Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 3

Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 3

Esercizio 60 In una procedura di controllo di produzione, n processori prodotti da un processo industriale vengono sottoposti a controllo. Si assuma che ogni pezzo, indipendentemente dagli altri, abbia probabilit`a p ∈ (0, 1) di essere difettoso. Se un processore `e funzionante supera sicuramente il test di controllo, se il processore `e difettoso fallisce il test con probabilit`a q ∈ (0, 1), indipen- dentemente dagli altri. Sia X = numero di processori che hanno fallito il test. Determinare la distribuzione di X.

Soluzione. Basta osservare che la probabilit`a che un pezzo fallisca il test `e pq, e usare lo schema delle prove ripetute indipendenti, per ottenere

p_X(k) =

!n k

"

(pq)^k(1 − pq)^n−k.

Esercizio 61 Due dadi truccati sono tali che la probabilit`a di ottenere un sei `e il doppio della probabilit`a di ottenere ogni altro punteggio. Qual `e la media del punteggio ottenuto lanciando i due dadi?

Soluzione. Sia Xi il punteggio del dado i-mo, sicch´e il punteggio totale X `e dato da X = X1+X2. Xi assume i valori 1, 2, 3, 4, 5 con probabilit`a 1/7, e 6 con probabilit`a 2/7, e perci`o E(Xi) = 27/7, da cui E(X) = 54/7.

Esercizio 62 Da un’urna contenente r palline rosse e v palline verdi, si estraggono successivamente, senza reintroduzione, k palline, con k ≤ min(r, v). Per i = 1, 2, . . . , k, sia

X_i =

# 1 se l’i-ma pallina estratta `e rossa 0 altrimenti,

e X = X₁+ · · · + Xk.

a. Determinare la distribuzione di X.

b. Determinare le distribuzioni delle Xi.

c.^∗ Mostrare che la densit`a congiunta delle Xi `e data da

p_X1,...,Xk(x1, . . . , x_k) = r(r− 1) · · · (r −$k

i=1x_i+ 1)v(v − 1) · · · (v − k +$k

i=1x_i+ 1) (r + v)(r + v − 1) · · · (r + v − k + 1)

d. Calcolare E(X).

Soluzione. a. X `e il numero di palline rosse estratte in k estrazioni senza reintroduzione, e quindi p_X(n) =

!r n

"!

v k− n

"

/

!r + v n

"

.

b. Identifichiamo l’insieme delle palline con {1, 2, . . . , r + v}, convenendo che le palline rosse siano le prime r. Lo schema di estrazioni senza reitroduzione si pu`o modellare scegliendo, come

spazio campionario, Ω = insieme delle permutazioni di {1, 2, . . . , r+v}, con la probabilit`a uniforme.

Allora {Xi= 1} = {σ ∈ Ω : σ(i) ∈ {1, 2, . . . , r}}, che ha cardinalit`a r(r+v−1)!, e quindi probabilit`a r/r + v. In conclusione

p_Xi(1) = 1 − pXi(0) = r r + v.

c. Per induzione su k. Per k = 1 la risposta `e gi`a in b. Altrimenti, se x = (x1, . . . , x_k−1, x_k) ∈ {0, 1}^k,

P (X = x) = P (X_k = xk|Xk−1 = xk−1, . . . , X₁ = x1)P (Xk−1 = xk−1, . . . , X₁ = x1).

Per P (Xk−1 = xk−1, . . . , X₁ = x1) si usa l’ipotesi induttiva, mentre

P (X_k = 1|Xk−1 = x_k−1, . . . , X₁ = x₁) = r−$k−1 i=1 xi

r + v− k + 1, da cui si giunge alla conclusione.

d. Essendo E(Xi) = r/r + v, si ha E(X) = kr/(r + v).

Esercizio 63 Un’urna contiene n ≥ 1 palline bianche e 2 palline rosse. Si eseguono estrazioni ripetute senza reimmissione. Introduciamo la variabile casuale

X = numero di palline bianche estratte prima di estrarre una pallina rossa, la cui densit`a discreta verr`a indicata con p_X(k) = P (X = k).

a) Mostrare che, per k = 0, 1, . . . , n,

p_X(k) = 2

(n + 2)(n + 1)(n − k + 1).

b) Calcolare E(X) (ricordare le formule $ⁿ_k=1k = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ e $ⁿ_k=1k² = n(n+1)(2n+1)

6 , valide per ogni n ≥ 1).

Soluzione.

a) Consideriamo gli eventi A = “la k + 1-ma pallina estratta `e rossa”, B = “le prime k palline estratte sono tutte bianche”. Si ha

P (X = k) = P (A∩ B) = P (A|B)P (B) = 2 n− k + 2

%_n

k

&

%_n+2

k

& = 2

(n + 2)(n + 1)(n − k + 1), dove nell’ultimo passaggio si sono eseguite le dovute semplificazioni.

b)

E(X) = 2

(n + 2)(n + 1) 'n k=0

k(n− k + 1) = 2 n + 2

'n k=1

k− 2

(n + 2)(n + 1) 'n k=1

k²

= n(n + 1)

n + 2 −n(2n + 1) 3(n + 2) = n

3.

Esercizio 64 Per n ≥ 1, sia Xnuna variabile casuale che assume, con la stessa probabilit`a, i valori

1

n,_n², . . . ,ⁿ⁻¹_n , 1. Se f `e una funzione continua, sia

mn= E(f(Xn)).

Mostrare che

n→+∞lim m_n= ( ₁

0

f (x)dx.

Soluzione. Si osserva che

E(f (X_n)) = 1 n

'n k=1

f (k/n), che `e una somma di Riemann per l’integrale )1

0 f (x)dx.

Esercizio 65 Siano X1, X₂ variabili uniformi discrete sull’insieme {1, . . . , n}, dove n ∈ IN, tra loro indipendenti. Definiamo la variabile Y := min{X1, X2}.

a) Si calcoli P (Y = k) per ogni k ∈ IN.

b) Si mostri che, per ogni t ∈ (0, 1), si ha che

nlim→∞ P (Y ≤ tn) = 2t − t².

