideri l’onda quadra s(t) di Fig.1.10, ottenuta replicando ogni T secondi un impulso rettangolare di ampiezza A e durata τ. Il segnale si può scrivere nella forma:
(1.10)
∑+∞
−∞
= ⋅ τ −
=
i
iT t rect A t
s( ) ( )
Fig.1.10 - Segnale rettangolare e suo spettro.
Le componenti del suo spettro bilatero risultano:
τ π
τ
= π τ π
τ τ π
⎥ =
⎦
⎢ ⎤
⎣
= ⎡
=
=
τ +
τ
− π
− π
−
τ +
τ
−
π
− π
∫ − ∫
1 1 1
1 1 2
/
2 / 2
2
2 /
2 /
2 2
sin sin
) 1 1 (
1 1
1 1
kf Qf kf kf
kf T
A e
T A
dt T Ae
dt e
t T s S
kf j
t kf j T
t kf j t
kf j k
(1.11)
essendo: Q=Aτ l’area dell’impulso rettangolare elementare.
Nell’esempio riportato in Fig.1.10 si è scelto τ= T/2.
Sequenza di impulsi matematici
Poniamo, nell’esempio precedente, l’ampiezza A=1/τ.
Riducendo la durata τ dell’impulso elementare, si perviene a un caso limite particolarmente significativo dell’onda rettangolare, il treno di impulsi matematici:
∑
∑ +∞
−∞
= τ
→ τ +∞
−∞
=
τ −
=
− δ
i i
iT t rect iT
t 1 ( )
lim )
( 0 (1.12)
dove l’ampiezza A=1/τ diverge al limite per τ→0, mentre l’area Q dell’impulso matematico elementare rimane costante e di valore pari ad uno (Fig.1.11).
Lo spettro della sequenza di impulsi matematici di area unitaria e frequenza f1 si ottiene quindi passando al limite le componenti Sk del segnale rettangolare per τ→0, mantenendo l’area Q dell’impulso elementare paria uno.
Risultano pertanto componenti armoniche tutte uguali, con valore reale Sk=f1 (Fig.1.11).
Sussiste in definitiva, per una sequenza di impulsi matematici, lo sviluppo in serie:
(1.13)
∑
∑ +∞
−∞
= +∞ π
−∞
=
=
− δ
k
t kf j i
e f iT
t ) 1 2 1
(
Fig.1.11 - Sequenza di impulsi matematici e coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier.
2 - Segnali aperiodici
I segnali aperiodici sono caratterizzati dall’avere energia finita. Per tale fatto sono detti anche segnali impulsivi, diversamente dai segnali periodici che si ripetono indefinitamente.
In Fig.2.1 è riportato, come esempio, un segnale s(t) con durata limitata.
Fig.2.1 - Segnale aperiodico e suo spettro.
Per i segnali aperiodici perde significato lo sviluppo in serie di Fourier, mancando il principale presupposto: la periodicità. Per i segnali impulsivi, l’analisi in frequenza viene
condotta mediante la trasformata (diretta e inversa) di Fourier.
Trasformata e antitrasformata di Fourier
I segnali aperiodici sono caratterizzati in frequenza tramite la trasformata di Fourier S(f).
Mediante l’antitrasformata si ricostruisce viceversa il segnale nel tempo s(t):
(2.1) )
( ) ( )]
( [ )
( )
(
)]
( [ )
( )
(
1 2
2
f S t s f
S df
e f S t
s
t s dt e t s f
S
ft j
ft j
⎪ ⇔
⎭
⎪⎬
⎫ ℑ
=
=
ℑ
=
=
∫
∫
∞ +
∞
− π −
∞ +
∞
−
π
−
Poichè la trasformata di Fourier S(f) è una funzione continua nel dominio della frequenza, esiste un’infinità di componenti armoniche di ampiezza infinitesima |S(f)|df e fase ∠S(f).
