Traccia di soluzione
di Andrea Centomo & Monica Motta 19 settembre 2011
Esercizio 1.
f(x) = 3xe
−arctan
1 x2 −9 p
. (a) Determinare il dominio di f , eventuali simmetrie e segno.
(b) Determinare i limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti di f , eventuali punti in cui è possibile prolungare la funzione.
(c) Studiare la continuità e la derivabilità di f ; determinare gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di estremo (massimo e minimo) relativo e assoluto di f . Calcolare i limiti di f′, se significativi.
(d) Disegnare un grafico qualitativo di f in tutto il dominio.
Non è richiesto lo studio della convessità.
Soluzione.La funzione è definita in D= ( − ∞, − 3) ∪ (3, + ∞) ed è dispari. Inoltre f(x) > 0 x ∈ (3, + ∞)
f(x) < 0 x ∈ ( − ∞, − 3).
Dal momento che f è simmetrica restringiamo lo studio di f all’intervallo(3, + ∞). I limiti agli estremi del dominio sono
lim
x→3+f(x) = 9e−π/2 e
lim
x→+∞3xe
−arctan
1 x2 −9 p
= + ∞.
Possiamo allora prolungare per continuità la funzione in x= 3 (x = − 3) ponendo f(3) = 9e−π/2 (f( − 3) = − 9e−π/2).
La funzione non ammette asintoti verticali e orizzontali. La funzione ammette invece asintoti obliqui un quanto
lim
x→+∞
f(x) x = lim
x→+∞3e
−arctan
1 x2 −9 p
= 3 e
lim
x→+∞3xe
−arctan
1 x2 −9 p
− 3x = lim
x→+∞3x
− 1
x2− 9
√ + o x−1
= − 3.
L’equazione dell’asintoto obliquo destro è y= 3x − 3. L’equazione dell’asintoto obliquo sinistro si ottiene per simmetria ed è y= 3x + 3.
La derivata prima di f è
f′(x) = 3e
−arctan
1 x2 −9 p
+ 3xe
−arctan
1 x2 −9 p
1 1 +x21−9
· 1
(x2− 9)· x x2− 9
√
da cui, semplificando, anche
f′(x) = 3e
−arctan
1 x2 −9 p
1 + x2
(x2− 8) x√ 2− 9
! .
1
Per x∈ (3, + ∞) f′(x) > 0 e quindi la funzione è monotona strettamente crescente in tale inter- vallo. Per simmetria si ha che f′(x) > 0 anche per x ∈ ( − ∞, − 3) e quindi la funzione è mono- tona strettamente crescente anche in questo intervallo.
Per concludere calcoliamo
lim
x→3+f′(x) = + ∞
da cui possiamo concludere che l’attacco in x= 3 e, per simmetria anche in x = − 3, è a tangente verticale.
Figura 1. Grafico di f
Esercizio 2Calcolare
n→+∞lim
n3arcsin1
n
− n sin(n) + (n + 1)arctan(n!) n! + 2en2+log(n2) en2 Soluzione.Osserviamo prima di tutto che per n→ + ∞
n3arcsin 1 n
− n sin(n) + (n + 1)arctan(n!) = n2+ o(n2) e che
n2+ log (n2) = n2+ 2 log n = n2+ o(n2).
Ora sappiamo che
0 < n!
en2< n!
enlog n
da cui, per il teorema del confronto, si ha subito che n!/en2 è infinitesimo per n→ + ∞. In con- clusione
lim
n→+∞
n3arcsin1
n
− n sin(n) + (n + 1)arctan(n!)
n! + 2en2+log(n2) en2= lim
n→+∞
n2en2
2en2+log n2= lim
n→+∞
n2 2elog n2=1
2. Esercizio 3Calcolare
Z
−π
4 π
4 |sin x|
cos2x+ 7cos x + 12dx Soluzione.Calcoliamo prima di tutto
Z − sin x
cos2x+ 7cos x + 12d x
utilizzando la sostituzione
z= cos x d z= − sin xdx.
Ora
Z 1
z2+ 7z + 12dz=
Z 1
(z + 3)(z + 4)dz=
Z 1
z+ 3dz−
Z 1
z+ 4dz= log
z+ 3 z− 4 da cui, osservato che la funzione integranda è pari, anche
Z
−π
4 π
4 |sin x|
cos2x+ 7cos x + 12dx= 2
log
cos x+ 3 cos x− 4
−π/4 0
= 2 log4
3− 2 log6 +√2 8 − 2√ .
Esercizio 4Data
X
n=1
+∞ log(n + 1) − log n 3 + n x2n+1, (a) studiare la convergenza della serie per ogni x≥ 0;
(b) (Facoltativo) studiare la convergenza della serie per ogni x <0.
Soluzione.(a) Posto
an=log(n + 1) − log n
3 + n x2n+1=log 1 +1n 3 + n x2n+1,
quando x≥ 0, an ≥ 0 per cui la serie è a termini positivi e si può applicare il criterio del con- fronto asintotico. Applicando Mac-Laurin al log, si ottiene
an∼x2n+1 n2
per cui la serie data ha lo stesso comportamento della serie di termine n-esimo bn = x2n+1n2 . Quando x= 0, la serie è nulla, per cui converge. Quando x > 0, usando il criterio del rapporto per bn, si ha
bn+1
bn
= x2 n2 (n + 1)2
che ha limite x2e quindi converge solo per x <1. Quando x = 1, bn=n12 e dunque converge.
(b) Quando x <0, x2n+1= − |x|2n+1con|x| > 0. Quindi dal risultato precedente la serie con- verge quando x∈ [ − 1, 0[ e diverge quando x < − 1.