Soluzione.

a) Chiaramente P (Y = k) = 0 per k > n. Conviene innanzitutto calcolare, per k ∈ {1, . . . , n}, la probabilit`a P (Y ≥ k) che `e data da

P (Y ≥ k) = P (X1 ≥ k, X2≥ k) = P (X1 ≥ k) P (X2 ≥ k) =

!n− k + 1 n

"2

=

!

1 −k− 1 n

"2

. Si ha dunque

P (Y = k) = P (Y ≥ k)−P (Y ≥ k+1) =

!n− k + 1 n

"2

−

!n− k n

"2

= 1 n²+ 2

n

! 1 − k

n

"

.

b) Dalla formula per P (Y ≥ k) calcolata al punto a) si ottiene

P (Y ≤ tn) = 1 − P (Y > tn) = 1 − P (Y > &tn') = 1 −

!

1 − &tn' − 1 n

"2

, e dato che (&tn' − 1)/n → t per n → ∞, per ogni t ∈ (0, 1), si ha che

nlim→∞P (Y ≤ tn) = 1 − (1 − t)² = 2t − t².

Esercizio 66 Siano X, Y variabili casuali a valori in IN, definite sullo stesso spazio di probabilit`a.

Giustificare l’identit`a

P (X + Y = n) =

+∞'

k=0

P (X = k, Y = n− k).

Soluzione. Basta osservare che

{X + Y = n} =

+*∞ k=0

{X = k, Y = n − k}, e usare la σ-addidivit`a.

Esercizio 67 ^∗ Sia X una variabile casuale a valori in IN. Allora

E(X) =

+∞

'

n=1

P (X ≥ n).

Soluzione.

'+∞

n=1

P (X≥ n) =

+∞'

n=1 +∞'

k=n

P (X = k) =

+∞'

k=1

'k n=1

P (X = k)

=^+∞'

k=1

kP (X = k) = E(X).

Esercizio 68 Siano X, Y variabili aleatorie discrete, a valori in IN, con densit`a congiunta p_X,Y(n, m) = cλⁿµ^mν^nm

n!m!

dove λ, µ > 0, 0 < ν ≤ 1, e c `e un’opportuna costante (quella per cui$

n,mp_X,Y(n, m) = 1).

a. Calcolare le densit`a marginali di X e Y .

b. Calcolare le probabilit`a condizionate P (X = n|Y = m).

c.^∗ Mostrare che gli eventi {X = n}, {Y = m} sono indipendenti per ogni coppia n, m ∈ IN se e solo se ν = 1.

Soluzione. a. Sommando pX,Y su n e usando la serie esponenziale si trova

p_Y(m) = cµ^me^λνm m! . Il calcolo di p_X `e del tutto analogo.

b. Usando la definizione di probabilit`a condizionata e il punto a.

P (X = n|Y = m) = p_X,Y(n, m)

p_Y(m) = λⁿν^nme^−λνm

n! .

c. Se ν = 1, si trova pX,Y(n, m) = pX(n)pY(m), che equivale all’indipendenza degli eventi assegnati. Viceversa, assumiamo p_X,Y(n, m) = p_X(n)p_Y(m) per ogi n, m. In altre parole

cλⁿµ^mν^mn

n!m! = c²λⁿµ^me^{(λνm+µνn)}

n!m! ,

cio`e

ν^mn = ce^{(λνm+µνn)}.

Posto m = n = 0, si ricava c = e^−λ−ν. Sostituendo, e scegliendo m = 1, n = 0, si trova 1 = e^λ(ν−1),

da cui ν = 1.

Esercizio 69 Si consideri la seguente classica strategia per il gioco della roulette. Gioco sempre sul rosso. Alla prima giocata punto un dollaro. Se perdo raddoppio la giocata, se vinco smetto. In ogni caso, dato che il mio capitale iniziale `e 1023 dollari, se perdo 10 volte di seguito devo smettere.

Sia X la differenza tra il mio capitale alla fine del gioco e il capitale iniziale. Calcolare E(X).

Soluzione. Notare che X = −1023 se perdo 10 volte di seguito, il che avviene con probabilit`a

%₁₉

37

&10

. Altrimenti, se vinco in uno dei primi 10 tentativi, un facile calcolo mostra che X = 1. Il calcolo della media `e allora immediato:

E(X) =−1023!19 37

"10

+ +

1 −!19 37

"10,

* −0.3.

Esercizio 70 Un gioco a premi ha un montepremi di 512$. Vengono poste ad un concorrente 10 domande. Ad ogni risposta errata il montepremi viene dimezzato. Alla prima risposta esatta il concorrente vince il montepremi rimasto. Se non si da alcuna risposta esatta non si vince nulla.

Un certo concorrente risponde esattamente ad una domanda con probabilit`a p ∈ (0, 1), indipen- dentemente dalle risposte alle altre domande. Sia X la vincita di questo concorrente. Determinare la densit`a pX di X.

Soluzione. La variabile casuale X assume i valori 0, 1, 2, 2², 2³, . . . , 2⁹. Per 0 ≤ k ≤ 9, il valore 2^9−k viene assunto se le prime k risposte sono errate, e la k + 1-ma `e corretta. Ci`o avviene con probabilit`a (1 − p)<sup>k</sup>p. Infine il valore 0 viene assunto se tutte le 10 risposte sono sbagliate, il che avviene con probabilit`a (1 − p)¹⁰. Riassumendo

p_X(2^9−k) = p(1 − p)^k per 0 ≤ k ≤ 9, e pX(0) = (1 − p)¹⁰.

Esercizio 71 In un concorso vengono assegnate le idoneit`a per un dato servizio. Si assuma che ogni partecipante, indipendentemente dagli altri, abbia probabilit`a p = ³₄ di ottenere l’idoneit`a. Al termine del concorso, a 10 tra gli idonei viene assegnato un posto di lavoro (se gli idonei sono meno di 10 vengono assegnati tanti posti di lavoro quanti sono gli idonei). Supponiamo che al concorso

partecipino 15 persone, e sia X il numero dei partecipanti che ottengono l’idoneit`a ma non il posto di lavoro.

a. Determinare la distribuzione di X.

b. Calcolare E(X).