Proprietà sulle aree
La componente continua dello spettro S(f) rappresenta l’area sottesa dal segnale s(t) nel dominio del tempo, mentre l’area sottesa dallo spettro fornisce l’ordinata all’origine del segnale nel tempo. Infatti si ha:
(2.2)
∫ ∫
∫ ∫
∞ +
∞
−
∞ +
∞
−
⋅ π
∞ +
∞
−
∞ +
∞
−
⋅
⋅ π
−
=
=
=
=
=
=
) ( )
( )
( )
0 (
) ( )
( )
( )
0 (
0 2
0 2
f S di area df
f S df
e f S s
t s di area dt
t s dt
e t s S
f j
t j
Spettro dell’impulso rettangolare
Applicando la definizione di trasformata di Fourier all’impulso rettangolare di Fig.2.2, con ampiezza A e durata τ (area Q=Aτ), si ottiene:
τ π
τ τ π
=
⇔
⋅
= τ
f A f f S t rect A t
s sin
) ( ) ( )
( (2.3)
Fig.2.2 - Impulso rettangolare e suo spettro.
L’impulso matematico
L’impulso matematico si ottiene dall’impulso rettangolare, assumendo che l’area sia unitaria (Q=1), e passando al limite la sua durata (τ→0). Pertanto l’ampiezza (A=1/τ→∞).
In Fig.2.3 si vede come si modificano l’andamento temporale del segnale e il suo spettro, man mano che si riduce la durata dell’impulso rettangolare. Al limite, lo spettro si riduce a una costante per tutte le frequenze con valore pari all’area unitaria (Q=1).
Lo spettro dell’impulso matematico ha quindi un’estensione infinitamente ampia:
Fig.2.3 - Verso l’impulso matematico.
(2.4)
[ ]δ t = = ∀ f ℑ ( ) 1 costante
É vero anche il duale: a una costante di valore unitario nel tempo corrisponde un impulso matematico nel dominio della frequenza:
(2.5)
[1,∀t]=δ(f)
ℑ
Si conferma che un segnale costante nel tempo presenta solo una componente continua in frequenza.
Dualità tempo-frequenza
Per un segnale nel tempo di tipo reale, lo spettro di modulo |S(f)| è una funzione pari, mentre lo spettro di fase ∠S(f) è una funzione dispari.
Se, come caso particolare, il segnale nel tempo oltre che reale è anche pari, consegue che lo spettro S(f) si riduce al solo spettro di modulo |S(f)|, mentre lo spettro di fase ∠S(f) è identicamente nullo.
In tal caso sussiste l’intercambiabilità fra le variabili t ed f.
Utilizzando la proprietà di dualità si può determinare immediatamente l’andamento temporale che corrisponde a uno spettro rettangolare in frequenza. Infatti, dato lo spettro rettangolare in frequenza, rappresentato in Fig.2.4, dove fM rappresenta la larghezza di banda dello spettro, il segnale corrispondente nel tempo risulta del tipo sin(x)/x.
Fig.2.4 - Spettro rettangolare e corrispondente segnale nel tempo, sin(x)/x.
Proprietà di traslazione
La traslazione di un segnale nel tempo della quantità t0 introduce una variazione lineare di fase nello spettro del segnale originario. Infatti:
(2.6)
[ ]
∫
∫
∞ +
∞
−
π
− +
α π
−
∞ +
∞
−
π
−
= α α
=
−
= α
=
−
⇔
−
0
0) 2
( 2
0 2
0 0
) ( )
(
: posto )
( )
(
ft j t
f j
ft j
e f S d e
s
t t dt
e t t s t
t s
Traslare uno spettro in frequenza di una quantità f0 fa perdere le caratteristiche di simmetria rispetto all’origine, con la conseguenza che il segnale nel tempo non è più reale. Infatti:
(2.7)
[ ]
∫
∫
∞ +
∞
−
π +
β π
−
∞ +
∞
−
π
= β β
=
−
= β
=
−
⇔
−
t f j t
f j
ft j
e t s d e
S
f f dt
e f f S f
f S
0
0) 2
( 2
0 2
0 0
) ( )
(
: posto )
( )
(
D’altra parte, traslando lo spettro originario della stessa quantità ± f0 sia a destra che a sinistra dell’origine, il segnale corrispondente (a causa della ripristinata simmetria in frequenza) risulta reale. Si ottiene infatti:
(2.8) )
2 cos(
) ( 2 )
( )
( ) (
)
(f f0 S f f0 s t e 2 0 s t e 2 0 s t f0t
S − + + ⇔ j πft + −j πft = π
Questa operazione corrisponde e moltiplicare il segnale originario s(t) nel tempo per un’oscillazione cosinusoidale di frequenza f0.
