Prof. P. Dai Pra, prova scritta 27/03/2008.
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TEMA B
ESERCIZIO 1.
L’Esame di Stato che conclude i corsi di scuola media superiore comprende una prova di Italiano, che consta di tre possibili temi, che indicheremo con A, B e C. Ciascuno studente deve scegliere e svolgere uno dei tre temi proposti. Lo scorso anno i tre temi sono stati scelti dagli studenti in uguali proporzioni. `E inoltre risultato che il 15% degli studenti che hanno scelto il tema A lo hanno svolto in maniera insufficiente, mentre tale percentuale `e stata del 5% per coloro che hanno scelto il tema B e del 10% per coloro che hanno scelto il tema C. I miei zii mi hanno detto che mio cugino Claudio `e risultato sufficiente nella prova di Italiano. Sulla base di questa informazione, qual `e la probabilit`a che Claudio abbia scelto il tema A?
Suluzione. Introduciamo gli eventi
A := {Claudio ha scelto il tema A} , B := {Claudio ha scelto il tema B} , C := {Claudio ha scelto il tema C} ,
E := {Claudio `e risultato insufficiente nella prova di Italiano} . I dati del problema sono
P (A) = P (B) = P (C) = 1
3, P (E|A) = 0.15 , P (E|B) = 0.05 , P (E|C) = 0.10 , e di conseguenza
P (Ec|A) = 0.85 , P (Ec|B) = 0.95 , P (Ec|C) = 0.90 . Dobbiamo calcolare P (A|Ec). Per la formula di Bayes
P (A|Ec) = P (Ec|A)P (A)
P (Ec) = 0.85 ·13 P (Ec) .
Per calcolare P (Ec), usiamo la formula delle probabilit`a totali applicata agli eventi {A, B, C}:
P (Ec) = P (Ec|A)P (A) + P (Ec|B)P (B) + P (Ec|C)P (C) = 0.85 · 1
3 + 0.95 ·1
3+ 0.90 ·1
3 = 0.90 . Di conseguenza
P (A|Ec) = 0.85 ·13
P (Ec) = 0.85 · 13
0.90 ≈ 0.31 .
ESERCIZIO 2.
Un’´equipe di ricercatori vuole condurre un’indagine su un campione di individui affetti da daltonismo. Non avendo a disposizione un elenco di individui daltonici, i ricercatori decidono di contattare per via telefonica delle persone scelte casualmente. `E noto che il daltonismo `e presente nel 2% della popolazione in esame. Usando opportuni metodi di approssimazione, si risponda ai seguenti quesiti.
a) Quanti individui dovranno essere contattati affinch´e, con probabilit`a maggiore o uguale di 0.75, almeno 40 di essi siano daltonici?
b) Qual `e la probabilit`a che tra i primi cento individui contattati ci siano al massimo tre daltonici?
Soluzione.
a) Sia
Xi =
1 se l’i-mo individio contattato `e daltonico 0 altrimenti.
Notare che Xi ∼ Be(0.02). Si tratta di determinare n in modo tale che P
Xn> 40 n
≥ 0.75.
Usando l’approssimazione normale e la correzione di continuit`a:
P
Xn> 40.5 n
= P Xn− 0.02
√0.02 × 0.98
√n ≥ − 0.02 − 40.5n
√0.02 × 0.98
√n
!
' Φ 0.02 − 40.5n
√0.02 × 0.98
√n
! . Quest’ultima quantit`a `e maggiore o uguale di 0.75 se e solo se
0.02 − 40.5n
√0.02 × 0.98
√n ≥ Φ−1(0.75) ≈ 0.675
cio`e
0.02n − 0.0945√
n − 40.5 ≥ 0.
Risolvendo la precedente, come equazione di secondo grado in√
n, si trova n ≥ 2250.
b) Sia Y = X1+ X2+ · · · + X100∼ B(100, 0.02) ≈ P o(2). Pertanto P (Y ≤ 3) ' e−2
1 + 2 +4 2 +8
6
' 0.857.
Siano X ∼ Be(p), Y ∼ Ge(q) e Z ∼ Ge(r) variabili casuali indipendenti (ricordiamo che P (Y = n) = q(1 − q)n−1 per n ∈ IN := {1, 2, . . .}). Definiamo
W := XY + (1 − X)Z.
a) Senza fare calcoli con densit`a, calcolare media e varianza di W , e la covarianza Cov(W, Y ).
b) Determinare la densit`a congiunta di (W, Y ), e la densit`a marginale di W .