Soluzione. a. Notare che, se X > 0, allora X `e il numero di idonei meno 10. Allora, se Y `e il numero di idonei:

P (X = 1) = P (Y = 11) =!15 11

" !3 4

"11!1 4

"4

. Analogamente:

P (X = 2) =!15 12

" !3 4

"12!1 4

"3

P (X = 3) =!15 13

" !3 4

"13!1 4

"2

P (X = 4) =!15 14

" !3 4

"14!1 4

"

P (X = 5) =!3 4

"15

e, infine, P (X = 0) = 1 −$5

i=1P (X = i).

b.

E(X) = '5

i=0

iP (X = i)* 1.4774.

Esercizio 72 Si considerino 5 urne identiche, ognuna contenente una pallina rossa e quattro palline verdi. Ogni urna viene assegnata ad uno di cinque giocatori, e ogni giocatore estrae una pallina dalla propria urna. Un montepremi di 3000 Euro viene diviso tra i giocatori che estraggono la pallina rossa.

a. Sia X il numero di Euro vinti da ogni giocatore vincente (X = 0 se nessun giocatore estrae la pallina rossa). Determinare la densit`a e la media di X.

b. Si supponga di considerare uno dei cinque giocatori, chiamiamolo Tizio, e sia Y il numero di Euro vinti da Tizio. Si determinino la densit`a e la media di Y .

Soluzione. a. Sia Z = numero di giocatori vincenti. Chiaramente Z ∼ B(5, 0.2). Abbiamo:

P (X = 0) = P (Z = 0) = (0.8)⁵ P (X = 3000) = P (Z = 1) = 5(0.8)⁴(0.2) P (X = 1500) = P (Z = 2) = ...

P (X = 1000) = P (Z = 3) = ...

P (X = 750) = P (Z = 4) = ...

P (X = 600) = P (Z = 5) = ...

da cui si calcola

E(X) = 3000P (X = 3000) + 1500P (X = 1500) + 1000P (X = 1000)+

750P (X = 750) + 600P (X = 600) = ....

b. Si noti che Y = 0 se Tizio non estrae la pallina rossa, quindi P (Y = 0) = 4/5. Inoltre, per k = 0, 1, 2, 3, 4, si ha che Y = ³⁰⁰⁰_k+1 se Tizio ha estratto la pallina rossa, e altri k giocatori hanno estratto la pallina rossa. Si ha, perci`o

P

!

Y = 3000 k + 1

"

= 1 5

!4 k

" !1 5

"k!4 5

"_4−k . Allora

E(Y ) = '4 k=0

3000 k + 1

1 5

!4 k

" !1 5

"k!4 5

"4−k

= ....

Esercizio 73 Si sceglie “a caso” un campione di 5 oggetti da un lotto di 100 di cui 10 sono difettosi per effettuare un controllo di qualit`a. Sia X il numero di oggetti difettosi contenuti nel campione.

Determinare la densit`a discreta di X.

Soluzione. La variabile X assume solo i valori 0, 1 . . . , 5. X = k significa che nel lotto di 5 oggetti k sono difettosi. Possiamo calcolare Pr(X = k) riconoscendo che X ha una distribuzione ipergeometrica oppure calcolare questa probabilit`a come casi favorevoli su casi possibili. Casi possibili: ci sono %₁₀₀

5

&

modi di scegliere 5 oggetti tra 100. Casi favorevoli: devo scegliere 5 oggetti di cui k difettosi. Scelgo prima i k difettosi tra i 10 difettosi in %₁₀

k

&

modi, poi scelgo i rimanenti 5 −k oggetti tra i rimanenti 100−10 = 90 non difettosi in% ₉₀

5−k

&

modi. In definitiva i casi favorevoli sono: %₁₀

k

&%₉₀

5−k

&

e quindi:

Pr(X = k) =

%₁₀

k

&%₉₀

5−k

&

%₁₀₀

5

& , k = 0, 1, . . . , 5

Facendo un po’ di conti si ottiene: Pr(X = 0) * 0.583, Pr(X = 1) * 0.340, Pr(X = 2) * 0.070, Pr(X = 3) * 0.007, Pr(X = 4) * Pr(X = 5) * 0. Per essere sicuri di non aver sbagliato i conti su pu`o fare la verifica $⁵_k=0Pr(X = k) = 1.

Esercizio 74 Dimostrare le seguenti propriet`a (0.0.1), (0.0.2) e (0.0.3):

(0.0.1) ,X,1 = 0 ⇐⇒ X ≡ 0;

(0.0.2) X ∈ L¹(Ω, P ), λ ∈ IR ⇒ ,λX,1 = |λ|,X,1;

(0.0.3) X, Y ∈ L¹(Ω, P ) ⇒ ,X + Y ,1≤ ,X,1+ ,Y ,1.

Soluzione. Essendo P ({ω}) > 0 per ogni ω ∈ Ω, abbiamo ,X,1 = 0 ⇐⇒ '

ω∈Ω

|X(ω)|P ({ω}) = 0 ⇐⇒ X(ω) = 0 per ogni ω ∈ Ω,

che dimostra (0.0.1). Inoltre ,λX,1 ='

ω

|λX(ω)|P ({ω}) = |λ|'

ω

|X(ω)|P ({ω}) = |λ|,X,1,

cio`e (??). Infine, usando la disuguaglianza triangolare su IR:

,X + Y ,1='

ω

|X(ω) + Y (ω)|P ({ω}) ≤'

ω

(|X(ω)| + |Y (ω)|)P ({ω}) = ,X,1+ ,Y ,1.

Esercizio 75 Si estraggono 3 biglie, senza reinserimento, da un’urna contenente 5 biglie rosse, 4 biglie bianche e 2 biglie verdi. Sia X il numero di biglie rosse estratte e Y il numero di biglie bianche estratte.

1. Scrivere la densit`a (discreta) di (X, Y ).

2. Calcolare le densit`a marginali di X e Y e i valori attesi E(X) ed E(Y ).

3. Calcolare la covarianza di X e Y .

Soluzione.

1. Sappiamo che i casi possibili, cio`e le terne distinte senza tener conto dell’ordine di estrazione, sono%₁₁

3

&

. Osservando r biglie rosse, b bianche e v verdi, i casi favorevoli sono:

!5 r

"!4 b

"!2 v

"

Pr(X = i, Y = j) 0= 0 se e solo se (i, j) ∈ {(i, j) : 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3, 1 ≤ i + j ≤ 3}.

