V appello di Matematica C
Corso di laurea in Ingegneria Biomedica
11 Dicembre 2007
1)
In un concorso gratta e vinci, ogni biglietto ha 9 caselle da “grattare”. Sotto 5 di esse `e presente la parola GOAL, mentre sotto le rimanenti 4 la parola OUT. Per vincere il premio bisogna “grattare” solo 3 caselle e trovare per 3 volte la parola GOAL (se si grattano pi`u di 3 caselle il biglietto non `e pi`u valido).a. Qual `e la probabilit`a di vincere con un singolo biglietto?
b. Sapendo che la prima casella grattata `e un GOAL, quel `e la probabilit`a di non vincere il premio?
c. Se si acquistano 100 biglietti, qual `e la probabilit`a (approssimata) di vincere almeno 15 volte? (si esprima il risultato in funzione di Φ, la funzione di distribuzione della variabile normale standard)
2)
Siano X ∼ U [0, 2] a Y ∼ Bi(2, 1/3), indipendenti e sia Z = X − Y . Si calcoli:a. P [Z < 0|Y = i], per i = 0, 1, 2 e quindi P [Z < 0];
b. E[Z] e V ar[Z];
c. (facoltativo) la funzione di distribuzione di Z, cio`e P [Z ≤ z] per ogni z ∈ R.
3)
Si consideri la forma differenzialeω = ax
x2+ y2+ zdx + by
x2+ y2+ zdy + 1
x2+ y2+ zdz nell’aperto Ω = {(x, y, z) : z > −(x2+ y2)}.
(i) Si determinino a, b ∈ R in modo che ω sia chiusa;
(ii) si provi che se ω `e chiusa allora `e esatta in Ω;
(iii) per i valori di a, b trovati si calcoli il potenziale di ω che in (0, 0, 1) vale −1.
4)
Si calcoli l’integrale Z ZD
e1/x
x2(x − 1)dxdy,
dove D = {(x, y) ∈ R2 :12 ≤ x−1y ≤ 1, 2 ≤ x−1xy ≤ 4} (sugg.: si effettui il cambio di variabili x = u/v, y = u − v).
5)
Si enunci la formula di Bayes. Se A ⊆ B, quanto vale P [A|B]?Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti.
Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
E vietato usare libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.`
V appello di Matematica C
Corso di laurea in Ingegneria Elettronica
11 Dicembre 2007
1)
In un concorso gratta e vinci, ogni biglietto ha 9 caselle da “grattare”. Sotto 5 di esse `e presente la parola GOAL, mentre sotto le rimanenti 4 la parola OUT. Per vincere il premio bisogna “grattare” solo 3 caselle e trovare per 3 volte la parola GOAL (se si grattano pi`u di 3 caselle il biglietto non `e pi`u valido).a. Qual `e la probabilit`a di vincere con un singolo biglietto?
b. Sapendo che la prima casella grattata `e un GOAL, quel `e la probabilit`a di non vincere il premio?
c. Se si acquistano 100 biglietti, qual `e la probabilit`a (approssimata) di vincere almeno 15 volte? (si esprima il risultato in funzione di Φ, la funzione di distribuzione della variabile normale standard)
2)
Siano X ∼ U [0, 2] a Y ∼ B(2, 1/3), indipendenti e sia Z = X − Y . Si calcoli:a. P [Z < 0|Y = i], per i = 0, 1, 2 e quindi P [Z < 0];
b. E[Z] e V ar[Z];
c. (facoltativo) la funzione di distribuzione di Z, cio`e P [Z ≤ z] per ogni z ∈ R.
3)
Si consideri la forma differenzialeω = ax
x2+ y2+ zdx + by
x2+ y2+ zdy + 1
x2+ y2+ zdz nell’aperto Ω = {(x, y, z) : z > −(x2+ y2)}.
(i) Si determinino a, b ∈ R in modo che ω sia chiusa;
(ii) si provi che se ω `e chiusa allora `e esatta in Ω;
(iii) per i valori di a, b trovati si calcoli il potenziale di ω che in (0, 0, 1) vale −1.
4)
Si calcoli l’integrale Z ZD
e1/x
x2(x − 1)dxdy,
dove D = {(x, y) ∈ R2 :12 ≤ x−1y ≤ 1, 2 ≤ x−1xy ≤ 4} (sugg.: si effettui il cambio di variabili x = u/v, y = u − v).
Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti.
Il candidato, a meno che non si ritiri, deve consegnare questo foglio assieme al foglio intestato.
E vietato usare libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.`