Soluzione a)
E(W ) = E(XY ) + E((1 − X)Z) = E(X)E(Y ) + (1 − E(X))E(Z) = p1
q + (1 − p)1 r. Osservando che X(1 − X) ≡ 0 e che X2= X, (1 − X)2 = 1 − X, si ha
E(W2) = E(X)E(Y2) + (1 − E(X))E(Z2) = p 2 q2 −1
q
+ (1 − p) 2 r2 −1
r
, da cui si ottiene
V ar(W ) = p1 − q
q2 + (1 − p)1 − r
r2 + p(1 − p) 1 q −1
r
2
. Infine
E(W Y ) = E(XY2) + E((1 − X)ZY ) = p 2 q2 −1
q
+ (1 − p)1 q 1 r, da cui
Cov(W, Y ) = E(W Y ) − E(W )E(Y ) = p1 − q q2 . b)
P (W = k, Y = h) = P (W = k, Y = h, X = 0) + P (W = k, Y = h, X = 1)
= (1 − p)P (Z = k, Y = h) + pP (Y = k, Y = h)
= (1 − p) q(1 − q)h−1r(1 − r)k−1+ p1{0}(k − h) q(1 − q)k−1. Da cui si trova
P (W = k) = X
h∈IN
P (W = k, Y = h) =X
h6=k
P (W = k, Y = h) + P (W = k, Y = k)
= X
h∈IN
(1 − p) q(1 − q)h−1r(1 − r)k−1+ p q(1 − q)k−1= (1 − p) r(1 − r)k−1+ p q(1 − q)k−1.
ESERCIZIO 4.
Siano X, Y ∼ U (0, 1) indipendenti, e siano
W := X − Y , Z := X − min(X, Y ) . a) Calcolare la densit`a di W .
b) Calcolare la funzione di ripartizione di Z.
(Sugg.: conviene calcolare P (Z > z), per z ∈ IR. Pu`o essere utile esprimere Z in funzione di W .)
c) Mostrare che Z non `e n´e una variabile casuale discreta n´e una variabile casuale assoluta- mente continua.
Soluzione
a) Possiamo scrivere W = X + Y0 dove abbiamo posto Y0 := −Y . Si noti che Y0 ∼ U (−1, 0) e che X, Y0 sono indipendenti. Applicando la formula di convoluzione si ha
fW(w) = Z
IR
fX(w − t)fY0(t) dt = Z
IR
1(0,1)(w − t)1(−1,0)(t) dt = Z
IR
1(w−1,w)(t)1(−1,0)(t) dt . Si noti che se w ≤ −1 o w ≥ 1 l’integrando `e identicamente nullo, per cui fW(w) = 0. Per w ∈ (−1, 0] si ha
fW(w) = Z w
−1
dt = 1 + w , mentre per w ∈ [0, 1)
fW(w) = Z 0
w−1
dt = 1 − w . In definitiva, possiamo scrivere
fW(w) = (1 − |w|)1(−1,1)(w) .
b) Si noti che se W ≤ 0 (cio`e X ≤ Y ) si ha Z = 0, mentre se W > 0 (cio`e X > Y ) si ha Z = X − Y = W . In altre parole, vale la seguente relazione:
Z = W 1{W >0}.
Si noti che in ogni caso Z ≥ 0, per cui P (Z > z) = 0 per z < 0. Per z ≥ 0 si ha P (Z > z) = P (W > z) =
Z ∞ z
fW(w) dw = Z ∞
z
(1 − w)1(−1,1)(w) dw . Se z ≥ 1 segue che P (Z > z) = 0, mentre se 0 ≤ z < 1
P (Z > z) = Z 1
z
(1 − w) dw = (1 − z) − w2 2
1 z
= 1
2− z + z2 2 , per cui
0 z < 0
c) La variabile Z non `e assolutamente continua perch´e P (Z = 0) = FZ(0) − FZ(0 ) = 2 > 0.
Dato che FZ(z) `e continua per z 6= 0, si ha che P (Z = z) = FZ(z) − FZ(z−) = 0 per ogni z 6= 0, per cui
X
z∈IR
P (Z = z) = P (Z = 0) = 1 2.
Questo mostra che Z non pu`o essere una variabile casuale discreta (in tal caso la somma dovrebbe fare uno).