Pr(X = 0, Y = 1) = (⁵⁰)(⁴₁)(²₂)

(¹¹3) = ₁₆₅⁴ * 0.024;

Pr(X = 0, Y = 2) = (⁵⁰)(⁴₂)(²₁)

(¹¹3) = ₅₅⁴ * 0.073;

Pr(X = 0, Y = 3) = (⁵⁰)(⁴₃)(²₀)

(¹¹₃) = ₁₆₅⁴ * 0.024;

Pr(X = 1, Y = 0) = (⁵¹)(⁴₀)(²₂)

(¹¹₃) = ₃₃¹ * 0.03;

Pr(X = 1, Y = 1) = (⁵¹)(⁴1)(²1)

(¹¹₃) = ₃₃⁸ * 0.242 Pr(X = 1, Y = 2) = (⁵¹)(⁴2)(²0)

(¹¹₃) = ₁₁² * 0.182;

Pr(X = 2, Y = 0) = (⁵²)(⁴0)(²1)

(¹¹₃) = ₃₃⁴ * 0.121;

Pr(X = 2, Y = 1) = (⁵²)(⁴₁)(²₀)

(¹¹3) = ₃₃⁸ * 0.242;

Pr(X = 3, Y = 0) = (⁵³)(⁴₀)(²₀)

(¹¹3) = ₃₃² * 0.061.

2. Si ha:

Pr(X = 0) = Pr(X = 0, Y = 1) + Pr(X = 0, Y = 2) + Pr(X = 0, Y = 3) = ₃₃⁴ * 0.121;

Pr(X = 1) = Pr(X = 1, Y = 0) + Pr(X = 1, Y = 1) + Pr(X = 1, Y = 2) = ₁₁⁵ * 0.455;

Pr(X = 2) = Pr(X = 2, Y = 0) + Pr(X = 2, Y = 1) = ₁₁⁴ * 0.364;

Pr(X = 3) = Pr(X = 3, Y = 0) = ₃₃² * 0.061.

Per gli altri valori i si ha Pr(X = i) = 0.

Pr(Y = 0) = Pr(X = 1, Y = 0) + Pr(X = 2, Y = 0) = Pr(X = 3, Y = 0) = ₃₃⁷ * 0.212;

Pr(Y = 1) = Pr(X = 0, Y = 1) + Pr(X = 1, Y = 1) + Pr(X = 2, Y = 1) = ²⁸₅₅ * 0.509;

Pr(Y = 2) = Pr(X = 0, Y = 2) + Pr(X = 1, Y = 2) = ¹⁴₅₅ * 0.255;

Pr(Y = 3) = Pr(X = 0, Y = 3) = ₁₆₅⁴ * 0.024.

Per gli altri valori j si ha Pr(Y = j) = 0.

Per i valori attesi si ottiene:

E(X) = 1· Pr(X = 1) + 2 · Pr(X = 2) + 3 · Pr(X = 3) = 15

11 *1.364;

E(Y ) = 1· Pr(Y = 1) + 2 · Pr(Y = 2) + 3 · Pr(Y = 3) = 12

11 *1.091.

3. XY pu`o assumere solo i valori 0, 1 e 2.

E(XY ) =

= Pr(X = 1, Y = 1) + 2 [Pr(X = 1, Y = 2) + Pr(X = 2, Y = 1)] =

= 12

11 *1.091, quindi:

Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) = − 48

121 * −0.397.

Ne segue che X e Y sono correlate e quindi dipendenti.

Esercizio 76 Il piatto di una roulette contiene i numeri da 0 a 36. Consideriamo due possibili puntate: A) quella sui numeri pari: si vince se esce un numero pari tra 2 e 36, e in questo caso si riceve il doppio del capitale puntato (quindi si resta in attivo di una quantit`a uguale al capitale puntato); B) quella sulla prima dozzina: si vince se esce un numero tra 1 e 12, e in questo caso si riceve il triplo del capitale puntato (quindi si resta in attivo del doppio del capitale puntato).

Supponiamo di puntare contemporaneamente due Euro sui numeri pari, e un Euro sulla prima dozzina. Sia X il bilancio della giocata (capitale finale - capitale iniziale).

a) Determinare la densit`a di X e E(X).

b) Si considerino le seguenti variabili casuali:

Y =

# 1 se esce un numero pari 0 altrimenti

Z =

# 1 se esce un numero della prima dozzina 0 altrimenti

Calcolare Cov(Y, Z).

c) Dopo aver espresso X come funzione di Y e Z, calcolare E(X) e V ar(X) senza usare la densit`a calcolata in a).

Soluzione.

a) Introduciamo gli eventi

A ={esce un numero pari (tra 2 e 36)} , B ={esce un numero tra 1 e 12}

`E chiaro che l’esito degli eventi A e B determina X: pi`u precisamente, X =−3 · 1(A∪B)^c+ 1 · 1_A\B+ 0 · 1_B\A+ 4 · 1A∩B.

Notando che gli eventi {(A ∪ B)^c, A\ B, B \ A, A ∩ B} sono a due a due disgiunti, si ha che X(Ω) ={−3, 0, 1, 4} e

p_X(−3) = P ((A ∪ B)^c) = 13

37, p_X(0) = p(B \ A) = 6 37 p_X(1) = P (A \ B) = 12

37, p_X(4) = P (A ∩ B) = 6 37, da cui E(X) = −3pX(−3) + pX(1) + 4pX(4) = −₃₇³.

b) Dato che Y e Z sono variabili di Bernoulli, si ha che

Cov(Y, Z) = E(Y Z)− E(Y )E(Z) = P (Y = 1, Z = 1) − P (Y = 1)P (Z = 1)

= 6 37 −

18 37

12 37 = 6

1369. c) Si ha che

X = (4Y − 2) + (3Z − 1) = 4Y + 3Z − 3 . Dato che Y ∼ Be(¹⁸₃₇), Z ∼ Be(¹²₃₇), si ha che

E(X) = 4E(Y ) + 3E(Z)− 3 = 418 37 + 312

37 −3 = − 3 37. Analogamente si ha che

V ar(X) = 16 V ar(Y ) + 9 V ar(Z) + 2· 12 · Cov(Y, Z)

= 1618 37

19 37 + 912

37 25

37 + 24 6

1369 = 8316 1369.

