Probabilit`a e Statistica (LT in Matematica) Prof. P.Dai Pra, prima prova parziale 12/02/2008.
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Tema B
ESERCIZIO 1. Siano E e F due eventi con probabilit`a non nulla. Diciamo che E `e negativamente correlato a F se
P (E|F ) ≤ P (E).
Mostrare che le seguenti tre affermazioni sono equivalenti.
a) E `e negativamente correlato a F . b) F `e negativamente correlato a E.
c) Ec`e negativamente correlato a Fc.
Soluzione. Si osservi che
P (E|F ) ≤ P (E) ⇐⇒ P (E ∩ F ) ≤ P (E)P (F ) ⇐⇒ P (F |E) ≤ P (F ), che dimostra a) ⇐⇒ b). Inoltre
P (E|F ) ≤ P (E) ⇐⇒ P (E ∩ F ) ≤ P (E)P (F )
⇐⇒ P (E) − P (E ∩ Fc) ≤ P (E)[1 − P (Fc)] ⇐⇒ P (E ∩ Fc) ≥ P (E)P (Fc).
Ripetendo lo stesso argomento si trova
P (E ∩ Fc) ≥ P (E)P (Fc) ⇐⇒ P (Ec∩ Fc) ≤ P (Ec)P (Fc).
Mettende assieme queste ultime due equivalenze si conclude che a) ⇐⇒ c).
ESERCIZIO 2. Un esame consta di una prova scritta seguita da una prova orale, a cui accedono soltanto coloro che superano la prova scritta. Supponiamo che n ≥ 1 studenti si presentino alla prova scritta e che ciascuno di essi abbia probabilit`a 12 di superarla, indipendentemente dagli altri. Supponiamo inoltre che, se uno studente supera la prova scritta, egli abbia probabilit`a 12 di superare la prova orale.
a) Si fissi uno studente. Qual `e la probabilit`a p che egli passi l’esame (cio`e superi sia la prova scritta sia la prova orale)?
b) Qual `e la probabilit`a che il numero di studenti che passano l’esame siano k, per k ∈ {0, . . . , n}? (Sugg.: pu`o essere utile basarsi sulla risposta data al punto precedente.) c) Assumendo che gli studenti che passano l’esame siano k, si determini la probabilit`a (condizionata) che gli studenti che hanno passato la prova scritta siano m, dove m ∈ {k, . . . , n}. Si mostri che tale probabilit`a vale
n − k m − k
1 3
m−k
2 3
n−m
.
Soluzione.
a) Consideriamo gli eventi A = “lo studente passa la prova scritta” e B = “lo studente passa la prova orale”. Allora
p = P (A ∩ B) = P (A) · P (B|A) = 1 2· 1
2 = 1 4.
b) Dobbiamo calcolare la probabilit`a dell’evento C = “esattamente k studenti passano l’esame”. Dato che ciascuno studente, indipendentemente dagli altri, passa l’esame con probabilit`a p = 14, siamo in presenza di uno schema di prove ripetute e indipen- denti: dunque
P (C) =n k
1 4
k 3 4
n−k
.
c) Introducendo l’evento D = “esattamente m studenti passano la prova scritta”, dob- biamo calcolare P (D|C). Applicando la formula di Bayes
P (D|C) = P (C|D) · P (D)
P (C) .
Applicando lo schema di prove ripetute e indipendenti si ha P (D) = n
m
1 2
n
, P (C|D) =m k
1 2
m
,
mentre P (C) `e stata determinata al punto precedente. Sostituendo ed effettuando le opportune semplificazioni, si trova
P (D|C) =
m k
n
m
n k
· (12)m(12)n
(13)k(34)n−k = n − k m − k
1 3
m−k 2 3
n−m
.
2
ESERCIZIO 3. Un’urna contiene n ≥ 1 palline bianche e 2 palline rosse. Si eseguono estrazioni ripetute senza reimmissione. Sia
X = numero di estrazioni necessarie ad estrarre una pallina rossa.
a) Mostrare che, per k = 1, 2 . . . , n + 1
P (X = k) = 2
(n + 2)(n + 1)(n − k + 2).
b) Calcolare E(X) (ricordare che per ogni n ≥ 1 Pn
k=1k = n(n+1)2 e Pn
k=1k2 =
n(n+1)(2n+1)
6 ).
Soluzione.
a) Consideriamo gli eventi A = “la k-ma pallina estratta `e rossa”, B = “le prime k − 1 palline estratte sono tutte bianche”. Si ha
P (X = k) = P (A∩B) = P (A|B)P (B) = 2 n − k + 3
n k−1
n+2 k−1
=
2
(n + 2)(n + 1)(n−k+2), dove nell’ultimo passaggio si sono eseguite le dovute semplificazioni.
b)
E(X) = 2
(n + 2)(n + 1)
n+1
X
k=1
k(n − k + 2) = 2 n + 1
n+1
X
k=1
k − 2
(n + 2)(n + 1)
n+1
X
k=1
k2
= n + 2 − 2n + 3
3 = n
3 + 1.
ESERCIZIO 4. Partecipo a un gioco che consta di partite successive. Supponiamo che:
• nella prima partita vinco con probabilit`a 12;
• la probabilit`a di vincere la n + 1-esima partita, condizionatamente agli esiti delle prime n partite, `e 47 se ho perso la n-esima partita, 37 se ho vinto la n-esima partita.
a) Calcolare la probabilit`a di vincere la prima partita, condizionatamente al fatto di aver vinto la seconda.
b)* Calcolare la probabilit`a di vincere la prima partita, condizionatamente al fatto di aver vinto la terza.
Soluzione.
a) Introduciamo gli eventi A = “vinco la prima partita” e B = “vinco la seconda partita”. I dati del problema ci dicono che P (A) = 12, P (B|A) = 37, P (B|Ac) = 47. La formula delle probabilit`a totali d`a
P (B) = P (B|A)P (A) + P (B|Ac)P (Ac) = 1 2
3 7+ 4
7
= 1 2. Applicando quindi la formula di Bayes si ottiene
P (A|B) = P (B|A)P (A)
P (B) =
3 7 ·12
1 2
= 3 7.
b) Introducendo l’evento C = “vinco la terza partita”, dobbiamo calcolare P (A|C). Si osservi che
P (A|C) = P (A ∩ B|C) + P (A ∩ Bc|C).
Per la Formula di Bayes
P (A ∩ B|C) = P (C|A ∩ B)P (A ∩ B)
P (C) .
Anzitutto
P (C|A ∩ B) = 4 7. Inoltre
P (A ∩ B) = P (B|A)P (A) = 4 7
1 2 = 4
14. Infine, per la formula delle probabilit`a totali,
P (C) = P (C|B)P (B) + P (C|Bc)P (Bc) = 1 2
4 7 +3
7
= 1 2.
4
Perci`o
P (A ∩ B|C) =
4 7
4 14 1 2
= 16 49. Lo stesso conto con Bc al posto di B conduce a
P (A ∩ Bc|C) = 9 49, da cui
P (A|C) = 25 49.