3 - Trasformata di Fourier di segnali periodici
Si è mostrato che per un segnale periodico esiste lo sviluppo in serie di Fourier.
Ciascun termine della serie è una costante Sk moltiplicata per un esponenziale. Allora:
(3.1)
[ ]
[ ]
[ ] ∑ ∑+∞
−∞
=
∞ +
−∞
=
π π
− δ
⎥=
⎦
⎢ ⎤
⎣ ℑ⎡
= ℑ
− δ
= ℑ
δ
= ℑ
k k k
t kf j k k t kf j k
k k
kf f S e
S t
s
kf f S e
S
f S S
) (
) ( quindi
) (
b)
) ( a)
1 2
1 2
1 1
Infatti:
a) la trasformata di Fourier di una costante Sk è un impulso matematico, b) la presenza di un esponenziale si traduce in una traslazione in frequenza.
Si conclude che anche per i segnali periodici esiste la trasformata di Fourier, seppure in senso limite. Questa conclusione è interessante in quanto consente di utilizzare le trasformate di Fourier, oltre che per i segnali aperiodici, anche per quelli periodici, consentendo di unificare il metodo di trattamento dei segnali nel dominio della frequenza, laddove ciò sia conveniente.
Trasformata di Fourier di una sinusoide
Si consideri un segnale s(t) sinusoidale, di ampiezza A e frequenza f0. Poiché il segnale è periodico, esiste lo sviluppo in serie di Fourier e i coefficienti Sk dello sviluppo in serie si riducono ad una sola componente alla frequenza fondamentale f0.
Quest’unica componente armonica, se si considera la serie esponenziale in forma bilatera, può essere rappresentata con due righe alle frequenza ± f0.
Riferendosi per comodità al segnale espresso da una funzione cosinusoidale, risulta:
t f j t f
j Ae
Ae t f A
t
s 0 2 0 2 0
2 ) 2
2 cos(
)
( = π = − π + π (3.2)
Allora, per quanto detto più sopra, la trasformata di Fourier di una cosinusoide è data da due impulsi matematici che esistono alle frequenze ± f0, (vedi Fig.3.1):
[ ] ( )
) 2 2 (
) ( )
( 0 A f f0
f A f
t s f
S =ℑ = δ + + δ − (3.3)
Fig.3.1 - Segnale cosinusoidale e relativa trasformata di Fourier.
Un segnale seno (anziché coseno) presenta anche uno spettro di fase (90°).
Trasformata di Fourier del treno di impulsi matematici
Si consideri infine il treno di impulsi matematici c(t), con periodo Tc e ampiezza unitaria, come rappresentato in Fig.3.2.
Fig.3.2 - Sequenza di impulsi matematici e relativa trasformata di Fourier.
Questo segnale, in quanto periodico, può essere sviluppato in serie di Fourier e, per quanto appena visto, presenta anche la trasformata di Fourier. Risulta quindi:
(3.4)
∑
∑
∑ ∑
∞ +
−∞
=
∞ +
−∞
=
π +∞
−∞
=
+∞
−∞
=
π
− δ
⎥=
⎦
⎢ ⎤
⎣ ℑ⎡
=
=
− δ
=
k
c c
k
t kf j c
i k
t kf j c c
kf f f e
f f
C
e f iT
t t
c
c
c
) (
) (
) ( )
(
2
2
Si conclude che un treno di impulsi nel tempo è rappresentato da un treno di impulsi anche in frequenza (vedi Fig.3.2). Tale risultato è utile nella trattazione dei segnali campionati.
Il campionamento infatti rappresenta il primo passo per l’elaborazione digitale dei segnali.