Esercizio 77 In un’urna vi sono r palline rosse e v palline verdi. Estraggo in successione due palline, senza reintroduzione. Per i = 1, 2, sia

X_i =

# 1 se l’i-ma pallina `e rossa 0 altrimenti.

Calcolare il coefficente di correlazione tra X₁ e X₂. Soluzione. Si noti che

p_X1.X2(1, 1) = r r + v

r− 1 r + v− 1, da cui si ha

E(X₁X₂) = '

x1,x2

x₁x₂p_X1.X2(x₁, x₂) = p_X1.X2(1, 1) = r r + v

r− 1 r + v− 1. Inoltre X₁, X₂∼ Be(r/(r + v)), da cui

V ar(X₁) = V ar(X2) = rv

(r + v)², E(X₁) = E(X2) = r r + v.

A questo punto `e sufficiente usare la definizione di coefficiente di correlazione, per trovare ρX,Y = −1/(r + v − 1).

Esercizio 78 ^∗ Siano X, Y due variabili casuali che ammettono momento secondo, e sia A la matrice

A =

! V ar(X) Cov(X, Y ) Cov(X, Y ) V ar(Y )

"

Si assuma, inoltre, che la matrice A abbia due autovalori distinti, e siano v = %_v1

v2

&

, w = %_w1

w2

&

due autovettori linearmente indipendenti di A. Mostrare che le variabili casuali Z = v1X + v₂Y e W = w₁X + w₂Y sono scorrelate.

Soluzione. Da noti risultati di algebra lineare, v e w sono ortogonali (w^Tv = 0). Usando la bilinearit`a della covarianza:

Cov(v₁X + v₂Y, w₁X + w₂Y ) = w^TAv = λw^Tv = 0.

Esercizio 79 Siano X, Y ∼ Be(p) indipendenti, con p ∈ (0, 1). Mostrare che le variabili casuali X + Y e X− Y sono scorrelate ma non indipendenti.

Soluzione.

Cov(X + Y, X− Y ) = V ar(X) − V ar(Y ) = 0, ma, ad esempio

P (X + Y = 0, X− Y = 1) = 0 0= P (X + Y = 0)P (X − Y = 1).

Esercizio 80 In un canale di trasmissione vengono trasmessi simboli binari. I disturbi sul canale fanno si che ogni simbolo trasmesso ha la probabilit`a del 2% di essere ricevuto errato, indipenden- temente dagli altri simboli. I messaggi vengono trasmessi in ”parole” composte da 50 simboli. Qual

`e la probabilit`a che una parola venga ricevuta con almeno due simboli errati? (Usare l’approssima- zione di Poisson)

Soluzione. Sia, per i = 1, . . . , 50, X_i =

# 0 se l’i-mo simbolo ´e ricevuto correttamente 1 altrimenti

Posto Y = $⁵⁰_i=1Xi, dobbiamo calcolare P (Y ≥ 2). Essendo Xi∼ Be(0.02), allora Y ∼ B(50, 0.02).

Usando l’approssimazione di Poisson, Y ≈ P o(1). Dunque P (Y ≥ 2) * 1 − 2e⁻¹.

Esercizio 81 Sia X una variabile casuale a valori in IN, tale che P (X = k) = e⁻²2^k

2k! (1 + λk), con λ > 0.

a. Determinare il valore di λ b. Sia Y ∼ P o(2). Mostrare che

P (X = k) = 1

2[P (Y = k) + P (Y + 1 = k)].

c. Usando il risultato in b., calcolare media e varianza di X Soluzione. a. Dev’essere

+∞

'

k=0

P (X = k) = 1.

Ma '+∞

k=0

e⁻²2^k

2k! (1 + λk) = 1 2

'

k

e⁻²2^k k! + λ

2 '

k

ke⁻²2^k k! = 1

2+ λ,

ove si `e usato il fatto che $<sub>k</sub>ke<sup>−2 2</sup><sub>k!</sub><sup>k</sup> `e la media di una variabile di Poisson di parametro 2. Dunque λ = 1/2.

b. Dal punto a., per k ≥ 1, P (X = k) = 1

2e⁻²2^k k! +1

4e⁻² 2^k

(k − 1)! = 1 2e⁻²2^k

k! +1

2e⁻² 2^k−1 (k − 1)!

= 1

2P (Y = k) +1

2P (Y = k− 1).

Per k = 0 l’identit`a da dimostrare `e banale.

c. Dal punto b.

E(X) = 1 2

'

k

kP (Y = k) + 1 2

'

k

kP (Y + 1 = k) = 1

2E(Y ) + 1

2E(Y + 1) = 1 + 3/2 = 5/2.

Analogamente E(X²) = 1

2E(Y²) + 1

2E((Y + 1)²) = E(Y²) + E(Y ) + 1/2 = 6 + 2 + 1/2 = 17/2.

Infine

V ar(X) = 17/2− 25/4 = 9/4.

Esercizio 82 Sia λ > 0 e c : IN → [0, +∞) una funzione tale che c(0) = 0 e infn>0c(n) > λ. Sia X una variabile casuale a valori in IN con densit`a

p_X(n) = - ₁

Z se n = 0

1

Z λⁿ

c(1)c(2)···c(n) se n ≥ 1, dove Z = 1 + $⁺_n=1^∞ _c(1)c(2)^λn_···c(n).

a. Mostrare che E(c(X)) = λ.

b. Mostrare che per ogni funzione f : IN → IR tale che la v.c. f(X + 1) ammette valor medio, si ha

E(c(X)f (X)) = λE(f (X + 1)).

c.^∗ Si assuma che, per ogni n ≥ 0, |c(n+1)−c(n)| ≤ 1. Sia Y ∼ P o(λ). Mostrare, per induzione su k, che per ogni k ≥ 1

E[c(X)^k] ≤ E(Y^k).

(Sugg.: usare, dopo averla verificata, l’uguaglianza E(Y^k+1) = λ $^k_i=0%_k

i

&

E(Yⁱ)) Soluzione. a.

