∫ ∫ ∫ ∫ APPENDICE Le relazioni di Kramers-Kronig (K-K)

APPENDICE

Le relazioni di Kramers-Kronig (K-K)

Nell’ottica lineare, la risposta è una funzione lineare della perturbazione . Considerando gli effetti di polarizzazione creati da per ogni , in generale:

( )

t

Dr Er

( )

t

(

t^−τ

Er

)

τ

( ) ( )

^t =^{E t} +^+∞

∫

₊^f

( ) (

τ ^{E t}−τ

)

^dτ D

0

r r

r (A.1)¹

Poiché in ottica ^Er

( ) ( )

^{t =Er r e−iωt} e ^{Dr = ~ε}

( )

^{ω Er}, dalla (A.1):

( ) ( ) ( ) ( )

= + τ ^ωτ τ

+∞

∫

₊^{f e d}

t E t E t

D ⁱ

0

r r r

e:

( )

^{ω =ε + ε = ++∞}

∫

₊

( )

^{τ ωτ τ}

ε

0

i 2

1 i 1 f e d

~ (A.2)

Nella (A.2) l’integrale converge, perché:

1) ^f

( )

^{τ →0per τ→+∞oppureτ}>>tempo di rilassamento dei dipoli del reticolo 2) Posto ω ~≡ω=ω₁ +iω₂, nel semipiano superiore

( )

ω ε~

(

ω₂ >0

)

,e^-ω2τ→0per ω₂ →∞

(

ω₂ =0

)

ω₁ =0

2. Quindi è finito. Inoltre non ha singolarità sull’asse reale oltre (metalli:

( )

ω ε~

ω

= πσ

ε 4

2 ).

0

C

∞ +

∞ +

∞

− ω₀

ρ

Integriamo lungo il percorso C la funzione:

0

1 ω

− ω

− ε~

1 1) L’esclusione dell’integrazione da a 0 consegue dal principio di causalità; 2) è fuori, altrimenti da

seguirebbe lim

∞

− Er

( )

t

( ) ( ) ( )

+∞

∫

→

τ τ −τ τ=

0 0f Er t d Er t

lim

( ) ( )

τ =δ τ =∞

→

τ f

0 2 τ>0 per il principio di causalità

155

Dalla (A.2), per ω→∞ (campo rapidamente variabile) ε~→1. Quindi:

0 1 d

C 0

= ω ω

− ω

−

∫

^~ε (converge e l’integrando è analitico entro C) Ma:

0 0

infinitoo semicerchi realeasse

infinitoo semicerchi C

=

= +

=

∫ ∫ ∫

∫

^; (l’integrando è nullo)

Quindi, limitandoci al caso isolante (nessun polo a ω=0) e poiché il residuo nel polo a ω₀ è:

( )

ⁱ

[ ( )

¹

]

i 1 _{0 0}

0 0

− ω ε π

−

= ω

− ω ω

− ω

− π ε

− ω→ω

' ~ '

lim ~

[ ( )

1

]

0

i 1 d

P 1 d

0

realeasse 0 0

=

− ω ε π

− ω ω

− ω

−

= ε ω ω

− ω

−

∫

ε ^+∞

∫

∞

−

' ~ '

' ~ '

~

Ponendo ω₀ =ω e separando parte reale e immaginaria:

( ) ( )

+∞

∫

∞

−

ω ω

− ω

ω ε

=π

− ω

ε '

' ' d 1P

1 ²

1 (A.3)

( ) ( )

+∞

∫

∞

−

ω ω

− ω

− ω ε

= π ω

ε '

'

' 1d

1P ₁

2 (A.4)

Dalla (A.2) si ricava: ^~ε

( )

^{−ω =~ε∗}

(

^ω

)

cioè:

( ) ( ) ) ( )

−ω =−ε

(

ω ε

ω ε

= ω

− ε

2 2

1

1 (A.5)

Poiché nei sistemi reali ω>0, la (A.3) si riscrive (ω'≥0):

( ) ( )( ) ( )

( ) [ ]

( ) ^{∫ ( )}

∫

∫

∫

∞ +

∞ +

+∞

+∞

ω ω

− ω

ω ω ε

=π ω ω

− ω

−

ω

− ω

− ω + ω

− ω ε

= π

= ω ω

− ω

ω ε + π ω ω −

− ω

− ω

− ε

−

=π

− ω ε

0

2 2 2 0

2 2 2

0 2 0

2 1

d 2P

d 1P

1 d d 1P

1

' ' ' ' '

'

' '

'

' ' ' '

' '

e la (A.4) analogamente.

( ) ( )

( ) ( )

∫

∫

∞ + +∞

ω ω

− ω

ω ε π

− ω

= ω ε

ω ω

− ω

ω ω ε

=π

− ω ε

0

2 2 1 2

0

2 2 2 1

d 2 P

d 2P

1

' ' ' ' '

' '

RELAZIONI DI K-K

156