E(c(X)) = 1 Z

+∞

'

n=1

c(n) λⁿ

c(1)c(2)· · · c(n) = 1 Z

+ λ +

+∞

'

n=2

λⁿ

c(1)c(2)· · · c(n − 1) ,

= λ Z

+

1 +'^+∞

n=1

λⁿ c(1)c(2)· · · c(n)

,

= a.

b. Si procede in modo analogo al punto a.

E(f (X)c(X)) = 1 Z

+∞

'

n=1

f (n)c(n) λⁿ

c(1)c(2)· · · c(n) = 1 Z

+

λf (1) +

+∞

'

n=2

f (n) λⁿ

c(1)c(2)· · · c(n − 1) ,

= λ Z

+ f (1) +

'+∞

n=1

f (n + 1) λⁿ c(1)c(2)· · · c(n)

,

= λE(f(X + 1)).

c. Cominciamo coll’osservare che (vedi esercizio 2.3.4).

E[(Y + 1)^k] = λ 'k

i=0

!k i

"

E(Yⁱ).

Per il punto b. e il fatto che c(X + 1) ≤ c(X) + 1, si ha

E[c(X)^k+1] = aE[c(X + 1)^k] ≤ aE{[c(X) + 1]^k} = a 'k

i=0

!k i

"

E[c(X)ⁱ] ≤ ipotesi induttiva

≤ a 'k

i=0

!k i

"

E(Yⁱ) = E(Y^k+1).

Resta da verificare il passo base dell’induzione (k = 1). Ma E(c(X)) = a = E(Y ).

Esercizio 83 a. Siano X1, X₂ ∼ P o(λ) indipendenti. Fissati n ∈ IN e 0 ≤ k ≤ n, calcolare

(0.0.3) P (X₁ = k|X1+ X2 = n).

b. Supponiamo che n sia fissato, e chiamiamo q(k) il valore dell’espressione in (0.0.3). Mostrare che q(·) `e il valore della densit`a di una variabile casuale binomiale, e determinarne i parametri.

c. Siano ora X1, X2, . . . , Xm∼ P o(λ) indipendenti, con m > 2. Calcolare q_m(k) = P (X1 = k|X1+ X2+ · · · + Xm= n),

e determinare i parametri della variabile casuale binomiale la cui densit`a `e q_m(·).

Soluzione. a. e b.

P (X1= k|X1+ X2 = n) = P (X1= k, X1+ X2 = n)

P (X₁+ X₂= n) = P (X1 = k, X2 = n − k) P (X₁+ X₂= n)

= P (X₁ = k)P (X₂ = n − k)

P (X₁+ X2 = n) = e^{−λ λ}_k!^ke^{−λ λ}_(n^n−k_−k)!

e^{−2λ (2λ)}_n!ⁿ =! n k

"

2⁻ⁿ,

dove abbiamo usato l’indipendenza di X1 e X2 e il fatto che X1 + X2 ∼ P o(2λ). Si noti che il valore ottenuto `e la densit`a di una v.c. B(n, 1/2).

c. In modo analogo al punto precedente, usando il fatto che X2+ · · · + Xm ∼ P o((m − 1)λ), P (X₁ = k|X1+ X₂+ · · · + Xm= n) = P (X₁ = k)P (X₂+ · · · + Xm= n − k)

P (X₁+ · · · + Xm= n)

=

!n k

" 1 m^k

! 1 − 1

m

"_n−k , che `e la densit`a di una B(n, 1/m).

Esercizio 84 Siano X, Z e W variabili casuali indipendenti con X ∼ Be(p), Z, W ∼ P o(λ).

Definiamo

Y = XZ + W.

a. Determinare le densit`a p_X,Y e p_Y.

b. Utilizzando la densit`a calcolata al punto a., determinare E(Y ) e V ar(Y ).

c. Calcolare E(Y ) e V ar(Y ) senza utilizzare pY. Soluzione. a. Si ha

p_X,Y(0, y) = P (X = 0, Y = y) = P (X = 0, W = y) = P (X = 0)P (W = y) = (1 − p)e^−λλ^y y!,

p_X,Y(1, y) = P (X = 1, Y = y) = P (X = 1, Z + W = y) = pe^−2λ(2λ)^y y! , ove si `e usato il fatto che X, Z, W sono indipendenti e che Z + W ∼ P o(2λ). Segue che

p_Y(y) = pX,Y(0, y) + pX,Y(1, y) = (1 − p)e^−λλ^y

y! + pe^−2λ(2λ)^y y! . b.

E(Y ) = (1− p)

+∞'

y=0

ye^−λλ^y

y! + p'^+∞

y=0

ye^−2λ(2λ)^y y!

= (1 − p)λ + 2λp = λ(p + 1),

dove si `e usato il fatto che le due somme nella formula precedente coincidono con le medie di v.c.

di Poisson di parametri λ e 2λ rispettivamente. Un analogo ragionamento con i momenti secondi conduce a

E(Y²) = (1 − p)(λ²+ λ) + p(4λ²+ 2λ) = λ²(1 + 3p) + λ(1 + p).

Perci`o

V ar(Y ) = λ²(p − p²) − λ(1 + p).

c. Usando il fatto che la media del prodotto di due v.c. indipendenti `e uguale al prodotto dei valori medi, si ha

E(Y ) = E(XZ) + E(W ) = E(X)E(Z) + E(W ) = pλ + λ = λ(p + 1) e

E(Y²) = E(X²Z²) + E(W²) + 2E(XZW ) = E(X²)E(Z²) + E(W²) + 2E(X)E(Z)E(W )

= p(λ²+ λ) + λ²+ λ + 2pλ² = λ²(1 + 3p) + λ(1 + p), e si ritrova quanto trovato sopra.

Esercizio 85 Siano X e Y due variabili casuali a valori in IN aventi la seguente densita‘ congiunta:

P (X = k, Y = n) =

# %_n

k

&

p^k(1 − p)^n−ke^{−λ λ}_n!ⁿ se 0 ≤ k ≤ n

0 altrimenti,

dove p ∈ (0, 1) e λ > 0 sono due parametri fissati.

a. Determinare le densita‘ marginali di X e Y . Mostrare, in particolare, che X ∼ P o(pλ) e Y ∼ P o(λ).

b. Calcolare il coefficente di correlazione ρ_X,Y. Soluzione. a.

P (X = k) =

+∞

'

n=k

!n k

"

p^k(1 − p)^n−ke^−λλⁿ

n! = λ^kp^k k! e^−λ

+∞

'

n=k

λ^n−k(1 − p)^n−k (n − k)!

= λ^kp^k k! e^−λ

+∞

'

n=0

λⁿ(1 − p)ⁿ

n! = λ^kp^k

k! e^−λe^(1−p)λ= e^−pλ(pλ)^k k! .

P (Y = n) = 'n k=0

!n k

"

p^k(1 − p)^n−ke^−λλⁿ

n! = e^−λλⁿ n!

'n k=0

!n k

"

p^k(1 − p)^n−k = e^−λλⁿ n!. b. Dal punto a. abbiamo che V ar(X) = pλ e V ar(Y ) = λ. Inoltre

E(XY ) ='

k,n

knP (X = k, Y = n) =

+∞'

n=0

ne^−λλⁿ n!

'n k=0

k

!n k

"

p^k(1 − p)^n−k.

Osservando che $ⁿ_k=0k%_n

k

&

p^k(1 − p)^n−k `e la media di una B(n, p), abbiamo

E(XY ) = p '+∞

n=0

n²e^−λλⁿ

n! = p(λ + λ²),

dove abbiamo usato il fatto che $⁺_n=0^∞n²e^{−λ λ}_n!ⁿ = p(λ + λ²) `e il momento secondo di una P o(λ).

Ne segue che

Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ) = p(λ + λ²) − pλ² = pλ.

Infine

ρ_X,Y = Cov(X, Y )

.V ar(X)V ar(Y ) = pλ

.pλ² = √p.

Esercizio 86 Un’urna contiene 100 palline numerate da 0 a 99. Si estrae una pallina, e si denotano con X e Y le due cifre del numero estratto (la cifra delle decine, X, si considera uguale a zero per numeri minori di 10). Mostrare che X e Y sono indipendenti, e determinarne la distribuzione.

Soluzione. Sia Z il valore del numero estratto. Chiaramente P (Z = i) = ₁₀₀¹ per i = 0, 1, . . . , 99.

X e Y assumono valori interi tra 0 e 9. Per n, m∈ {0, 1, . . . , 9} si ha P (X = n, Y = m) = P (Z = 10n + m) = 1

100, P (X = n) = P (10n≤ Z ≤ 10n + 9) = 1

10,

P (Y = m) = P (Z∈ {m, m + 10, m + 20, . . . , m + 90}) = 1 10, da cui segue l’indipendenza.

Esercizio 87 Dimostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti:

i) Gli eventi A e B sono indipendenti.

ii) Le variabili casuali 1_A e 1_B sono indipendenti.

iii) Le variabili casuali 1A e 1B sono scorrelate (cioe‘ Cov(1A, 1B) = 0).

Soluzione.

i) ⇒ ii) Dimostriamo che la densita‘ congiunta e‘ il prodotto delle densita‘ marginali.

P (1_A= 1, 1_B = 1) = P (A ∩ B) = ( per l’indipendenza )

= P (A)P (B) = P (1A= 1)P (1B= 1).

Analogamente:

P (1_A= 0, 1_B= 1) = P (A^c∩ B) = P (A^c)P (B) = P (1_A= 0)P (1_B = 1), e allo stesso modo negli altri casi.

ii) ⇒ iii) E‘ una proprieta‘ generale.

iii) ⇒ i) Si noti che

E(1_A1B) = E(1A∩B) = P (A ∩ B), e

E(1_A)E(1_B) = P (A)P (B).

Sicche’:

0 = Cov(1A, 1_B) = E(1A1B) − E(1A)E(1B) = P (A ∩ B) − P (A)P (B), da cui segue la conclusione.

Esercizio 88 Siano X ∼ Ge(p) e Y ∼ Ge(q), Determinare la densit`a di Z = min(X, Y ).

Soluzione. Si procede esattamente come nell’Esempio 2.8.2:

F_Z(k) = 1 − [(1 − p)(1 − q)]^k, da cui Z ∼ Ge(1 − [(1 − p)(1 − q)]).

Esercizio 89 Siano X, Y ∼ Ge(p) indipendenti, 0 < p < 1, e Z := max(X, Y ).

a. Determinare la densit`a congiunta di (X, Z).

b. Posto W := Z − X, determinare la densit`a pW di W . c. Calcolare E(W ).

d. `E vero o falso che X e W sono indipendenti?

Soluzione.

a.

P (X = n, Z = m) =





P (X = n, Y = m) = p²(1 − p)^n+m se m > n ≥ 0 P (X = n, Y ≤ n) = p(1 − p)ⁿ[1 − (1 − p)ⁿ⁺¹] se m = n ≥ 0

0 altrimenti.

b. Per k ≥ 1

P (W = k) = '+∞

n=0

P (X = n, Z = n + k) =

+∞'

n=0

p²(1 − p)²ⁿ(1 − p)^k= p

2 − p(1 − p)^k. Perci`o

P (W = 0) = 1−

+∞

'

k=1

P (W = k) = 1− p 2 − p

!1 p − 1

"

= 1 −1 − p 2 − p = 1

2 − p.

c.

E(W ) =

+∞

'

k=1

kP (W = k) = 1 2 − pp

+∞

'

k=1

k(1− p)^k= 1 − p p(2− p), dove si `e usato il fatto che p $<sup>+∞</sup><sub>k=1</sub>k(1− p)<sup>k</sup> `e la media di una Ge(p).

d. Falso. Infatti, ad esempio

P (X = 0, W = 0) = P (X = 0, Y = 0) = p² 0= P (X = 0)P (W = 0) = p 1 2 − p per ogni p ∈ (0, 1).

Esercizio 90 Siano X, Y ∼ Ge(p) indipendenti, e si definisca Z := max(X, Y ) − Y . a. Determinare la densit`a discreta di Z.

b. Determinare E(Z) (sugg.: ricordare che E(Z) = $⁺_n=1^∞P (Z ≥ n), oppure usare la funzione generatrice dei momenti)

Soluzione. a. Se n ≥ 1,

P (Z = n) =

+∞

'

k=0

P (X = k + n, Y = k) =

+∞

'

k=0

P (X = k + n)P (Y = k)

=

+∞

'

k=0

p²(1 − p)^k+n(1 − p)^k = p²(1 − p)ⁿ

+∞

'

k=0

(1 − p)^2k = p(1− p)ⁿ 2 − p . Inoltre

P (Z = 0) = 1−

+∞

'

n=1

P (Z = n) = 1− p 2 − p

+∞

'

n=1

(1 − p)ⁿ

= 1 − p

2 − p(1 − p)

p = 1

2 − p. b. Notare che, per n ≥ 1,

P (Z ≥ n) = p 2 − p

+∞

'

k=n

(1 − p)^k= (1 − p)ⁿ 2 − p . Perci`o

E(Z) =

+∞

'

n=1

P (Z ≥ n) = 1 − p p(2− p).

Esercizio 91 Sia X una variabile casuale che assume i valori 0 e 1 e Y una variabile casuale a valori in IN, la cui densit`a congiunta `e determinata dalle identit`a: per n ∈ IN

P (X = 0, Y = n) = p^e_n!⁻¹

P (X = 1, Y = n) = (1− p)e^{−2 2}_n!ⁿ.

a. Determinare le densit`a marginali pX e pY.

b. Calcolare la probabilit`a condizionata P (X = 0|Y > 0).

c. Calcolare E(Y ) e V ar(Y ).

d. Calcolare Cov(X, Y ) e il coefficiente di correlazione ρ(X, Y ).

Soluzione. a.

p_X(0) ='

n

P (X = 0, Y = n) = p = 1− pX(1).

pY(n) = P (X = 0, Y = n) + P (X = 1, Y = n) = pe⁻¹

n! + (1 − p)e⁻²2ⁿ n!. b.

P (X = 0|Y > 0) = P (X = 0, Y > 0)

P (Y > 0) = P (X = 0)− P (X = 0, Y = 0) 1 − P (Y = 0)

= p− pe⁻¹

1 − pe⁻¹− (1 − p)e⁻². c.

γ_Y(t) =

+∞

'

n=0

e^tnp_Y(n) = pe⁻¹

+∞

'

n=0

e^tn

n! + (1 − p)e⁻²

+∞

'

n=0

2ⁿe^tn n!

= p exp% e^t− 1&

+ (1 − p) exp%

2e^t− 2&

. Non `e difficile calcolare

E(Y ) = γ_Y⁽ (0) = p + 2(1 − p) = 2 − p, E(Y²) = γ_Y⁽⁽(0) = 2p + 6(1 − p) = 6 − 4p, da cui si calcola V ar(Y ) = E(Y²) − [E(Y )]².

d. Abbiamo appena calcolato E(Y ) e V ar(Y ). Facilmente, dal punto a., si ha E(X) = 1 − p e V ar(X) = p(1− p). Inoltre

E(XY ) ='

x,y

xyp_X,Y(x, y) =

+∞

'

n=0

np_X,Y(1, n) = (1 − p)e⁻²

+∞

'

n=0

n2ⁿ

n! = 2(1 − p), dove abbiamo usato il fatto che e⁻²$+∞

n=0n²_n!ⁿ `e la media di una P o(2). A questo punto `e sufficiente sostituire i valori ottenuti per calcolare

Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ), e

ρ(X, Y ) = Cov(X, Y ) .V ar(X)V ar(Y ).

Esercizio 92 Sia X una variabile casuale che assume i valori 0 e 1 e Y una variabile casuale a valori in IN, la cui densit`a congiunta `e determinata dalle identit`a: per n ∈ IN

P (X = 0, Y = n) = ^p₃%₂

3

&n

P (X = 1, Y = n) = ^1−p₄ %₃

4

&n

.

a. Determinare le densit`a marginali pX e pY.

b. Calcolare la probabilit`a condizionata P (X = 0|Y > 0).

c. Calcolare E(Y ) e V ar(Y ).

d. Calcolare Cov(X, Y ) e il coefficiente di correlazione ρ(X, Y ).

Soluzione. a.

p_X(0) ='

n

P (X = 0, Y = n) = p = 1− pX(1).

p_Y(n) = P (X = 0, Y = n) + P (X = 1, Y = n) = p 3

!2 3

"n

+1 − p 4

!3 4

"n

. b.

P (X = 0|Y > 0) = P (X = 0, Y > 0)

P (Y > 0) = P (X = 0)− P (X = 0, Y = 0)

1 − P (Y = 0) = p−^p₃ 1 −^p₃ −^1−p₄ . c.

γ_Y(t) =

+∞

'

n=0

e^tnp_Y(n) = p 3

+∞

'

n=0

!2 3e^t

"n

+1 − p 4

+∞

'

n=0

!3 4e^t

"n

= p 3

1

1 −²₃e^t +1 − p 4

1 1 −³₄e^t, per t tale che ³₄e^t< 1, mentre γ_X(t) = +∞ altrimenti. Non `e difficile calcolare

E(Y ) = γ_Y⁽ (0) = 3 − p, E(Y²) = γ⁽⁽_Y(0) = 21 − 13p, da cui si calcola V ar(Y ) = E(Y²) − [E(Y )]².

d. Abbiamo appena calcolato E(Y ) e V ar(Y ). Facilmente, dal punto a., si ha E(X) = 1 − p e V ar(X) = p(1− p). Inoltre

E(XY ) ='

x,y

xyp_X,Y(x, y) =

+∞

'

n=0

np_X,Y(1, n) = (1 − p) 4

+∞

'

n=0

n!3 4

"n

= 3(1 − p),

dove abbiamo usato il fatto che ¹₄$+∞ n=0n%₃

4

&n

`e la media di una Ge(1/4). A questo punto `e sufficiente sostituire i valori ottenuti per calcolare

Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ), e

ρ(X, Y ) = Cov(X, Y ) .V ar(X)V ar(Y ).

Esercizio 93 Sia Xn∼ P o(nλ), e Yn= ^X_nⁿ_2/3^−nλ. Usando la Disuguaglianza di Chebischev mostrare che per ogni ' > 0

n→+∞lim P (|Yn| > ') = 0.

Soluzione. Si noti che E(Yn) = 0 e V ar(Yn) = _n^nλ4/3 = _n1/3^λ . Pertanto P (|Yn| > ') ≤ V ar(Y_n)

'² = λ

n^1/3'², da cui si conclude facilmente.